当《道德经》与数学相遇——论“道”的三大数学意蕴

姜立刚

（乐山师范学院，四川 乐山 614000）

当《道德经》与数学相遇
——论“道”的三大数学意蕴

姜立刚

（乐山师范学院，四川 乐山 614000）

“道”作为《道德经》的核心，是老子哲学体系的最高范畴。数学是思维的科学，抽象性是其根本特征。当《道德经》与数学相遇，用“道”的思想来阐述数学知识与思想特性，具有深刻意义。本文从“道”与集合、“道”与0、“道”与点三个角度来阐释“道”的哲学思想与数学的相辉相应。

道德经；数学；道

余秋雨说:“西方有人曾经说过，世界上的哲学都是用德文写的。有了老子，我们可以说一句，处于巅峰上的那种哲学，是用中文写的。”迄今为止，老子的《道德经》，已有数千年历史，《道德经》外文译本已有近500种，涉及30多种语言，不仅对我国的思想文化产生了深刻而久远的影响，在世界范围内也有着重要影响。数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，往往被我们认为是最严谨的学科，其以高度的抽象性为显著特征。数学是思维的科学，数学知识蕴含的数学思想是数学科学研究中的精髓所在。20世纪初，在经历了“数学悖论与三次数学危机”后，数学家们才意识到：追问“数”是什么、“点”是什么并不属于数学讨论的范围，而是一种没有实际意义的“形而上学”问题。尽管当时，数学家们认为这样的“形而上学”式的讨论毫无意义，但却将数学与哲学的关系追问提升到了新的高度，再次证明数学思维与哲学思维之间的相通、相融与相映。“数学与哲学……就是两个难以截然划分的学科。它们或互为表里，或互相包容，浑然一体，都具有高度的抽象性和很大的普遍性”。因此，本文的讨论正是基于这样一种前提，在前人对数学进行哲学思考的基础上，以数学中的集合、0与点为出发点，进一步探讨《道德经》与数学及数学思想的相通与相映。

一、“道”与集合

《道德经》开篇第一章《大道无常》即谈到：“道可道，非常道；名可名，非常名。”意思就是，凡可道出之道，就不是真正的“道”；凡可命名之名，就不是真正的“名”。那么，究竟何谓“道”？《韩非子·解老》中这样阐述，“道者，万物之所然也。万理之所稽也。理者成物之文也。道者万物之所以成也。故曰道，理之者也。”这里指出，“道”是世间万物生成的根本所然，“理”则是世间万物的外在形式。而《易经》则认为，“一阴一阳谓之道”，“阴阳”是孕育天地万物之本源，故“道”乃“阴阳”之上位。因此，“道”，用以代表宇宙的本源和宇宙之间的普遍规律。何谓“名”？一般认为，人对事物的认识，最先源自于对各种事物命名的过程。列维-斯特劳斯曾指出，“这些北部澳大利亚人用一个认识说明事物的起源……在万物之始，瓦维拉克姐妹动身向海边走去，一边走一边给土地、动物和植物命名。”世界各地、各民族早期的神化传说中有大量这样的记载。

因此，我们可以说，“名”是“道”的存在形式。道，既是“众妙之门”，又可衍化于世间万事万物之中。“道”，既生万物，又为万物所循，无踪无形，而又无处不在。根据亚里士多德的定义，哲学是“研究存在者之为存在者的科学”。所谓存在者，就是“存在”的具有，是“存在”存在的承载体。“存在”存在着，或以某种形式存在，或是某种形式的存在，即为存在者。简单来说，“存在”相对于存在者来说，是更为高层更为抽象的“普适一般”，而存在者则相对“具体”。我们可以认为，“道”相对于“名”来说，就是存在与存在者的关系，“名”仅作为道的一种存在形态而存在，“道”是“名”遵循的最高原理与规则。

“如果存在不是存在者的无蔽，而是纯粹的多、无序的多，就是非物/虚无，那么通往存在的道路就不可能是诗，而只能是数学。……集合才能帮助我们抵达存在。”集合在数学中是不能逻辑定义的原始概念。对于集合，我们做出如下约定：一些对象的汇合是一个集合。集合内的对象是各不相同的。一个对象要么属于它，要么不属于它，二者居其一且必居其一。每个集合的集合仍然是一个集合。存在空集（也就是没有元素的集合）。集合的存在，关键在于集合内部元素之间关系的抽象。世界中万事万物种类繁多，形态多样。集合通过对具体事物的抽象，就可以构成一个相对独立的集合体。例如，在生活中有很多水果，苹果、梨、香蕉、桔子……等等，数学通过思维的抽象，使这些具体的事物可以抽象成一个整体“水果”，即构成了一个集合。同理，在“水果”这个集合的基础上，我们可以进一步对事物的具体特性进行抽象，就可以形成“果实”的集合。这样来看，“水果”这个集合就成为“果实”的一个元素，反映了人们思维的逐层抽象的过程。以此类推，数学利用思维的特性，逐渐打破现实事物的自然边界，世间万事万物逐渐成为一个整体，即“宇宙”的集合，甚至“宇宙”也可以作为另外一个更为高深宽广的集合元素存在。……凡是数学能够抽象的存在，都可以将其划归到集合领域。这时，“集合”就成为能够反映人类思维的存在，或者说成“存在者”更为贴切一些。正如《道德经》所说，“吾不知其名，强字之曰道，强为之名曰大。”因此，“道”，作为存在，是世间万物最普遍最抽象的特性。“名”的过程是对具体事物抽丝剥茧、逐步抽象的过程，“名”是“道”存在的存在者。

