基于欧拉梁模型的充流单壁碳纳米弯管波动性能研究
2017-01-24郭哲尹春松
郭哲 尹春松
摘要：本文研究了充满流体的弯曲单壁碳纳米管与流体相互耦合作用下的振动力学行为，利用Hamilton变分原理推导出弯曲的单壁碳纳米管与流体耦合作用下的控制方程，考察了在考虑流体边界条件下的纳观尺度效应、管长、管的曲率半径、流体流速和振幅对碳纳米管的流固耦合振动的影响，最后得到结论：纳观尺度、管长、振幅和曲率半径的增加都会导致碳纳米管耦合振动的频率大幅增加；纳观尺度与管长同时增加时，频率增加的幅度会减小；振幅与曲率同时增加时，碳管振动幅度会有很大提高。
Abstract： The vibration physic behavior of full filled with fluid curved carbon nanotube fixed on the Winkler foundation is studied in this paper. Hamilton variational principle was used to get the control equations of the curved carbon nanotube coupled with fluid and this paper takes nanosacle， length， curvature ratio， fluid velocity and wave amplitude into consideration as significant factors to study the wave propagation of curved carbon nanotube. It gets that with the increasing of the nanoscale， length， curvature ratio， fluid velocity and wave amplitude， the couple vibration frequency ratio will increase heavily. But when nanoscale and the length of carbon nanotube increase at the same time， the increasement of the frequency ratio will be smaller. With wave amplitude and curvature ratio increasing at the same time， the frequency ratio will increase heavily too.
关键词：弯曲单壁碳纳米管；曲率；Hamilton变分原理；流体边界条件；振动频率比
Key words： curved carbon nanotube；curvature ratio；Hamilton variational principle；fluid and solid interaction；frequency ratio
中图分类号：TN751.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）01-0123-06
0 引言
最早开始对碳纳米管进行研究的是日本学者Iijima，其在nature上发表的文章拉开了对碳纳米管研究的热潮[1]。碳纳米管是一门新兴的材料，其在生物运输、导热、导电方面的性能优异[2，3]。目前对于碳纳米管的研究手段形式多样，其中对于其力学性能的研究较为集中。碳纳米管的力学性能研究手段有试验法和理论推导法。由于试验条件的影响，试验的手段收到很大限制[4]，故而理论推导法更加可行。早期的理论推导法主要集中在分子动态模拟（MD）上，由于MD方法在算法上的复杂性以及在大规模计算中耗时较长等方面的限制[5，6]，力学建模法得到极大发展[7，8]。
Dequenes[9]等使用分子动态模拟法和连续模型考虑了中性轴的伸缩，计算了两端固定的碳纳米管的第一阶自然振动频率，总结出非线性连续模型获得的结果跟分子动态模拟法的结果十分吻合并且更加方便。Witkamp[10]等使用非线性梁模型考察了两端固定的碳纳米管的弯曲自然频率的变化。Elishakoff和Pentaras[11]使用两种离散方法——Bubnov-Galerkin等研究了各种边界条件下双壁碳纳米管的自振频率，同时严格地推导了解析表达式。Elishakoff等[12]采用了Bresse-Timoshenko梁模型计算了简支的碳纳米管的自振频率并考虑了剪切变形和转动惯量，与欧拉-伯努利梁模型比较该模型可以得到特别好的结果。
Rabieirad[13]等试验测得在施加谐振荷载和随机荷载的情况下两端固定的碳纳米管的振动频率到达70MHz。San[14]等使用原子力显微镜测得两端固定的碳纳米管的自然频率为3GHz。Amlani[15]等测得在电能驱动下碳纳米管振动界限频率为50GHz。
Postma[16]等使用非线性梁模型研究了两端固定的碳纳米管的振动行为，并在计算过程中使用了Galerkin方法，最后总结出对于小电荷载碳纳米管在线性区域由于缺少热随机噪声几乎是无用的。随后，Georgantzions[17]等提出可以将碳纳米管分散为一系列有质量的点来描述单壁碳纳米管的振动特点。他们在研究中发现，碳纳米管的长宽比对于其振动行为有特别重要的影响。Conley[18]等提出了一个模型同时考虑了平面内和平面外的振动情况，他们认为直管的振动很有可能不是在同一个平面内进行的。于是他们研究了对称的碳纳米管和变形时中性层伸缩的情况。Rhoads[19]等建立了一个连续的模型研究了线性和非线性参数激励对系统的直接作用，通过对碳纳米管的振幅的研究得到了初步的数据，而这些数据在实际的应用中是有很大应用价值。Ouakad[20]等研究了电能驱动下碳纳米管的非线性振动特性，在研究中发现碳纳米管的非线性振动的复杂现象，如磁滞现象、动态临界现象、硬化和软化的行为等等。
