一种高复杂性的混沌序列

陈紫强，舒 亮，谢跃雷

（桂林电子科技大学认知无线电教育部重点实验室，广西桂林 541004）

一种高复杂性的混沌序列

陈紫强，舒 亮，谢跃雷

（桂林电子科技大学认知无线电教育部重点实验室，广西桂林 541004）

针对传统混沌映射初值迭代简单、满映射的参数区间窄、复杂性不高，提出了一种高复杂性的新型混沌序列。将改进型Logistic和Chebyshev一维混沌映射进行错位相乘，混沌映射由普通的二阶或者余弦映射关系变为二阶与余弦乘积关系，且混沌映射表达式由原来的一阶差分扩展为二阶差分，从而提高了混沌系统的复杂性。对该序列的非线性动力学特性以及混沌特性进行仿真，仿真结果表明，新混沌序列具有更加复杂的混沌吸引子、更强的初始值敏感性和随机性、近似熵值更高、复杂性更高，可应用在混沌保密通信和对信息安全要求高的领域。

混沌序列；改进型Logistic映射；Chebyshev映射；混沌吸引子；近似熵

目前，混沌非线性动力学系统因具有确定性、内随机性，统计特性类似于白噪声，对初始条件极端敏感，易于产生和复制［1］等特点而被广泛应用于扩频、随机模拟、图像加密等对安全性要求高的领域。随着混沌理论的深入研究，传统单一混沌映射所产生的序列作为随机序列存在一定的局限性，序列生成算法简单，随机性差，复杂性低，容易被敌方破解［2］。因此，如何提高和改善混沌扩频序列的复杂性，成为近年来该研究领域的焦点。宁国强等［3］在传统Logistic映射的基础上，提出一种双Logistic混沌映射，一定程度上提高了混沌系统的复杂性；龚剑扬等［4］提出一种基于串联结构的混沌扩频序列，用一个单峰映射的混沌系统的输出作为另一个单峰映射的混沌系统的初始值，通过第二个混沌系统的初始值的不断变化降低了系统被第三方破译的可能性。

鉴于此，提出一种高复杂性的混沌序列，该方法通过将改进型Logistic和Chebyshev两种一维混沌映射进行错位相乘，新产生序列的映射表达式的阶次是Logistic和Chebyshev两种原始序列阶次的累加，且多项式展开项数大幅增加，从而提高了随机序列的复杂性。

1 新型混沌扩频序列

1.1 新混沌映射的提出

Guo等［5］提出了2个或者多个简单映射进行乘法运算后仍具有非线性动力学行为，依照该结论，在邹凤等［6］提出的改进型Logistic混沌映射和丁勇等［7］提出的Chebyshev映射的基础上，将2个映射进行级联重组，提出了一种新的混沌映射，称为L-C映射，对应序列为L-C序列，该映射表达式为：

其中f（x）为改进型Logistic映射，其表达式为

当μ取值范围为［1.4，2］时，该序列处于混沌状态；g（x）为ω阶的Chebyshev映射，该映射表达式为：

若ω和xn的取值范围为ω＞2，-1＜xn＜1，则该映射处在混沌状态。为方便作图，将ω的取值范围定位为［2，10］，由式（1）可看出，该复合映射的表达式将Logistic映射和Chebyshev映射进行错位相乘，混沌映射由普通的二阶或者余弦映射关系变为二阶与余弦乘积关系，且混沌映射表达式由原来的一阶差分变为二阶差分，混沌参数是原始序列的混沌参数的叠加，传统一维混沌映射只需前一次的迭代结果便可迭代出下一个值，而新映射需要知道2个值才能迭代出下一个混沌值，其迭代关系更复杂，这样便极大地增强了产生混沌序列的复杂性，提高了系统安全性。

2 新混沌非线性动力学特性

2.1 混沌吸引子

混沌吸引子又称为奇异吸引子，它具有复杂的拉伸、扭曲结构，是系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物。混沌吸引子具有混沌的所有特征，对初始条件极端敏感，具有非整数的维数、无穷嵌套的自相似结构。混沌的动力学特征可以通过吸引子的结构和复杂程度体现，吸引子越复杂，其对应的混沌的动力学特性就越强。图1为Chebyshev和L-C混沌序列的三维吸引子结构图。

