带电粒子场中动考题类型须弄清

2017-01-21华兴恒

中学生理科应试 2016年11期

华兴恒

带电粒子在不同的场中运动是高考的热点，有些学生对此类问题望而生畏，常常不知如何入手求解，导致考场失利，难以荣录心仪的学校.为此下面对此类考题分类例析，只要大家分类掌握了这些题型的解法，然后达到举一反三，便可触类旁通，为顺利高考打下坚实的基础.

一、带电粒子在电场中的运动问题

例1 （2016年全国卷Ⅱ）如图1所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆.带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点.若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc.则（）图1

解析因为带电粒子只受电场力的作用，由点电荷电场强度公式E=kqr2可知，离场源点电荷P越近，电场强度越大，Q受到的电场力也就越大，则由牛顿第二定律可知，加速度越大，故有ab>ac>aa，则选项A、B错误；由力与运动的关系可知，Q受到的库仑力指向运动轨迹凹的一侧，因此Q与P带同种电荷，Q从c到b的过程中，电场力做负功，动能减少，从b到a的过程中，电场力做正功，动能增加，因此Q在b点的速度最小，由于b、c两点的电势差的绝对值小于a、b两点的电势差的绝对值，因此Q从c到b的过程中，动能的减少量小于从b到a的过程中动能的增加量，Q在c点的动能小于在a点的动能，即有va>vc>vb.故应选D.

点评掌握点电荷电场的特点，明确电场力做功与电势差的关系，是顺利求解本题的关键.熟知带电粒子仅在电场力的作用下，其加速度的大小取决于场强的大小，其速度的大小取决于电场力做功的正负与大小.要注意的是：带电粒子在电场中运动时，若只受电场力的作用，则带电粒子的动能与其势能的总和为一定值.

例2 （2016年北京卷）如图2所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏转电场，并从另一侧射出.已知电子质量为m，电荷量为e，加速电场电压为U0，偏转电场可看作匀强电场，极板间电压为U，极板长度为L，板间距离为d.

图2

（1）忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度v0和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离Δy.

（2）分析物理量的数量级是解决物理问题的常用方法.在解决（1）问时忽略了电子所受的重力，请利用下列数据分析说明其原因.已知U=2.0×102V，d=4.0×10-2m，m=9.1×10-31kg，e=1.6×10-19C，g=10m/s2.

（3）极板间既有静电场也有重力场.电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势

φ的定义式.类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”φG的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点.

解析该题主要考查带电粒子在加速电场和偏转电场中的运动、电势的定义等知识.

（1）根据功和能的关系，有eU0=12mv20，则电子射入偏转电场的初速度v0=2eU0m.

在偏转电场中电子的运动时间为Δt=Lv0=

Lm2eU0，可得偏转距离△y=12a（Δt）2=12·eUdm（Δt）2=UL24U0d.

（2）考虑电子所受重力和电场力的数量级，有重力G=mg～10-29N，电场力F=eUd～10-15N.因为FG，因此无须考虑电子所受的重力作用.

（3）电场中某点电势φ定义为电荷在该点的电势能EP与其电荷量q的比值，即φ=EPq.由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能EG与其质量m的比值叫做“重力势”，即φG=EGm.电势φ和重力势φG都是反映场的能的性质的物理量，仅由场本身的因素决定.

例3 （2015年全国卷Ⅱ）如图3所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点.已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°，它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°，不计重力.求A、B两点间的电势差.

解析设带电粒子在B点的速度大小为vB，粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即vBsin30°=v0sin60°，由此可得vB=3v0.

设A、B两点间的电势差为UAB，则由动能定理有qUAB=12m（v2B-v20），将vB代入可解得UAB=mv20q.

点评带电粒子在匀强电场中运动，垂直电场方向上其分速度大小不变，电场力只改变带电粒子沿电场方向上的分速度，两个方向上分速度的大小关系也就决定了带电粒子运动方向与电场线方向的夹角，重点是将速度分解，然后根据qU=△Ek即可获解.

二、带电粒子在磁场中的运动问题

例4 （2016全国卷Ⅱ）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图4所示.图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴角速度ω顺时针转动.在该截面内，一带电粒子从小孔M射入圆筒，射入时的运动方向与MN成30°角.当圆筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒.不计重力，若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（）.图5

A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB

解析由题意可知带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图5所示.由几何关系可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此带电粒子在磁场中运动的时间为t=112×2πmqB；由题意可知，带电粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即πm6qB=14×2πω，求得qm=ω3B.

故应选A.

点评求解本题的关键是要能够正确的审题，并能够根据审题结果正确地画出粒子运动的轨迹，并找准几何关系.简单地说就是：定圆心，画轨迹，由几何知识求半径，找圆心角求时间.否则会导致错解的发生.

