一类具有交叉扩散项的捕食-食饵模型的局部分歧

容跃堂,董苗娜,何 堤,王晓丽

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

一类具有交叉扩散项的捕食-食饵模型的局部分歧

容跃堂,董苗娜,何 堤,王晓丽

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

研究一类带有交叉扩散项的捕食-食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下分歧解的存在性.利用极大值原理和上下解法得到正解的先验估计,并借助Crandall-Rabinowitz分歧理论,得出局部分歧正解存在的充分条件.

捕食-食饵;自扩散;交叉扩散;先验估计;局部分歧

0 引 言

近年来,关于生物数学领域的捕食食饵模型的研究已经成为热点,尤其是对于种群扩散影响下的捕食模型,国内外学者均已取得了一些符合实际的研究成果.文献[1]研究了一类捕食模型的正常数平衡态解的稳定性及分歧;文献[2-3]利用极大值原理和分歧定理研究了一类捕食模型局部解的延拓;文献[4-7]利用分歧定理研究了模型在交叉扩散影响下的正解的存在性问题.在文献[8]中,作者提出了一类具有扩散项的捕食食饵模型,通过给出正解的先验估计及局部分歧解存在条件,进而得到该系统平衡态的全局分歧解及其走向;文献[9]则在上述基础上研究了该类模型在交叉扩散项影响下的分歧.

在同时考虑交叉扩散和自扩散项时，本文将继续研究如下捕食-食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下正解的存在性，即

(1)

本文将针对模型(1)的如下平衡态方程展开讨论.

(2)

注:对于问题(2)的解(u,v),如果在Ω中,(u,v)中只有一个分量为0,则称其为半平凡解.

1 预备知识

首先,考虑特征值问题

(3)

再考虑边值问题

(4)

(5)

引理2[11](1) 如果a≤λ1,则u=0是问题(4)的唯一非负解;若a>λ1,则问题(4)的唯一正解为θa.

(2) 如果c≤λ1,则v=0是问题(5)的唯一非负解;当c>λ1时,其存在唯一正解θc.因此,当a>λ1,问题(2)存在半平凡解(θa,0);当c>λ1,问题(2)存在半平凡解(0,θc).

定义Z=(U,V),其中U=(1+m1u+m2v)u,V=(1+m3v+m4u)v,则

即(u,v)≥0与(U,V)≥0之间存在一一对应的关系.现在,引入和问题(2)等价的半线性椭圆系统

(6)

再对A(a*(c),c)=0两边关于c求导,得Aa(a*(c),c)·a*′(c)+Ac(a*(c),c)=0.由于Ac(a,c)<0,结合Aa(a,c)>0得知a*′(c)>0,即a=a*(c)关于c严格单调递增.

类似可以证明以下引理.

2 正解的先验估计

现在,结合文献[12-13]中的方法给出系统(6)的正解存在的必要条件及先验估计.

证明 若问题(6)存在正解(U,V),由问题(6)中的第2个方程得

两边同乘以V,分部积分得

同理可得

由(u,v)与(U,V)之间的关系知定理2成立.

3 分歧正解的存在性

证明 令

同时对(U,V)求导,得

因此,算子L(a*;0,0)的核空间N(L(a*;0,0))=span{U0},U0=(φ*,ψ*)T,其中

又令L*(a*;0,0)为L(a*;0,0)的自伴算子,类似可得

N(L*(a*;0,0))=span{U*},U*=(0,ψ*)T.

由Fredholm选择公理知

因此可得dimN(L(a*;0,0))=1,codimR(L(a*;0,0))=1.

L1(a*;0,0)·(φ*,ψ*)∉R(L(a*;0,0)).

假设∃(h,k)∈X,使得L1(a*;0,0)·(φ*,ψ*)=L(a*;0,0)·(h,k).经计算得

那么有

两边同时乘以ψ*,分部积分得

由于cm4-d>0,且θa关于a严格单调递增,则上式左端大于0,矛盾.

[1] 周冬梅,李艳玲.一类捕食模型正常数平衡态解的稳定性及分歧[J].科学技术与工程,2010,10 (23):5615-5619.

ZHOU Dongmei,LI Yanling.Stability and bifurcation of positive constant steady-state solution for predator-prey model[J].Science Technology and Engineering,2010,10(23):5615-5619.

[2] 李海侠,李艳玲.一类捕食模型正平衡解的整体分歧[J].西北师范大学学报:自然科学版,2006,42(2):8-12.

LI Haixia,LI Yanling.Bifurcation of positive steady-state solutions for a king of predator-prey model[J].Journal of Northwest Normal University:Natural Science,2006,42(2):8-12.

[3] 王妮娅,李艳玲.一类带收获率的的捕食模型的全局分歧和稳定性[J].安徽师范大学学报:自然科学版,2015,38(1):25-30.

WANG Niya,LI Yanling.Global bifurcation and stability of a class of predator-prey models with prey harvesting [J].Journal of Anhui University:Natural Science Edition,2015,38(1):25-30.