图1 混沌序列三维吸引子结构图Fig.1 The 3-dimensional attractors of chaotic sequence

由图1（a）可知，Chebyshev混沌吸引子呈现简单重复的曲线结构，序列在相空间中的取值较少，而图1（b）L-C吸引子结构很明显，比图1（a）更加复杂，混沌序列在相空间中的取值更加密集，取值范围更广，说明L-C混沌系统比Chebyshev混沌系统的动力学特性更强，其产生的混沌序列更复杂。

2.2 分岔图

分岔是混沌出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为（稳定行为）可能发生定性的突变，即原来的稳定定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分岔。只要系统的非线性作用强到一定程度，就可能出现分岔。所以，凡是产生混沌的系统，总可以观察到岔序列。分岔图直观反映了混沌迭代序列数值分布与分型参数的二维关系，从分岔图可以观察混沌映射经过倍周期分岔直至进入混沌状态的全部过程。混沌映射的分岔图如图2所示。

图2 混沌序列的分岔图Fig.2 The bifurcation diagram of chaotic sequence

从图2（a）、（b）可看出，对于改进型Logistic和双Logistic映射，分别只在其分岔参数μ＝2和μ＝4时，迭代数值才会映射在整个［-1，1］区间，亦称为满映射。而在其他参数值情况下，映射迭代结果分布比较集中，在保密扩频通信或其他对信息安全要求高的通信中，将增大第三方破解该序列的可能性，因而非满映射不适用对保密通信要求高的系统。图2（c）为L-C映射表达式分别在ω＝10和μ＝2时的分岔图，显然几乎在整个参数取值区间L-C均能达到满映射状态。从而可以看出，L-C系统具有更强的分岔行为，其混沌系统更加复杂。

2.3 Lyapunov指数

Lyapunov指数是衡量混沌系统非线性动力学特性的一个非常重要定量指标，反映了系统中两序列在初始时刻随时间的分离所出现的状态，通过Lyapunov指数可以判断，系统是处于收敛态或混沌态［8］。若Lyapunov指数为正，则表示系统在相空间中的2条轨迹的间距无论初始时刻差别多小，随着时间的推进轨迹的间距而成指数率的增加，以致最终无法预测，也即产生混沌现象，且Lyapunov指数越大，混沌现象越明显，非线性动力学特性越强。若Lyapunov指数为负，则表示初始时刻相邻的两点最终会并拢为一点，这对应于稳定的不动点或周期运动点［9-10］。图3、4为3种映射的Lyapunov指数仿真。对比图3、4可看出，3种映射都存在Lyapunov指数大于0的点，说明3个系统均具有混沌状态。同时L-C映射在混沌参数范围内，其Lyapunov指数均大于4，数值比较大，说明混沌状态稳定；而改进型Logistic和Chebyshev两种构成新映射的Lyapunov指数均低于L-C映射。很明显，2种原始映射在构成新映射的过程中，Lyapunov指数在其对应混沌参数范围内得到提高，说明L-C映射的混沌状态的复杂性更高，非线性动力学特性越强，序列预测难度更大，能够避免混沌在参数区间内出现不动点和周期点。

图3 L-C序列（ω＝6）、改进型Logistic序列的Lyapunov指数Fig.3 The Lyapunov exponent of L-C（ω＝6）and the improved Logistic sequence

图4 L-C（μ＝2）和Chebyshev序列的Lyapunov指数Fig.4 The Lyapunov exponent of L-C（μ＝2）and Chebyshev sequence

3 混沌序列特性

3.1 初值敏感性

初值敏感性是指给定初始值一个非常小的变化，系统在经过混沌映射多次迭代运动后其产生的运动轨迹与变化前的轨迹完全不相干。现对序列的初值敏感性进行仿真分析，图5为改进型Logistic、双Lo-gistic和L-C序列在2个初始值进行相减后所得到的新序列。序列值为0表示2个序列在此时的取值相等。由于3种序列的取值区间为（-1，1），相减后的取值范围为（-2，2）。3种序列的2个初始值均为0.6和0.600 000 1，迭代次数取60。

