步步为营，踩点得分

王朝珍

在每一份中考试题中，考查函数有关知识的试题都占有相当大的比例，下面以2016年中考题为例，对中考函数解答题中的常考典型题加以分析，归纳出重要考点，展示解题过程中的得分点，希望同学们能掌握函数中的重要考点，学会踩点得分，进而提高中考成绩.

例1 （2016·江苏泰州，10分）如图1，点A（m，4），B（-4，n）在反比例函数y=[kx]（k>0）的图像上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.

（1）若m=2，求n的值；

（2）求m+n的值；

（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式.

【考点】一次函数、反比例函数与三角函数等知识的综合，数形结合是解题的关键.

【分析】（1）先把A点坐标代入y=[kx]求出k，得反比例函数解析式，再把B（-4，n）代入反比例函数解析式求出n；（2）利用反比例函数图像上点的坐标特征得到4m=k，-4n=k，两式相减消去k可得m+n的值；（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，则tan∠AOE=[m4]，tan∠BOF=[-n4]，代入tan∠AOD+tan∠BOC=1，再与m+n=0联立，可求出m、n的值，从而得点A和B的坐标，然后用待定系数法求直线AB的解析式.

解：（1）由m=2得A（2，4），把A（2，4）代入y=[kx]得k=8，反比例函数解析式为y=[8x]，（1分）

把B（-4，n）代入y=[8x]得n=-2.（3分）

（2）∵点A（m，4）、B（-4，n）在反比例函数y=[kx]（k>0）的图像上，∴4m=k，-4n=k，∴4m+4n=0，即m+n=0.（6分）

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，在

Rt△AOE中，tan∠AOE=[AEOE]=[m4]；在Rt△BOF中，tan∠BOF=[BFOF]=[-n4].∵tan∠AOD+tan∠BOC=1，∴[m4]+[-n4]=1.而m+n=0，∴m=2，n=-2，（8分）则A（2，4），B（-4，-2）.设直线AB的解析式为y=px+q，把A（2，4），B（-4，-2）代入得[2p+q=4，-4p+q=-2，]解得[p=1，q=2，]∴直线AB的解析式为y=x+2.（10分）

【点评】将一次函数与反比例函数综合是中考中最常见的题型，解决这类问题除综合运用相关知识外，还要重视数学思想方法的灵活运用.

例2 （2016·湖北随州，9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）.

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

【考点】一次函数、二次函数与方程、不等式的综合，应用题的解法.

【分析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x满足一次函数关系式，用待定系数法求解即可；由图像知当50

（2）根据w关于x的函数关系式，分两段考虑其最大值问题，两个最大值作比较即可得出结论.

（3）令w≥5600得不等式，解不等式求出x的取值范围，即可得出结论.

解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，将点（0，40）、（50，90）代入得[b=40，50k+b=90，]解得[k=1，b=40，]

∴y=x+40；

当50

∴y=[x+40 1≤x≤50，且x为整数，90 50

（1分）

由表格可知每天的销售量p与时间x可近似看作一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），

∴[60m+n=80，30m+n=140，]解得[m=-2，n=200，]

∴p=-2x+200（1≤x≤90，且x为整数）.（2分）

当1≤x≤50时，w=（y-30）·p=（x+40-30）（-2x

+200）=-2x2+180x+2000；当50

=[-2x2+180x+2000 1≤x≤50，且x为整数，-120x+12000 50

（4分）

（2）当1≤x≤50时，w=-2x2+180x+2000=

-2（x-45）2+6050，∵a=-2<0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元.（5分）

当50

-120<0，w随x增大而减小，∴当x=50时w取最大值，最大值为6000元.∵6050>6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元.即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元.（6分）

（3）当1≤x≤50时，令w=-2x2+180x+2000≥5600，解得30≤x≤50，50-30+1=21（天）；当50

综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元.（9分）

【点评】将函数与方程、不等式综合在一起的实际问题在生活中最常见，也是中考应用题的常见题型.解决这类问题要善于将实际问题转化为数学问题，再构造出函数、方程、不等式模型，综合运用函数、方程、不等式知识来寻找解题途径.

