急流冲击波波角的显式解

宁利中, 王永起， 宁碧波, 田伟利 , 胡 彪

(1.西安理工大学 西北旱区生态水利工程国家重点实验室培育基地，陕西 西安710048；2.嘉兴学院 建筑工程学院，浙江 嘉兴 314001； 3．上海大学 美术学院，上海 200444)



急流冲击波波角的显式解

宁利中1, 王永起1， 宁碧波2, 田伟利3, 胡 彪1

(1.西安理工大学 西北旱区生态水利工程国家重点实验室培育基地，陕西 西安710048；2.嘉兴学院 建筑工程学院，浙江 嘉兴 314001； 3．上海大学 美术学院，上海 200444)

急流冲击波的水力计算是高速水力学中的一个重要问题。本文在伊本急流冲击波理论基础上，通过分析，将函数的级数展开近似表达式引入到伊本急流冲击波理论的基本关系式中，从而得到了急流冲击波波角的显式解。并将计算的急流冲击波波角显式解和相应的水深比与其对应的精确解和实验值进行验证比较，证明了急流冲击波波角的显式解有着足够的精度。急流冲击波波角的显式解使计算简化，精度提高，可应用于实际工程。

显式解；伊本理论；急流冲击波；波角；水深比

明渠急流冲击波是由于边壁变化而产生的一种特殊水力现象，最早于20世纪30年代被美国洛杉矶防洪局在其管辖的水渠中发现[1]，随之在20世纪30年代末，就有许多学者开始对这一问题进行广泛研究，并提出了一些有益的成果，到20世纪50年代初，一整套急流冲击波的水力计算方法相继被提出[1-3]。关于急流冲击波波角和水深的计算式，长期以来，在许多教材、水力计算手册、水工设计手册、专著中，都是采用伊本(Ippen，A T)1950年建议的计算方法[4-10]，此法需要试算才能确定急流冲击波波角，很不方便，因此，在实用中都是采用以伊本理论为基础绘制的曲线图进行试算[4-6]。20世纪60年代，我国学者在克服冲击波影响的措施方面进行了大量的研究，取得了一定的成果。20世纪80年代，有学者对急流冲击波的计算问题进行了改进，但仍然需要查图才能获得结果[11-12]。也有学者致力于给出急流冲击波的简化解[13-20]或者数值解[21-22]。由于伊本理论具有坚实的理论基础，本文力图在伊本理论基础上作进一步探讨。

本文通过分析，将函数的级数展开近似表达式引入到伊本急流冲击波理论的基本关系式中，从而得到了可根据边壁折角θ和弗汝德数Fr1(与波前上游区流速v1对应)直接计算急流冲击波波角β1的显式解。改变了以前查图试算的方法，使计算工作量大大简化，精度提高，为工程设计与水力计算提供了方便。

1 伊本急流冲击波理论

伊本对明渠边壁偏转引起的急流冲击波进行分析。其计算简图如图1所示。

图1 急流冲击波计算简图Fig.1 Calculation diagram of shock wave in supercritical flow

假设边界转折角θ是微小的；水流铅垂方向的加速度忽略不计；波前上、下游断面的水压力符合静水压力分布；壁面摩阻力忽略不计。设波前上游区水深为h1，流速为v1，法向流速为vn1，波前下游区水深为h2，流速为v2，法向流速为vn2，冲击波波角为β1，vn1与vn2的速度差为Δvn。根据连续方程和动量方程，有：

h1vn1=h2vn2

(1)

(2)

式中，g为重力加速度。由图1的几何关系，有：

vn1=v1sinβ1

(3)

vn1/vn2=tgβ1/tg(β1-θ)

(4)

由式(1)、(2)、(3)得水深计算式为：

(5)

由式(1)和式(4)，得：

(6)

联解式(5)和式(6)，得：

(7)

对式(5)变形，得：

(8)

式(7)必须通过试算方能获得β1,要想直接获得β1或由式(7)和式(8)直接计算h2/h1都是不可能的[1-11]。这就是到目前为止为什么还采用以式(5)～(8)为基础绘制的曲线图进行查算的原因所在。

2 急流冲击波波角及水深的显式解

为了获得波角的显式解，令式(5)与式(6)相等，或对式(7)变形，有：

(9)

整理式(9)，两边平方，得：

(10)

由于式(10)不能得到β1的显函式，这里作一近似处理，以获得β1的显函表达式。

令 tgβ1≈β1，sinβ1≈β1，则式(10)简化成：

(1+β1tgθ)2β12+(1+β1tgθ)

(β1—tgθ)=

(11)

