浅析归纳法在数学中的应用

朱德跃

摘 要：归纳推理是一种思维意识很强的方法。不仅仅是在数学方面，甚至在法律、医学、哲学中，归纳推理都有着不可忽视的应用方面。人人都离不开归纳，每个人时时刻刻都在无形地用着归纳。在无形中我们就运用了归纳的方法。本文笔者对归纳法在数学中的应用进行分析探讨，并阐述了归纳法在数学应用中的深远意义。

关键词：归纳法;应用;意义

一、归纳推理的概念

所谓归纳推理，就是根据某一类事物的部分对象具有某种性质，然后推出这类事物中的所有对象都具有这种性质，这就叫做归纳推理。归纳推理的分类见下表：

二、归纳法在数学中的应用

（一）完全归纳法

1.穷举归纳法：对某类事物中的对象都进行逐个研究，概括出这些对象都具有（或者不具有）某种属性的结论 。

例1 一个密封的盒子中有两只红色球，一只白色球，试问依次从中抽取两个球的话，有哪几种可能？

解：对两只红色球标号红1、红2，则有以下几种可能：1.依次抽到红1、红2;2.依次抽到红1、白球;3.依次抽到红2、红1;4.依次抽到红2、白球;5.依次抽到白球、红1;6.依次抽到白球、红2。这些便是所有可能的出现的情况。需要强调的是，只有当研究的对象数目有限且相对较少时才能使用穷举归纳法，因为当研究的对象数目无限多时，不能一一列出，但是我们通常要研究的事物一般都包含有无数多个对象，所以穷举归纳法有很大的局限性。

2.类分法：所考察的某一类事物包含无穷多个对象时，把它们划分成几个子项（子类）进行逐一研究，然后得出这类事物都具有（或者不具有）某种属性的结论 。

例2 试讨论方程组ax?+bx+c=0的解的情况。

解：当a=0，b=0时，方程组没有解;

当a=0，b≠0时，方程组为bx+c=0，方程组有一个解x=-c/b;当a≠0，b=0时，方程组为ax?+c=0，x?=-c/a;当ac<0时，方程组有解x=± ，当ac>0时，方程组没有解;当a≠0，b≠0时，方程组为ax?+bx+c=0，当△=b?-4ac>0时，方程组有解x=，当△=b?-4ac<0时，方程组在实数范围内无解。

在我们学习过的函数中，分段函数就用到了类分法。例如，狄里克雷函数

。

使用类分法需要注意的是：1.对某一个问题进行类分时，要使用同一个标准; 2.对所有情况都要分析到，不能遗漏掉某种情况; 3.任意两个分类之间都是相互排斥的，没有交集。

（二）不完全归纳法

1.枚举归纳法：根据一类事物的几个特殊对象都具有（或者不具有）某种属性而作出这一类事物都具有（或者不具有）某种属性的推理方法 。它是针对几个特殊对象的研究，是属于对个别对象的观察与研究。

例3 证明：数列12，1122，111222，……中的每一项都可以表示成为两个连续的自然数的乘积。分析 12=3×4      1122=33×34       111222=333×334

归纳猜想：证明 记=m，则=m*10n+2m=m+2m=9m?+3m=

3m（3m+1）=命题得证。

枚举归纳法仅仅通过对几个特殊对象的研究与观察就得出了一般性的结论，它缺少对这个结论发生原因的科学分析，所以它的归纳猜想所具有的可靠性较差。

2.科学归纳法：根据对某一类事物的几个特殊对象作研究，发现它们都具有（或者不具有）某种属性，并从因果关系方面对这类事物所具有的属性进行科学性的分析，从而做出这一类事物都具有（或者不具有）某种属性的推理方法 。

例4试求直线系（4m+1）x+（m-1）y-1=0，（m∈R）的性质。

分析令m=0，得直线l1：x-y-1=0①  令m=1，得直线l2：5x-1=0②  解①、②得交点P（，）

直线系的性质有两种（过定点或者互相平行），因为l1，l2相交于点P，所以归纳猜想：题中所给直线系过定点P。证明 把P（，）代入直线方程 左边= （4m+1）（m-1）+

1=0 右边=0 ∴对任意的m∈R，直线系总过定点（，）。

三、归纳法的意义

归纳法在很多方面都具有重要意义，在学术领域，我们可以对现有知识进行归纳总结，利用相对应的行之有效的方法来发现更高学术方面的问题，引领新的发展方向。归纳法使我们了解了一种“化有限为无限”的辨证思维方法。无论在科学方面还是生活方面都有很重要的意义。

参考文献：

[1]李明昌.浅述归纳法的应用[J].数字化信息，2012（12）：32-33.