圆中的一个面积关系

王江锋

文[1]对2009年高考理科数学（湖北卷）20题（Ⅱ）问做了推广，得到了圆锥曲线的一个面积公式，笔者读后很感兴趣，故而对圆进行了研究，得到了圆中的一个面积公式.

我们先来证明两个引理.

引理1 在四边形ABCD中，对边AD∥BC，对角线AC与BD交于E，过E做AD的平行线交CD于P，记△ADP，△APB，△BPC的面积分别为S1，S2，S3，则S22=4S1S3.

证明 如图1所示，∵AD∥BC∥EP，

∴ADBC=AEEC=DEEB=DPPC，S△ABC=S△DBC.S△ABE=S△DEC.又S△AEP=S△DEP，S△BEP=S△CEP，

∴S△APB=S△AEB+S△AEP+S△BEP=S△AEB+S△DEP+S△CEP

=S△AEB+S△DCE=2S△AEB.

因此S△AED=S△APD=S1，S△BCE=S△BCP=S3，S△AEB=12S2，

又 S△AEDS△AEB·S△BCES△AEB=DEEB·ECAE=1，S2△AEB=S△AED·S△BCE=S1S3.

故而14S22=S1S3，S22=4S1S3.

引理2 若线段AD∥BC，AC与BD交于E，记△AED，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3，则S22=S1S3.

证明 S△AEDS△AEB·S△BECS△AEB=DEEB·ECAE=1，S2△AEB=S△AED·S△BEC，S22=S1S3.

定理1 已知直线l0：Ax+By+C=0和圆K：x2+y2=r2，其中r>0，C≠0.过点P-ACr2，-BCr2的直线交圆K于A，B两点，分别过点A，B的两条平行线与直线l0交于点A1，B1，记△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面积分别为S1，S2，S3，则S22=4S1S3.

证明 如图所示，分别过A，B两点做直线l0的垂线，垂足分别为A2、B2，线段AB1、BA1交于点Q.设过点P的直线l的倾斜角为θ.则直线l的参数方程为x=tcosθ-ACr2，y=tcosθ-BCr2.

设A（t1cosθ-ACr2，t1cosθ-BCr2），A（t2cosθ-ACr2，t2cosθ-BCr2），由于点A，B在圆上，所以

t1cosθ-ACr22+t1cosθ-BCr22=r2，t2cosθ-ACr22+t2cosθ-BCr22=r2.

因此，t1，t2是方程tcosθ-ACr22+tcosθ-BCr22=r2的两个不等根.故而有

t1+t2=2r2C（Acosθ+Bsinθ），①

t1t2=r2C2（A2r2+B2r2-C2）.②

由点到直线的距离公式得AA2=t1（Acosθ+Bsinθ）-A2r2+B2r2-C2CA2+B2，BB2=t2（Acosθ+Bsinθ）-A2r2+B2r2-C2CA2+B2.

又PAPB=t1t2，下证AA2BB2=PAPB.即证AA2BB2=t1t2.

AA2BB2=t1t2.交叉相乘并去绝对值符号t1≠t22（Acosθ+Bsinθ）t1t2-A2r2+B2r2-C2C2t1+t2=0.

由①②知上式成立.由上面的引理1可知，S22=4S1S3.

定理2 已知直线l0：Ax+By+C=0和圆K：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中r>0，C≠0，过点P（a-ACr2，b-BCr2）的直线交圆K于A，B两点，分别过点A，B的两条平行线与直线l0交于点A1，B1，记△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面积分别为S1，S2，S3，则S22=4S1S3.

【参考文献】

[1]沈毅.圆锥曲线中的一个面积关系[J].数学通报，2010（4）.