例5 （2016四川卷）如图6所示，正六边形abcdef区域内有垂直纸面的匀强磁场.一带正电的粒子从f点沿fd方向射入匀强磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc.不计粒子重力，则（）

解析设正六边形的边长为l，一带正电的粒子从f沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，则由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为rb=l，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角为120°.因为由洛伦兹力提供向心力，则有Bqvb=mv2bl，解得l=mvbqB，且T=2πlvb，可得tb=13·2πmqB；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，则由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径rc=l+12lsinθ=2l，同理有2l=mvcqB，tc=16·2πmqB.解得vb∶vc=1∶2，tb∶tc=2∶1，则选项A正确.故应选A.

点评解答本题的关键是要确定粒子做圆周运动的圆心，然后根据几何关系求出粒子做圆周运动的半径以及运动轨迹所对应的圆心角，这样就能够顺利获解.

例6 （2016年全国卷Ⅲ）平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面图8

（纸面）如图8所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）.粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场.不计重力，粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）.

A.mv2qB B.3mvqB C.2mvqB D.4mvqB

解析如图9所示为粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图，设出射点为P，粒子运动轨迹与ON的交点为Q，粒子入射方向与OM成30°角，则射出磁场时速度方向与MO成30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到O点的距离为轨道圆直径的2倍，即4R.又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径R=mvqB，故应选D.

点评准确作出带电粒子在磁场中的运动轨迹是解题的关键，在做题时可以运用直尺和圆规或小硬币辅助作图，以利于顺利求解.

例7 （2013年课标全国卷Ⅰ）如图10所示，半径是R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（）.

A.qBR2m B.qBRm C.3qBR2m D.2qBRm

解析作出粒子运动轨迹如图11中实线所示.因P到ab的距离为R2，可知α=30°.因粒子速度方向改变60°，可知转过的圆心角2θ=60°.由图中几何关系有（r+R2）tanθ=Rcosα，解得r=R.再由Bqv=mv2r，可得v=qBRm.则选项

A、C、D错误，选项B正确.故应选B.

点评正确地描绘粒子运动轨迹是顺利求解本题的关键，然后根据几何关系，利用边、角关系确定圆的半径，进而根据圆周运动的规律便可简捷地求出粒子的速率.

三、带电粒子在复合场中的运动问题图12例8 （2016年北京卷）如图12所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动.不计带电粒子所受的重力.

（1）求粒子做匀速圆周运动的半径R和周期T；

（2）为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E的大小.

解析（1）因洛伦兹力提供向心力，则有qvB=mv2R，据此可求得带电粒子做匀速圆周运动的半径R=mvqB，匀速圆周运动的周期T=2πRv=2πmqB.

（2）带电粒子所受的电场力为F=qE，洛伦兹力为f=qvB.因带电粒子做匀速直线运动，则有qE=qvB，据此可得电场强度的大小为E=vB.

地面上方有一范围足够大的

互相正交的匀强电场和匀强

磁场区域.磁场的磁感应强

度为B，方向水平并垂直纸面

向里.一质量为m、带电荷量为q的带正电微粒在此区域内沿竖直平面（垂直于磁场方向的平面）做速度大小为v的匀速圆周运动，重力加速度为g.

（1）求此区域内电场强度的大小和方向.

（2）若某时刻该微粒在场中运动到P点时，速度与水平方向的夹角为60°，且已知P点与水平地面间的距离等于其做圆周运动的半径.求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离.

（3）当带电微粒运动至最高点时，将电场强度的大小变为原来的12（方向不变，且不计电场变化对原磁场的影响），且带电微粒能落至地面，求带电微粒落至地面时的速度大小.

解析（1）由于带电微粒可以在电场、磁场和重力场共存的区域内沿竖直平面做匀速圆周运动，表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等、方向相反，因此电场强度的方向竖直向上.

设电场强度为E，则有mg=qE，即E=mgq.

图14

（2）设带电微粒做匀速圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力公

式有qvB=mv2R，解得R=mvqB.

依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹如图14所示，由几何关系可知，该微粒运动至最高点时与水平地面间的距离hm=52R=5mv2qB.

（3）将电场强度的大小变为原来的12，即F电=mg2，带电微粒运动过程中，洛伦兹力不做功，所以在它从最高点运动至地面的过程中，只有重力和电场力做功，设带电微粒落地时的速度大小为v1，根据动能定理有mghm-F电hm=12mv21-12mv2，解得v1=v2+5mgv2qB.

答案：（1）mgq，方向竖直向上（2）5mgv2qB

（3）v2+5mgv2qB

点评处理带电粒子在复合场中运动问题的技巧.

1.弄清复合场的组成.

2.正确分析带电粒子的受力及运动特征.

3.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律.

4.对于临界问题，注意挖掘隐含条件，关注特殊词语如“恰好”“刚好”“至少”，寻找解题的突破口.

例10 （2012年课标全国卷）如图15所示，一半径为R的圆表示一柱形区域（纸面）.在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直.圆心O到直线的距离为35R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域.若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小.

解析粒子在磁场中做圆周运动，设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得

qvB=mv2r

①

式中v为粒子在a点的速度.

如图16所示，

过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c、d两点，则由几何关系可知，线段ac、bc与过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）

围成一正方形.因此有

ac=bc=r②图16

设cd=x，则由几何关系可得

ac=45R+x

③

bc=35R+x④