偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系

徐志敏　刘勇

【摘要】本文通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系，从而使学习者更加认清三者之间的联系.

【关键词】偏导数；全微分；方向导数

对于偏导数、全微分、方向导数三者之间的内在联系一直是学生难以理解和容易混淆的内容，本文以二元函数为例，通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系，以便加深学生对上述内容的理解.

一、偏导数存在与全微分存在之间的关系

定理一 如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的偏导数zx，zy

存在. 反之不成立.

例1 函数

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

在点（0，0）处有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，但是

lim ρ→0（Δx=Δy）Δz-fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δyρ=lim ρ→0（Δx=Δy）Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，并不是比ρ高阶的无穷小，因此，该函数在点（0，0）处的全微分不存在.

定理二 如果函数z=f（x，y）的偏导数zx，zy在点（x，y）连续，则函数在该点可微分.

二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系

首先，函数z=f（x，y）在点（x，y）两个偏导数存在，只能说明该函数在点（x，y）沿

el=1，0（或el=-1，0）及el=0，1（或el=0，-1）的方向导数存在，并不能保证函数在点（x，y）沿任意方向的方向导数存在.

例2 设函数

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

函数f（x，y）在（0，0）处有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0.

设l是以（0，0）为始点、el=cosπ4，cosπ4的一条射线，则

limρ→0+fρcosπ4，ρcosπ4-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosπ4cosπ4ρ3=12limρ→0+1ρ，

此极限显然不存在，所以fl（0，0）不存在.

其次，函数z=f（x，y）在点（x，y）沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在

点（x，y）偏导数存在.

例3 设f（x，y）=x2+y2，则f（x，y）在点（0，0）沿任意射线l（el=（cosα，cosβ））的方向导数为：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρcosα2+ρcosβ2ρ=1，

但是，fx（0，0），fy（0，0）显然不存在.

所以函数z=f（x，y）在点（x，y）处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点（x，y）处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.

三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系

定理三 如果函数z=f（x，y）在点（x，y）全微分存在，则该函数在点（x，y）沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.

例4 设函数f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

则f（x，y）在点（0，0）沿任意方向l（el=（cosα，cosβ））的方向导数为：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosαcosβρ2=cosαcosβ，

但由例1可知，该函数在点（0，0）处的全微分不存在.

上述定理的证明，可参考同济大学数学系编的《高等数学》，在此不再赘述.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]刘玉琏，傅沛仁，林玎，刘宁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2010.