别让分数从指尖溜走

王磊

分式方程部分的知识，是考试中常见的考查项目，同学们在复习的时候，一定要抓住分式方程的核心概念，牢固掌握常用的解题方法和技巧.

一、不让分数流失在基本概念的辨析中

例1 下列方程：①[x+25]=1；②[1+x2x]=4；③[2xx+2]-1=[22+x]；④[13]x-1=x；⑤[1π]+1=3x，其中，是分式方程的是 .（填序号）

【解析】本题主要考查了分式方程的概念，想要拿满分，本题需要对每个式子进行精准的辨析.①④⑤这三个式子中，分母中不含有表示未知数的字母，π在数学里表示一个已知数.②和③两个式子中，分母都含有表示未知数的字母.解答这类题目要抓住两个重点：一是要认识到，分母中是否含有未知数，这是分式方程与整式方程的根本区别；二是判断一个方程是不是分式方程，要看这个方程的分母中是否含有表示未知数的字母，像π虽然是字母，但它并不表示未知数.

【小试身手】1.下列方程是分式方程的是（ ）.

A.[x-12]=3 B.[61-π]+x=1

C.[2x+15]=2 D.[2x+1]=[3x+1]-1

例2 （2016·湖北黄冈三模，7分）已知关于x的方程[3-2xx-3]-[2-mxx-3]=-1无解，求m的值.

【解析】本题考查了对分式方程的根和增根的理解.分式方程无解分为两种情况，一是相应的整式方程无解，二是求出的整式方程的值，使分式方程无意义.

解：原方程两边都乘（x-3），得

3-2x-（2-mx）=-（x-3），（1分）

整理，得（1-m）x=-2.（2分）

∵原分式方程无解，

∴m=1或x=[-21-m]=3，（5分）

解之，得m=1或m=[53].（7分）

【小试身手】2.若关于x的分式方程[2x-3]+[x+m3-x]=2有增根，则m的值是（ ）.

A.m=-1 B.m=0

C.m=3 D.m=0或m=3

3.已知关于x的方程[xx-3]-2=[mx-3]的解为正数，求m的取值范围.

二、不让分数流失在分式方程的解答中

例3 （2015·江苏常州，4分）解方程：[x3x-1]=2-[11-3x].

【解析】本题考查了解分式方程的知识，解分式方程的基本思路是：将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.解题过程分为三步：（1）去分母，在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，否则，这个解就是原分式方程的解.

解：原方程可化为：[x3x-1]=2+[13x-1]

方程两边同时乘（3x-1），得：

x=2（3x-1）+1，（1分）

解得：x=[15].（2分）

检验：当x=[15]时，3x-1≠0，（3分）

∴x=[15]是原方程的解.（4分）

【小试身手】

4.[2x]-[11+x]=0.

5.[1x-2]-3=[x-12-x].

三、不让分数流失在分式的应用过程中

例4 （2016·江苏扬州，10分）动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1h，求该趟动车的平均速度.

【解析】本题考查了分式方程的运用，考查了用方程思想解决实际问题的能力.本题中，抓住路程相同是关键，用时间作为等量关系的主线，利用“坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1h”这句话，列方程解答.与用整式方程解应用题不同的是，用分式方程解应用题要注意双检验.一是要检验所求得的解，是不是所列方程的解；二是要检验所求得的解，是否符合应用题的实际情况.最后要提醒的是，在解应用题时，各部分要完整，别忘记写“答”.

解：设普通列车的速度为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h.（1分）

由题意可得[360x]-[3601.5x]=1，（5分）

解得：x=120.（7分）

经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意.（9分）

答：该趟动车的平均速度为120km/h.（10分）

【小试身手】6.张家界到长沙的距离约为320km，小明开着大货车，小华开着小轿车，都从张家界同时去长沙，已知小轿车的速度是大货车的1.25倍，小华比小明提前1h到达长沙.试问：大货车和小轿车的速度各是多少？

7.王师傅检修一条长600m的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2h完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）