图5 混沌序列初值敏感性Fig.5 The initial sensitivity of chaotic sequence

由图5可知，改进型Logistic序列和双Logistic序列在迭代20次才开始进入混沌状态，而L-C序列在迭代16次就进入混沌状态，因此L-C序列能够更快地进入混沌状态，说明与其他混沌映射相比，L-C序列初值敏感性更强。同时由图5（b）可知，双Logistic混沌映射两初值相减之后的取值只在（-1，1），表明文献［3］提出的双Logistic混沌系统初值敏感性较差，初始值相近的序列相关性较强。不仅如此，传统的一维混沌序列，如改进型Logistic序列、Chebyshev型序列只存在一个初始值的情况，L-C映射由于采用二阶差分的形式，使得混沌映射存在2个初始值，增加了初始值的灵活性。因此，L-C序列具有更强的初值敏感性，序列之间相关性更好，具有更好的保密性。

3.2 随机性

为了验证混沌L-C序列的随机性，检验L-C映射与其他映射结果的分布情况。如图6（a）所示，将μ值设为2，首先考虑L-C映射和改进型Logistic映射，由图6（a）可知，在取值范围内2种映射的生成序列近似随机的分布。但当μ＝1.6进行验证时，改进型Logistic映射的结果分布是非均匀的，在纵坐标（-1，-0.6）形成了一片空白区域，取值出现了断层，而L-C映射则避免了该问题，其分布仍然是近似随机均匀的，如图6（b）所示。说明L-C映射具有更强的随机性，可以弥补传统一维混沌序列由于单一参数产生序列随机性分布不均匀的情况。图6（c）为文献［3］提出的双Logistic映射对应生成序列结果的分布，显然在μ＝3.7和μ＝3.9时，均存在带状的空白区域，这也可以从双Logistic映射的分岔图看出，双Logistic映射只有在μ＝4时不存在空白带，也即此时序列的随机性最强，因此，相比改进型Logistic序列和双Logistic序列，L-C映射产生可用的混沌序列数目更多，混沌控制参数范围更广，更容易满足保密通信中序列随机性的要求。

图6 映射的生成序列分布Fig.6 The sequence distribution of chaotic mapping

3.3 近似熵

近似熵［11］是一种描述信号复杂性和规律性的非线性动力学参数，只需较少数据就能度量信号的复杂性，广泛应用在模式识别、脑电图分析等逻辑思维较复杂的领域。王云雄等［12］提出了采用混沌运动产生的信息量大小，即通过近似熵衡量复杂性的准则，该方法能够简单有效地判断混沌伪随机序列复杂性。因此，可以用混沌序列的近似熵定量研究混沌系统的复杂性。在计算近似熵时，一般只需比较短的数据就能估计出比较稳定的统计值，其判断依据为近似熵越大，序列的复杂性越大，混沌运动信号的不规则性和随机性也越强。采用文献［12］的方法计算新序列的近似熵，进行混沌序列复杂性分析。图7为混沌序列近似熵。

图7 混沌序列近似熵Fig.7 The approximate entropy of different chaotic sequences

从图7可看出，L-C序列的近似熵比改进型Logistic和Chebyshev序列的高，文献［3］提出的双Logistic序列的近似熵比改进型Logistic的高，说明文献［3］提出通过将2个Logistic映射相减产生新序列的方法，使得改进型Logistic序列的复杂性有了一定的提高，但复杂性还远低于L-C序列，（-1，1）区间的随机序列由计算机中的随机数发生器随机产生，理论上序列之间不存在任何相关性，因此，序列的近似熵最高。由图7可知，达到稳定状态下的近似熵在2以上，这是其他序列所无法比拟的。从图7还可看出，随着序列长度的增加，序列的近似熵也呈上升趋势，在序列长度低于200时，近似熵还不够稳定，序列长度达到200，近似熵才稳定，此时的近似熵基本可反映该混沌序列的复杂程度。很明显，L-C映射所产生的序列是一种随机性强、复杂性高的混沌序列。

4 结束语

提出了一种高复杂性的L-C混沌映射，并对该映射的动力学特性以及产生的混沌序列的特性进行仿真，仿真结果表明，与改进型Logistic和Chebyshev两种原始混沌以及文献［3］提出的双Logistic序列相比，L-C混沌映射具有更加复杂的分岔图和吸引子结构，更强的初始值敏感性和随机性，复杂性更高。该类型序列在混沌保密通信和密码学等军用信息安全通信领域可以得到更广泛的应用。

［1］ 王杰智，陈增强，袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究［J］.物理学报，2006，55（8）：3956-3963.