Eringen[21]提出非局部理论之后引入了新的研究碳纳米管在小尺度效应下的振动行为。Yang Yang团队[22-25]使用非局部理论研究了单壁和多壁碳纳米管的波动行为，同时与传统的研究方法进行了比较，结果发现使用非局部理论研究碳纳米管可以得到更加精确的结果。
本文研究了单壁充流弯曲碳纳米管在谐激励作用下的非线性振动问题。碳管弯曲时的波看作为一个包含曲率的正弦函数。单壁碳纳米管可以用欧拉-伯努利梁模型来简化振动模型。通过能量法列出弯曲的碳纳米管的动能和势能、流体的动能，对各个能量进行变分，使用哈密顿变分法则得到充流的弯曲碳纳米管的振动控制方程。
1 观流体模型
金努森数（Kn）是描述流体与管壁接触状况的参数，根据金努森数（Kn）的大小可以将流体区域分为四种：①连续流动区域（0
4 数值模拟与讨论
充满流体的弯曲单壁碳纳米管的材料性质和几何尺寸可以取为[27]：
ρc=2.27×103kg/m3，E=1TPa，
ρf=1×103kg/m3，A=3×10-19m2，
I=1.78×10-38m4。
图2所示的为弯曲的碳纳米管管长L=10nm时，不同曲率半径下频率比与纳观尺度效应的关系。从图中可以看到随着纳观尺度的增加，三条曲线都随之增加，这说明了纳观尺度效应对充流的弯曲碳纳米管的流固耦合振动有很大的影响，纳观尺度的增加会导致碳纳米管刚度的增强。三条曲线代表三个不同曲率下碳纳米管振动的频率比曲线，可以看到随着曲率的增加，曲线上移，也即频率比是随着曲率的增加而增加的。三条曲线的变化情这说明了曲率对碳纳米管的充流振动也有很大的影响，随之曲率的增加，碳纳米管的振动刚度有所加强。
图3所示的为弯曲的单壁碳纳米管管长L=20nm时，不同曲率半径下频率比与纳观尺度效应的关系。从图中可以看到频率比即耦合振动频率与碳纳米管的自由振动频率的比值是随着碳纳米管的小尺度效应的增加而增加的，同时碳管的曲率的增加也会导致碳纳米管的频率比的增加，这说明了纳观尺度和碳纳米管的曲率在一定的范围内是会导致碳纳米管的刚度增强的因素。对比图3和图2可以看到，随着管长的增加，碳管的耦合振动频率与自由振动频率的比值是增加的，这说明管长对碳纳米管流固耦合振动也有较大的影响。
图4所示的为单壁充流碳纳米管管长L=60nm时，不同曲率半径下频率比与纳观尺度效应的关系。从图中可以看到，碳管的耦合振动频率与自由振动频率的比随着纳观尺度的增加而增大，这说明纳观尺度对于充流振动的弯曲碳管的增强有很大的作用。同时三条曲线几乎重合，这说明随着碳管的管长值越大，弯曲曲率对两者频率的比值影响就越小。对比图2、图3和图4可以看出随着管长长度的增加，碳纳米管与流体耦合振动频率与自由振动频率的比值是增加的，同时管长的增加也会导致碳管弯曲的曲率对两个频率比值的影响减小，这说明管长和纳观尺度的增加会使碳管的刚度的增加。
图5所示的为流体流速对碳管流固耦合振动频率与自由振动频率比的影响曲线。从图中可以看到随着流体流速的增加，碳管流固耦合振动频率与自由振动频率比是增加的，这说明了流体流速对碳管的刚度的增加有很大的作用。对比三条曲线可以看出，碳管的曲率越大，频率比值越大，这也说明了曲率对于碳管的刚度增强也有很大的帮助。
图6所示的为碳管振动振幅、曲率对固耦合振动频率与自由振动频率比的影响曲线。图中可以看出随着碳管振幅的增加，频率比值是增加的；随着曲率的增加频率比值也是增加的。说明了在碳管振幅和曲率同时作用下，碳管的振动频率是增加的，也说明了碳管振幅和曲率的增加会导致碳管的刚度在一定范围内有所增加。
图7所示的为振幅与纳米尺度对碳管流固耦合振动频率与自由振动频率比的影响曲线。从图中可以看出随着碳管振幅的增加，流固耦合振动频率与自由振动频率比值是逐渐增加的。当振幅a？燮1.25时，纳观尺度e0a=0所对应的频率比值曲线随着振幅的增加是上升的，其位于e0a=1所对应的频率比曲线的上方，位于e0a=2对应的频率曲线的下方。当a>1.25，随着碳管振幅的增加，e0a=1所对应的频率比曲线和e0a=2对应的频率曲线同时急剧增加，e0a=1所对应的频率比曲线位于e0a=0所对应的频率比值曲线的上方。说明了在一定范围内，随着碳管的纳观尺度的增加，碳管的流固耦合振动频率与自由振动频率比的影响曲线是先减小后增加的，这也说明在一定范围内纳观尺度与碳管振幅同时作用时，碳管的刚度会出现先减小后增加的情况。
图8所示的为考虑流体边界条件下流体流速对碳纳米管振动频率比的影响，从图中可以清楚地看到随着流速的增加，频率比是增加的；随着金努森数的增加，频率比却是在减小。这个现象说明了流速的增加对于弯曲的碳纳米管的振动频率有很大影响。同时流体边界条件对碳纳米管振动频率比有相当大的影响，随着碳纳米管流体边界粗糙度的增加，流体的流速对碳纳米管的振动有削弱作用。
5 结论
本文对充流的单壁碳纳米管弯管的流固耦合振动进行了研究，在研究中主要考察了纳观尺度效应、管长、管的曲率半径、流体流速和振幅对碳纳米管的流固耦合振动的影响。对振动频率散点图进行分析后得到以下结论：①在一定变化范围内，碳纳米管的振动频率会随着纳观尺度效应的增加而增加，这说明了纳观尺度效应会导致充流的单壁碳纳米管的刚度的增强；②碳纳米管长的增加会导致充流的碳纳米管耦合振动频率的增加，这说明管长在一定范围内的增加也会使碳管的刚度有所增强，管长的增加也会削弱管道的曲率半径带来的影响；③碳管的曲率半径和振幅同时增加时，碳管的流固耦合振动的频率增加是显著的；④在小振幅的情况下，纳观尺度对碳管的流固耦合的影响是复杂的，在一定范围内，随着碳管的纳观尺度的增加，碳管的流固耦合振动频率与自由振动频率比的影响曲线是先减小后增加的，这也说明在一定范围内纳观尺度与碳管振幅同时作用时，碳管的刚度会出现先减小后增加的情况。
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