管窥问题链 谈概念教学

山东省单县第一中学 卫小国 (邮编:274300)

管窥问题链 谈概念教学

山东省单县第一中学 卫小国 (邮编:274300)

数学课堂教学中的“问题链”,是教师在理解教材内容和教学目标的基础上,根据学生已有知识与经验、思维能力;针对某一知识点设计一串相互关联、层次递进的问题.通常概念教学中的“问题链”在表象上是问问相连、环环相扣的形式;而更值得关注的是“问题链”呈现概念的生成过程,让学生体验数学家概括数学概念的心路历程,领悟数学家用数学视角认识世界的真谛.在高中数学概念教学中,从教学结构上主要以引入型问题链与迁移型问题链为常见的类型;而根据教学需要,两种类型相互融合,并不绝对独立.本文,结合对一次问题链比赛的分析,浅谈问题链在概念教学要关注概念的数学本质、认知基础和概念概括的层次性.

1 简评比赛作品

笔者有幸担任第五届校际“问题链”设计大赛的评委工作,问题链课题为人教版必修4“函数y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的图象”.下面摘选部分典型的问题链设计作品,并作简单分析.

吴老师(2年教龄):

问题1 如果对φ取不同的值,作出y＝sin(x＋φ)的图象,观察其与y＝sinx图象是否具有类似的关系?在同一坐标系中画出y＝sinx和y的图象.

问题2 利用上述研究方法,讨论ω对函数y＝sinωx的图象有什么影响?作函数y＝及y＝sin2x的图象.

问题3 利用上述研究方法,讨论A对函数y＝Asinx的图象有什么影响?作函数y＝及y＝2sinx的图象.

何老师(7年教龄)

问题1 函数y＝sin(x±φ)(φ＞0)的图象和函数y＝sinx图象的关系是什么?

问题2 函数y＝sin(ωx)(ω＞0)的图象和函数y＝sinx图象的关系是什么?

问题3 函数y＝Asinx(A＞0)的图象和函数y＝sinx图象的关系是什么?

问题4 函数y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的图象和函数y＝sinx图象的关系是什么?

王老师(9年教龄):

问题1 你认为可以怎样讨论参数A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的图象的影响?

问题5 刚才我们度量研究的A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)图象的影响,进一步思考一下;我们能不能对这三个参数加以整合呢?

由各位参赛选手的问题设计可见,教师目前对问题链在概念教学课堂中的引领作用是认同的;并且能融入个人对学科知识的个性理解和展示自身的学科素养.

优点有:①选手能根据对教学内容理解的基础上,设法通过问题链来激发学生的问题探究意识与兴趣,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.②问题链中的问题展现了选手充分认识到数学概念的高度抽象性,试图设计出具体的、数学的问题情境,降低抽象思维难度.③选手是以典型的、具体的实例为载体,针对不同的参数进行分解处理;再抽象、综合,提炼出三角函数图象的变换作图方法.

但选手在过分关注问题链的流程时,却忽略概念教学问题链设计是“学生对数学概念的认识是重演前人对概念认知过程”;所以有值得商榷的几个方面.大致为:①问题链之间的逻辑关系模糊.从表面上看,三种变换之间没有必然的联系;其实不然,课本对变换编排的先后顺序是经过深思熟虑的,是综合考量学生已在必修1函数部分,对作图有初步的认识的基础上,设计出符合学生认知发展规律的次序.②思维活动的缺失使得问题链有骨感没质感.数学概念高度融入了数学家的思维,是一种“冰冷的美丽”;只有经历“火热的思考”才能理解概念的内涵.而选手的问题链设计停留在概念的学术形态,没有向教育形态上过渡;即概念教学缺少了概念生成性的理解.没有合乎学生认知水平和接近学生思维最近发展区的问题设计,没有更符合学生认知螺旋上升的问题情境;教学将仅剩下几项注意的灌输而已.③概念教学目标不清晰.概念教学的核心活动是“概括”,选手们设计的问题只是提供了问题,但是无法从深层上引导学生展开概括活动.概念教学是系统的思维,需要导引学生分析具体问题中的特性,再抽象出一般情形下的数学属性;学生经历思维从特殊到一般、具体到抽象的提升;进而分析、归纳、抽象、概括获得概念.

2 改进问题设计

概念是人脑对事物本质属性所具有的数学特征的概括反映,是反映客观世界的数量关系和空间形式等的本质属性的思维形式;数学概念从本源可以是对现实对象或关系直接抽象而成的概念,也可以是抽象逻辑思维的产物.基于学生已有的数学基础和活动经验、认知结构与规律,概念教学一定要落实概念生成的本原、基础和层次.简单解释为概念教学要弄清楚以下三个方面:①概念在根本上,要描述的是怎样的数量关系与空间形式;即概念的数学本质.②学习对象对概念学习的接受能力、知识结构和认知水平等;即概念的认知基础.③概念的教学设计要如何设置才能层层递进,使得在问题链中充分渗透概念生成的必要性、合理性和严谨性;即概念的三个层面.

2.1 关于情境引入

三角函数的图象变换是图象作法的直接抽象,是基于“五点作图法”和基本三角函数图象作出三角型函数方法;这即是概念的数学本质,因此要具体研究三个参数的影响.另外进入高中之前,学生接触过函数图象变换,定性掌握了“左加右减、上加下减”作图技巧;且学生有必修一函数部分的学习,初步具备了用基本初等函数图象理解和研究函数的能力;这是概念的认知基础.

