课堂因学案而精彩——《圆锥侧面积和全面积》教学案例设计

甘肃省武威市民勤第五中学 王兴军

课堂因学案而精彩
——《圆锥侧面积和全面积》教学案例设计

甘肃省武威市民勤第五中学 王兴军

设计有梯度的问题串完成教学过程；针对分层训练使课堂务实高效；一种拓展思考因它让学案更鲜活；一道典型例题因它让学案突破了本节课难点；分层跟踪检测因它让学案查漏补缺得到落实；课堂分组讨论小结因它让学案张扬了学生的个性。分组分层布置作业，让分层教学落到实处。

分层教学；案例设计；精确问题串；突破难点；分组讨论；分组检测

教学内容：圆锥的侧面积和全面积。教学目标：

1.知识目标：

（1）了解圆锥的有关概念；（2）推导出圆锥侧面积和全面积的计算公式。

2.能力目标：

（1）经历“探索——发现——观察——推论”的过程，进一步发展学生的推理能力，培养学生的抽象思维。

（2）用扇形面积公式推导圆锥侧面积公式，进一步探究出圆锥的底面半径、母线及圆锥侧面扇形圆心角三者之间的关系。

（3）能够运用以上公式解决有关说理和计算问题，逐渐提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标：

通过学生动手操作，观察，发现，猜想，推理自主探究和合作交流，激发学生学习的兴趣，让学生真正体会知识的发生和发展过程，培养学生的创新思维。

教学重点：圆锥侧面积公式的推导及应用。

教学难点：圆锥底面圆半径、母线及侧面展开扇形圆心角三者之间的关系。

教学方法与学法指导：在教学中运用诱导探究式教学模式，让学生通过自主探究和合作交流推导出以上公式和关系式，采用分层教学、数形结合、分组讨论，培养学生转化的数学思想方法，使较复杂的数学问题公式化，提高了课堂教学效果。

教学过程：

一、梯度的问题串——因它让学案引人入胜

1.圆柱的侧面展开图是什么图形呢？

2.圆锥的侧面展开图又是什么图形呢？

3.如图：PA是圆锥的什么呢？PO是圆锥的什么呢？

4.同学们，圆锥的侧面展开图是个扇形，请思考：扇形的弧长等于什么呢？现在知道圆锥的母线为L，那么圆锥的侧面积为：S锥侧=x底面周长×母线=πrL。（r表示圆锥底面的半径，L表示圆锥的母线长）

5.圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积（或表面积），那么圆锥的全面积：S全=πr2+πrL。

6.圆锥底面的半径r、高h、母线长L三者之间关系式为：r2+h2=L2。

二、针对分层训练——因它让学案务实高效

（A组同学做（1）、（2）小题，B组同学都做）

（1）已知一个圆锥的底面周长为6cm，母线为8cm，则这个圆锥的侧面积为_______________。

（2）已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为______________ ，全面积为_______________。

（3）已知一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：①圆锥的母线长与底面半径之比；②锥角的度数；③圆锥的侧面积；④圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，求它的全面积。

三、一种拓展思考——因它让学案更鲜活

（1）圆锥的侧面展开图的弧长等于什么呢？（2πr），侧面展开扇形的圆心角为n度，母线长为L，则扇形的弧长又等于什么呢?（nπL/180）圆锥的底面半径为r，侧面展开扇形的圆心角为n度，母线长为L，三者之间的关系式是什么呢？

学生分组讨论，教师适时点拨诱导得到以下推论：2πr=nπL/180，即：360r=nL。

四、一道典型例题——因它让学案突破了本节课的难点

例：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面。

（1）求这个圆锥的底面半径r；（2）求这个圆锥的高。

五、分层跟踪检测——因它让学案查漏补缺得到落实

（A组同学做（1）、（2）小题，B组同学都做）

（1）圆锥的侧面积公式为_________ ；圆锥的全面积公式为_________ ；圆锥的底面半径为r，侧面展开扇形的圆心角为n度，母线长为L，三者之间的关系式是__________；

（2）圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm，它的侧面积是__________。

（3）扇形的半径为30，圆心角为120°，用它做一个圆锥模型的侧面，则这个圆锥的底面半径是___________ ，圆锥的高是__________。

（4）圆锥形烟囱帽的母线长为8dm，高为4dm，求这个烟囱帽的面积。

六、课堂分组讨论小结——因它让学案张扬了学生的个性

A组讨论结果：圆柱的侧面展开图是长方形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆锥的侧面积公式：S=Lrπ；圆锥的全面积公式S=πr2+Lrπ；圆锥底面半径r、母线L，高h三者之间的关系式为：r2+h2=L2。

B组讨论结果：因为圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，所以可得到圆锥的底面半径为r，侧面展开扇形的圆心角n度，母线长为L三者之间的关系式是：360r=nL，三个量中只要知道其中两个量，就可以求出第三个量。

七、分组分层设计作业——因它利用学案实施分层教学落到实处

1.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长为____；

2.圆锥的底面半径为10m，母线长为20m，则圆锥的侧面积为____；

3.要制作一个圆锥形烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形的铁皮的圆心角度数为___；

4.已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长为10cm，则圆锥的高为____。

（以上作业A组做前三个，B组同学都做，每题写出解题过程）

【本文系基金项目：甘肃省教育科学“十三五”规划2016年度规划课题研究成果，课题批准号GS[2016]GHB1750】