从式(10)到式(11)的近似处理，理论上讲仅适合于β1较小的情况。鉴于式(10)中有多项分别含有tgβ1、sinβ1或β1，且式(10)的方程结构较为复杂，故从数学方法方面不易直接分析近似处理所形成的误差综合效应。因此，对近似引起的实际误差效应及β1的应用范围，我们将在本文第三节显式解与精确解的对比中进行详细讨论。

进一步整理式(11)，得一元三次方程为：

(12)

引入变形参数x，令：

(13)

将式(13)代入式(12)，有：

x3+px+q=0

(14)

其中:

(15)

将式(15)代入式(13)，得冲击波波角的显函表达式为：

(16)

当获得β1后，可由式(5)或式(6)计算波前下游区水深h2。

3 急流冲击波波角显式解的验证及讨论

为了验证式(16)所得波角β1的精度以及由此计算的h2的近似程度，将该式计算得到的β1和h2与其精确解及实验值进行了比较，结果如表1所示。其中在麻省理工学院进行的水利实验选取Fr1=3.86，θ为3°～24°作为实验条件。在理海大学进行的水利实验选取Fr1为3.0～10.0，θ=6°作为实验条件。详细情况见文献[2]。

表1 显式解与精确解及实验值的比较

通过对表1中显式解β1es、精确解β1t和实验值β1e的比较以及显式解η1es、精确解η1t和实验值η1e的比较可以看出以下几点。

1) 当Fr1=3.86，θ取3°～24°时，显式解β1es和精确解β1t是相当接近的，误差小于5%，特别当θ<15°时，两者几乎是完全一致的。显式解β1es与实验值β1e也是吻合的。由于铅垂加速度对波前位置的影响[2]，使得当实验值η1e小于2时，实验值β1e较精确解β1t和显式解β1es小，而当实验值η1e大于2时，则实验值β1e又较精确解β1t和显式解β1es大。

2) 当Fr1=3.86，θ取3°～24°时，显式解η1es与实验值η1e、精确解η1t是非常接近的。其最大误差发生在θ=24°时，但显式解η1es与精确解η1t、显式解η1es与实验值η1e的误差均小于5%。当θ≤18°时，三者之间的两两误差均小于2.5%。

3) 当Fr1取3.0～10.0，θ=6°时，显式解β1es与精确解β1t的最大误差是2.5%，两者均与实验值β1e接近，同时，水深比η的计算结果表明，显式解η1es与精确解η1t的最大误差小于3.0%。但当Fr1=10时，显式解η1es和精确解η1t均与实验值η1e有一定误差。

4) 根据上述分析，当Fr1较小时，显式解β1es可在较大的侧墙折角范围内适用，这和精确解β1t是一致的。显式解β1es用显函数表示，避免了理论关系式需试算求解或图解的麻烦，又有足够的精度，因此，本方法可应用于急流收缩段等的水力计算。

4 结 语

在伊本急流冲击波理论基础上，通过分析，将函数的级数展开近似表达式引入到伊本急流冲击波理论的基本关系式中，从而得到了可根据边壁折角θ和弗汝德数Fr1直接计算急流冲击波波角β1的显式解。通过实验验证，急流冲击波波角β1和相应的水深比h2/h1的显式解与其精确解和实验值能够很好的吻合。急流冲击波波角β1的显式解改变了以前查图试算的方法，提高了精度，为工程设计与水力计算提供了新途径。

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(责任编辑 周 蓓)

Explicit solution to wave angle of shock wave in supercritical flow

NING Lizhong1， WANG Yongqi1， NING Bibo2， TIAN Weili3， HU Biao1

(1.State Key Laboratory Base of Eco-hydraulic Engineering in Arid Area，Xi’an University of Technology,Xi’an 710048, China； 2.College of Civil Engineering and Architecture, Jiaxing University, Jiaxing 314001, China；3.College of Fine Arts, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

Hydraulic calculation of shock wave in supercritical flow is one of the important aspects in high speed hydraulics. Based on Ippen’s theory of shock wave in this paper, an explicit solution to wave angle of shock wave in supercritical flow is obtained by applying the analysis of series expansion to Ippen’s theory. It is sufficient to compare the explicit solutions to wave angle of shock wave in supercritical flow and water depth ratio with theoretical solutions and with experimental data, proving the accuracy of the explicit solutions to wave angle. The explicit solutions to wave angle of shock wave in supercritical flow have simplified the computation procedure and have improved the computation accuracy and can be used in solving the engineering computing.

explicit solution; Ippen’s theory； shock wave in supercritical flow; wave angle; water depth ratio

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.04.002

2015-10-15

国家自然科学基金资助项目(10872164)；陕西省重点学科建设专项资金资助项目(00X901)

宁利中，男，教授，博士，研究方向为对流动力学、高速水力学。E-mail:ninglz@xaut.edu.cn

TV135.2

A

1006-4710(2016)04-0388-04