综合以上分析，“道可道，非常道”中的“常道”是一种基于抽象的基础上形成的“普适”存在。数学中“集合”的生成，正是基于一次又一次的“剔除具性，抽取共性”才得以形成的存在。因此，《道德经》的“道”与数学中的“集合”在其“层层抽象”的意义上不谋而合。

二、“道”与 0

0就是无，无即为0。0，作为一个思维的产物，看似卑微，毫不起眼，但它的发明和应用，早已被世界公认为具有划时代意义的里程碑。如若没有了0，我们就无法进行大数的记载与拓展；如若没有了0，我们的位值制记数法就无从谈起……可以说，0的产生，不论是对于数学，还是对于其他学科的发展，都有着举足轻重的意义。0是一种“无”的存在，“无”是0存在的最初价值。然而，“零是任何一个确定的量的否定，所以不是没有内容的。相反，零具有非常确定的内容。”0的产生，就源自于对“无”与“有”的关系追寻。

空集公理是集合论中的第二个公理，“存在一个没有任何元素的集合，即为空集”。空集是一切非空集合的真子集。空集公理在数学中具有独特的作用，尤其在自然数的产生中，它恰好可以证明“空”，亦即“无”，是一切自然数产生的前提。数学家冯·诺依曼用集合的语言，“集合组成的集合”和存在空集这两个约定，简约、清晰、准确地建构了自然数体系。具体表示如下：

0=ø（空集）

1={0}={ø}

2={0,1}={ø,{ø}}

3={0,1,2}={ø,{ø},{ø,{ø}}}

4={0,1,2,3}={ø,{ø},{ø,{ø}},{ø,{ø},{ø,{ø}}}}

……

n={0,1,2,3,…,n-1}

依照这样的序数构造理论，自然数就一个一个地无限产生，构成了自然数体系。《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想与冯·诺依曼的序数构造理论完美契合。“道生一”，实现了“无生有”，即 0到1；1添 1，即为 2；再添 1，即为 3，如此等等，就构成了以“无限”为属性的自然数体系。真正的无限是事情本性的无限，这种无限正是无限本身，黑格尔称之为绝对精神，印度哲学称之为梵、真、如，中国哲学称之为道，古希腊哲学称之为逻各斯，基督教则称之为上帝，唯物主义称之为物质本源，名异而实同。在任何一种有限之中都达到了自己的存在，因此任何有限都是无限本身存在之有限，也就是以如此特定的方式存在的无限本身，而这也就是现代全息论所解释出来的一切即一，一即一切的无限的真谛所在。正如，德国数学家克罗内克所说：“上帝创造了自然数，其余都是人为的”。而在这里，我们则认为是“道”创造了自然数。“道可道，非常道”，道德经中的“道”，即可理解为无穷，亦即永恒。正是“道”这种无限，不断地衍生分化出一个又一个的“有限”，无限的“有限”又可透出的无限的“道”之真谛。同理，“数可数，非常数”，如果一个数可以数出来，就不是无穷的数。0看似“无”，却在“无”的基础上不断衍生分化出一个又一个的“有”之数，无限的“有”之数，又内隐了无限之含蕴。因此，从这个意义上讲，“道”与0是相通相融的。

三、“道”与点

在数学中，我们把不可定义的概念，称之为原始概念。在严密的希尔伯特几何体系中，点、线、面等都是不可定义的概念。因此，“点”在数学中是作为原始概念存在的，无法对其进行规定性的描述，是无需界定的概念。《几何原本》中指出，“点是没有部分的”。“点”作为空间形式的最小单元，是一个无结构、无大小、无维数的存在。然而，“点动成线，线动成面，面动成体，”这是为我们所熟知的数学规律。在数学中，由于图形的运动，空间形式的世界才会变得纷繁复杂。数学中纷繁复杂的空间构成，追根溯源，源自于“点”。而“点”却是一个无结构、无大小、不可分割、不可测量的存在，这就是《道德经》中的“无”，即所谓的“无名天地之始”。“无”可生“有”，“有”生万物，“有”中蕴含“无之根本”，即为“道”。“点”可生“线”，“线”可生“面”，“面”可成“体”。在这个意义上，“点”即为“无”，“点”生“线”。“线”是只有长度而没有宽度的存在；“面”是只有长度和宽度的存在；“体”是有长、宽、高的存在……正如毕达哥拉斯认为，“从点产生出线；从线产生出平面；从平面产生出立体；从立体产生出感觉所及的一切物体。”

“点”，既是没有维数的空间，又可存在于任何维数的空间，同时，任何维数的空间在系统研究中都可以抽象为一个点。所以，“点”是“无”与“有”的统一。因此，《道德经》中的“道”与空间形式的“点”是紧密相通的，老子以“道”为“无”构建了其意蕴深厚的哲学体系，数学以“点”为“无”构建了数学纷繁复杂的空间形式体系。

总之，“道”作为《道德经》的核心，并不是现实中的不存在，而是哲学思维里的一种最高存在，其无踪无形，且为万事万物所循。对“道”的理解，其可以是“本源”、根本或最高法则，也可以是“无”、无限或永恒，还可以是“历经层层抽象”的存在。《道德经》在对“道”的内蕴探讨中，让我们看到了老子思想中“道”的博大精深。数学作为思维的科学，其以最严谨的形式向我们展现人类思维的各种可能性。因此，在数学中寻找《道德经》中“道”的体现，用“道”来理解数学思维的特性，让数学与哲学相辉相应，颇有研究意义。

［1］韩非.道德经全解［M］.北京：中国华侨出版社，2015.

［2］张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究［M］.北京：高等教育出版社，2009.

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1008-8431（2017）06-0069-03

2017-10-15

姜立刚(1982-)，女，乐山师范学院讲师、博士。

（责编：许淑贤）