例3 （2016·湖北咸宁，12分）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.

（1）当b=3时，在图3中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！

①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；

②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；

③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.

【考点】平面直角坐标系，函数，方程，尺规作图，勾股定理，轴对称，最值问题.

【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图后标出字母.（2）①分x>0和x≤0两种情况讨论：当x>0时，如图5，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，可得PA=PB=y，再在Rt△APE中由勾股定理求出y与x之间的关系式；当x≤0时，同样求出y与x之间的关系式，即可发现曲线L是一条抛物线.②首先用代数式表示出d1，d2，进而得到d1+d2，即可得到d1+d2的最小值，进而得到d1+d2的范围；当d1+d2=8时，则可得到关于x的方程，分x≥0和x<0两种情况求出方程的解并进行检验，从而得出点P的坐标.③数形结合，直接写出k的取值范围即可.

解：（1）如图4所示.（3分，画垂直平分线、垂线、标出字母各1分）

（2）①当x>0时，如图5，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E.∵l1垂直平分AB，∴PA=PB=y.

在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1.由勾股定理得（y-1）2+x2=y2.（5分）

整理得y=[12x2]+[12].当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=[12x2]+[12]，（6分）

∴曲线L就是二次函数y=[12x2]+[12]的图像，即曲线L是一条抛物线.（7分）

②由题意可知，d1=y=[12x2]+[12]，d2=[x]，∴d1+d2=[12x2]+[12]+[x].当x=0时，d1+d2有最小值[12]，∴d1+d2的范围是d1+d2≥[12].（8分）

当d1+d2=8时，则[12x2]+[12]+[x]=8.（ⅰ）当x≥0时，原方程化为[12x2]+[12]+x=8，解得x1=3，x2=-5（舍去）；（ⅱ）当x<0时，原方程化为[12x2]+[12]-x=8，解得x1=-3，x2=5（舍去）.将x=±3代入y=[12x2]+[12]，得y=5，（9分）

∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）.（10分）

③把y=2代入y=[12x2]+[12]，得x1=[-3]，x2=[3]，∴直线y=2与抛物线y=[12x2]+[12]两个交点的坐标为（[-3]，2）和（[3]，2）.当直线y=kx+3过点（-[3]，2）时，可求得k=[33]；当直线y=kx+3过点（[3]，2）时，可求得k=[-33].故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是[-33]

【点评】本题是压轴题，综合考查了绝对值、一元二次方程、平面直角坐标系、一次函数、二次函数、尺规作图、勾股定理、轴对称——翻折、最值等知识.读懂题目、准确作图、熟练运用函数及其图像的有关知识是解题的关键.近几年的中考试题中，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴题层出不穷，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为主线的题目更是成为中考压轴大戏的主角.解决这类压轴题的关键是反复认真审题，深度挖掘题干，从显性条件和隐含条件中寻找解题的信息.要找准切入点，明确关键点，踩准得分点，如本题第（1）题中“画垂直平分线、垂线、标出字母各1分”，很多同学会因为没有标出字母而失去宝贵的1分，又如第（2）①题中添辅助线应用定理构造所满足的基本图形等都是重要的得分点.还要注意抓住不变量，巧用相似点，并灵活地运用数学思想方法和相关的结论，如第（2）①题中当x≤0时的求解思路与x>0时相同，可以用“同理可得”来简化解题过程，为解决后面的问题赢得宝贵的时间，再如解题过程中运用了分类思想、方程思想、转化思想、极端化思想等.特别值得一提的是，在解决第（2）③题时，运用数形结合与运动变化的思想，可先画出草图6，将铅笔视为一条直线，让它经过点（0，3）并进行旋转，即可发现使直线y=kx+3与“W”形状新曲线有4个交点的运动范围，通过求两个极限位置得到k的两个值，进而确定出k的取值范围.对于这类层次比较明显的试题，还要注意答题的规范性，每完成一步都可以得分，尽管最后结论没得到，但总得分可能已过半，就是答案不对也能得高分.

（作者单位：江苏省扬州中学）