对一种非常规解法本质的论证

安徽省六安市毛坦厂镇中心学校 张耀东 (邮编:237182)

对一种非常规解法本质的论证

安徽省六安市毛坦厂镇中心学校 张耀东 (邮编:237182)

1 问题提出

某次作业中,一名学生采用了一种非常规解法解答了下面的题目,该解法貌似忽视了题中其他条件,仅由于偶然,才会得到正确答案.原题如下:

这名学生的非常规解法如下:

x＜y即x－y＜0,而x－y＝a＋3,所以a＋3＜0,即a＜－3.

故题中2x＋y＝5a是多余条件!

这是初中数学中一种常见题型,在各种教材、教辅、考试中频繁出现.例如《新编基础训练数学(沪科版)·七年级(下册)》第24页第9题:

又如2010年贵州省黔东南州中考数学试题第8题:

A.m＞2 B.m＞－3

C.－3＜m＜2 D.m＜3且m＞2

2 问题分析与结论

该题型的本意,是作为二元一次方程组与一元一次不等式的综合题,考查学生对二元一次方程组的解和解法的理解与掌握、以及对解一元一次不等式的掌握.

此种非常规解答,教师通常有两种不同的处理.一种是下意识地认定它为不正确的解法,二是认可解法的正确性,但认定题目是结构不良的.绝大多数老师属于第二种情况.他们凭着自己的数学思维能力判定了解法的正确性,但却无法用语言清晰地向学生描述解法正确的道理,只是要求学生用常规解法解答此类问题.

我们来讨论一般的情形:

非常规解法 因为4x－y＝(x＋y)＋(3x 2)0,且－y＞

所以f(a)＋g(a)＞0.

据此,可以得到以下的结论:

结论1 若F(x,y),G(x,y),H(x,y)均为x、y的不含常数项的一次函数,且∀p∈R, F(x,y)≠pG(x,y),则∃α、β∈R,使H(x, y)＝αF(x,y)＋βG(x,y).

证明 设F(x,y)＝a1x＋b1y,G(x,y)＝a2x＋b2y,H(x,y)＝a0x＋b0y,其中ai、bi∈R.设H(x,y)＝mF(x,y)＋nG(x,y),则

a0x＋b0y＝m(a1x＋b1y)＋n(a2x＋b2y),

因为∀p∈R,F(x,y)≠pG(x,y),所以∀p∈R,a1x＋b1y≠p(a2x＋b2y).

所以∀p∈R,(a1,b1)≠p(a2,b2).

所以上面方程组有解.设其解为α、β,则有H(x,y)＝αF(x,y)＋βG(x,y).

自然地得出了:

H(x∗,y∗)＝αF(x∗,y∗)＋βG(x∗,y∗)∈X⇔αf(a∗)＋βg(a∗)∈X.(α、β∈R,X⊆R.)

由结论2可以看出,非常规解法是在把H(x,y)写成F(x,y)和G(x,y)的线性组合之后,利用“等量代换”而得到的.利用该定理,前面三个例题可分别如下解答:

例1的解 因为x－y＝1·(x－y)＋0· (2x＋y)＝1·(a＋3)＋0·(5a)＜0,所以a＜－3.

这就是非常规解法的本质.

3 结论的应用

再研究一个更一般的例子:

的取值范围.

结果完全相同.

至此,这种题型的结构和本质已经非常清楚地显露出来.它只不过是非常形式化地考查一次方程组与不等式的解法,用到的数学原理仅仅是等量代换,而并没有其他有意义的内容.

2017-05-08)