[4] KUTO K,YAMADA Y.Multiple coexistence states for a prey-predator system with cross-diffusion[J].J Differential Equations,2004,197(2):315-348.

[5] 张晓晶,容跃堂,何堤,等.一类带有交叉扩散的捕食-食饵模型的分歧性[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(3):322-326.

ZHANG Xiaojing,RONG Yuetang,HE Di.Bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(3):322-326.

[6] DUBEY B,DAS B,HASSAIN J.A prey-predator interaction model with self and cross-diffusion[J].Ecol Modelling,2002,141:67-76.

[7] ZHANG Cunhua,YAN Xiangping.Positive solutions bifurcating from zero solution in a Lotka-Volterra competitive system with cross-diffusion effects[J].Appl Math J China Univ,2011,26(3):342-352.

[8] 冯孝周,吴建华.具有饱和与竞争项的捕食系统的全局分歧及稳定性[J].系统科学与数学,2010,30(7):979-989.

FENG Xiaozhou,WU Jianhua.Global bifurcation and stability for predator-prey model with predator saturation and competition[J].Journal of System Science and Mathematical Sciences,2010,30(7):979-989.

[9] 何堤,容跃堂,张晓晶.一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型的分歧[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(4):426-430.

HE Di,RONG Yuetang,ZHANG Xiaojing.Bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(4):426-430.

[10] BAZYKIN A D.Nonlinear dynamics of interacting population[M].Singapore:World Scientific,1998.

[11] 叶其孝,李正元,王明新.反应扩散方程引论[M].北京：科学出版社,2011:40-56.

YE Qixiao,LI Zhengyuan,WANG Mingxin.Introduction of reaction-diffusion equations[M].Beijing:Science Press,2011:40-56.

[12] 何堤,容跃堂,王晓丽,等.一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型的局部分歧[J].西安工业大学学报,2015,35(11):872-876.

HE Di,RONG Yuetang,WANG Xiaoli,et al.Local bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Journal of Xi′an Technological University,2015,35(11):872-876.

[13] 容跃堂,何堤,张晓晶.带交叉扩散项的Holling Ⅳ捕食-食饵模型的全局分歧[J].纺织高校基础科学学报,2015,26(3):287-293.

RONG Yuetang,HE Di,ZHANG Xiaojing.The global bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion and Holling Ⅳ [J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,26(3):287-293.

[14] 马晓丽,冯孝周.一类具有交叉扩散的捕食模型的正解的存在性[J].安徽大学学报:自然科学版,2011,35(5):26-31.

MA Xiaoli,FENG Xiaozhou.The existence of positive solutions for a predator-prey model with cross-diffusion[J].Journal of Anhui University:Natural Science Edition,2011,35(5):26-31.

[15] 马晓丽.一类具有交叉扩散的捕食模型的整体分歧[J].西安工业大学学报,2010,30(5):506-510.

MA Xiaoli.Global bifurcation for a predator-prey model with cross-diffusion[J].Journal of Xi′an Technological University,2010,30(5):506-510.

[16] 戴婉仪,付一平.一类交叉扩散系统定态解的分歧与稳定性[J].华南理工大学大学报:自然科学版,2005,33(2):99-102.

DAI Wanyi,FU Yiping.Bifurcation and stability of the steady-state solutions to a system with cross-diffusion effect[J].Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition,2005,33(2):99-102.

[17] 柴俊平,李艳玲.带有交叉扩散项的捕食-食饵模型的全局分歧[J].纺织高校基础科学学报,2011,24(4):490-494.

CHAI Junping,LI Yaning.Global bifurcation of a class of predator-prey models with cross-diffusion effect[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2011,24(4):490-494.

[18] WU J H.Global bifurcation of coexistence states for the competition model in the chemostat[J].Nonlinear Analysis,2000,39(7):817-835.

[19] CRANDALL M G,RABINOWITZ P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].J Functional Analysis,1971,8(2):321-340.

编辑、校对：师 琅

The local bifurcation for a kind of prey-predator model with cross-diffusion

RONGYuetang,DONGMiaona,HEDi,WANGXiaoli

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

The existence of bifurcation solutions for a predator-prey model with cross-diffusion under homogeneous Dirichlet boundary conditions is concerned. By the maximum principle, a priori estimate of positive solutions are obtained. Then by Crandall-Rabinowitz bifurcation theory, the sufficient conditions for the existence of positive solutions to a local bifurcation is proved.

predator-prey model;self-diffusion;cross-diffusion;priori estimate;local bifurcation

1006-8341(2016)04-0443-07

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.005

2016-04-08

陕西省自然科学基础研究计划项目(2015JM1034)

容跃堂(1960—),男,陕西省宝鸡市人,西安工程大学教授,研究方向为偏微分方程理论及其应用,偏微分方程数值解. E-mail:rongyuetang@126.com

容跃堂,董苗娜,何堤,等.一类具有交叉扩散项的捕食-食饵模型的局部分歧[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(4)：443-449.

RONG Yuetang,DONG Miaona,HE Di,et al.The local bifurcation for a kind of prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):443-449.

O 175.26

A