对函数作图方法,这种具有过程性特征的数学概念,要基于学生现有认知水平,选择合适的数学素材;设计合理的情境引入.课堂中,教师要围绕设计的问题情境,使学生经历概念的发生发展过程,让学生能根据变化的问题调整认识的角度,反映概念的不同特征,深化对概念的理解.

问题引入 在章前已借助单位圆和“五点作图法”作出正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象,那么我们如何获得在实数域内的图象?

预测活动 学生对已有知识与经验的回忆,会因为知识结构特点不同,产生不同的见解;要引至图象周期性的整体平移是本质.

问题1 运用正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象,结合周期将该部分图象左右平移获得正弦函数图象;即平移图象时点的变化特点及相应代数解释,又是怎样的?

预测活动 问题导引下,经过学生的思考与合作交流,提炼点坐标变化规律:平移是纵坐标保持不变,横坐标变化,即函数值不变自变量以某种方式变化.

通过情景的引入,锲入本节课的整体方向;对平移的简单认知与问题1为定量分析平移变换作好铺垫,同时为振幅变换的类比分析打下伏笔.为研究从正弦函数y＝sinx图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)图象的,必须探究A、ω、φ的影响.这一过程是对概念必要性的考虑,只有研究清楚参数影响,才能确定整个函数图象的生成.

2.2 关于主问题链

问题2 基于y＝sinx的图象如何获得y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的图象;为此探究参数A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)有怎样的影响,那如何选择顺序?

预测活动 由于学生对问题的浅层了解,或存在有多种顺序的选择;选择优先φ,再讨论其他是合情合理的.原有的知识已不足以解决提出的问题,新的问题引起认知的冲突,激发探究的兴趣;同时,也就明确提出需要完成的核心任务是理解概念合理性的.概念生成的合理性,是学生为了解决问题,用数学的思维分析问题的过程;只有教师呈现概念的逻辑结构的同时,从学生的思维方式入手,才能完美解决概念生成的“好不好”问题.

子问题1 为探究φ的影响,我们列表且在同一坐标系内,具体选择函数图象如何由y＝sinx图象平移而来?并思考如何推广到一般情形?

预测活动 学生列表、绘图,作出在y轴右侧的第一个周期内的函数图象;定量分析同一表中函数值不变时,中的自变量x的取值相对减少了个单位.学生抽象一般情形,思维从特殊到一般,在归纳结论的过程中;概括平移变换的规律.从代数解释y＝f(x＋φ)(φ＞0)与y＝f(x)当函数值相同时,前者较后者小φ个单位;而几何解释为纵坐标不变时,前者是后者图象整体向左平移φ个单位.

预测活动 学生同理作出在y轴右侧的第一个周期内的函数图象;定量分析同一表中自变量相同时,中的函数值的取值的2倍.从图象的对比中提炼出振幅变换的几何与代数本质,获得可操作的作图方法;类比的推理能力与逻辑证明意识,在这一过程中得到强化.

预测活动 学生类比分析同一表中自变量相同时,函数值不变时,中的自变量x的取值只是原来的一半.获取周期变换结论的过程,学生相对会熟悉;对比参数对图象的影响,是再认识对应改变的是自变量,还是函数值及以何种改变方式.

以上的问题是概念合理性的研究,结合具体的问题直观想象、推理论证,准确地归纳出合理的操作性过程;在具体中抽象一般规律,概括作图方法,建构变换作图的数学模型.

2.3 关于概念生成

预测活动 学生根据上面的一系列分析,较多是“先平移变换、再振幅变换、后周期变换”.

追问1 是否可以调整一下顺序呢?

预测活动 学生会因为不能准确理解变换的内涵,变式练习时出错;通过“重复”实践再概括具体情境的操作性过程.即在充分感知的基础上再概括,再细致观察,防止概念的错误.

2.4 关于概念完善

问题4 由函数y＝sinx的图象经过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的图象,你认为如何处理呢?

预测活动 学生对以上三个问题的思考,从特殊中已提炼出一般的操作性概念;逐步用比较严谨与规范、简洁的语言描述概念

问题3、4是概念的辨析,即是从概念的具体到一般化,从正例和反例上举证;从而在概念的抽象概括过程中,实现概念的严谨性.

3 概念教学思考

张奠宙教授对概念的解读是“数学概念是建立数学法则、公式、定理的细胞,也是构成数学运算、推理、判断、证明并形成运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力的基本要素”;这揭示数学概念的学习是学习数学的基础.如是,教师对数学概念的数学本质的理解,对学生认知水平的评估,对概念的必要性、合理性、严谨性的领悟;都将直接影响概念教学的效果.

教师要在概念教学的问题链设计中,关注新概念与旧经验的关联,将新的概念纳入到原有概念体系中,与之前的相关概念建立联系.同时,教师要对概念的内容进行教学分解,以知识发现的逻辑关系为明线,以切合学生的思维方式为暗线;在问题链中培养学生敢质疑、善思考、求严谨的理性思维精神,提升学生的数学素养.教师要充分利用概念教学追求的“必要性、合理性、严谨性”,以学生的认知基础为基点,以必要性为始点,以合理性为探究对象,以严谨性为核心;理解概念的内涵与外延,并形成概念的代数与几何的准确表述.

简而言之,就是在课堂教学中,教师要抓住“数学地认识问题和解决问题”这一核心任务,以数学知识的发生发展为脉络,以理解数学知识的心理过程为线索,教会学生构建逻辑上前后一致、思维螺旋上升的学习过程,并能用数学的视角思考问题.

2017-05-11)