［2］ 甘露，熊波.DM-UKF混沌拟合破译混沌直接序列扩频通信［J］.物理学报，2012，61（21）：1-5.

［3］ 宁国强，何小海，侯波，等.一种新的混沌扩频序列的研究与应用［J］.四川大学学报（自然科学版），2009（5）：1341-1346.

［4］ 龚剑扬，司锡才，蒯冲，等.基于串联结构的混沌序列［J］.哈尔滨工程大学学报，2003，24（4）：436-439.

［5］ GUO Y，NAIK G R，HUANG S，et al.Nonlinear multiscale maximal Lyapunov exponent for accurate myoelectric signal classification［J］.Applied Soft Computing，2015，36：633-640.

［6］ 邹凤，张福洪，曾榕，等.一种新的混合混沌扩频序列的设计与仿真［J］.杭州电子科技大学学报，2015，35（1）：53-57.

［7］ 丁勇，郑良洪.一种新的混沌伪随机序列的生成方法［J］.桂林电子科技大学学报，2010，30（5）：528-532.

［8］ BOJUN Z，QIAN W，DONGWEI H.Analyzing on chaotic properties of double-body pendulum by Lyapunov exponents［J］.Journal of Tianjin Polytechnic University，2014，33（2）：425-429.

［9］ HONG Qinghu，ZENG Yicheng，LI Zhijun.Design and simulation of chaotic circuit for flux-controlled memristor and charge-controlled memristor［J］.Acta Physica Sinica-Chinese Edition，2013，62（23）：230502-2629.

［10］ XIA P，CHONG L.Analysis of ferromagnetic chaotic circuit with nonlinear potential transformer［J］.2013，65（6）：223-227.

［11］ KUMAR Y，DEWAL M L，ANAND R S.Epileptic seizures detection in EEG using DWT-based ApEn and artificial neural network［J］.Signal，Image and Video Processing，2014，8（7）：1323-1334.

［12］ 王云雄，翁贻方，郑德玲.混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析［J］.北京工商大学学报（自然科学版），2006，24（2）：38-41.

编辑：梁王欢

A new chaotic sequence with high complexity

CHEN Ziqiang，SHU Liang，XIE Yuelei
（Ministry of Education Key Laboratory of Cognitive Radio，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

The sequence generated by the traditional single chaotic map has the problem of simple initial iteration，the parameter interval is narrow and low complexity，a new chaotic sequence with high complexity is proposed.The improved one-dimensional chaotic Logistic and Chebyshev mapping is multiplied，chaotic mapped by ordinary second-order or cosine mapping relationship is transformed into the relationship between the product of second-order with cosine，chaotic mapping expression by the original first order difference becomes second order difference，thus increases the complexity of chaotic system.The nonlinear dynamics characteristics and chaotic sequence are simulated by computer.The results show that the new chaotic sequence has more complex chaotic attractors.It has stronger initial value sensitivity and randomness，and it also has higher approximate entropy value and chaotic sequence complexity.This new sequence can be widely applied in chaotic secure communications and other high requirements for information security fields.

chaotic sequence；improved Logistic mapping；Chebyshev mapping；chaotic attractor；approximate entropy

TN911.7

：A

：1673-808X（2016）05-0355-05

2016-01-11

国家自然科学基金（41201479）；广西自然科学基金（2014jjAA70068）；广西教育厅重点项目（ZD2014052）

陈紫强（1973-），男，湖南永州人，副教授，博士，研究方向为信道编码、协作通信。E-mail：chenziqiang＠guet.edu.cn。

陈紫强，舒亮，谢跃雷.一种高复杂性的混沌序列［J］.桂林电子科技大学学报，2016，36（5）：355-359.