初中几何折叠问题例析

刘拽拽

【摘 要】图形折叠问题在初中几何中独具一格，在中考中也频繁出现，它在本质上属于轴对称变换，涵盖的知识点较多（如直角三角形、全等知识、相似图形及平面直角坐标系知识），是初三复习中的一大专题。解决此类问题，要抓住在折叠过程中相等的线段和相等的角，这些相等关系是解决此此类问题的关键，本文以各类图形中出现的折叠，对其所涉及的知识要点和研究方法进行逐一剖析和探讨。

【关键词】几何；折叠

图形折叠问题，顾名思义，根据某一要求折叠某一角或图形的某一部分，在折叠前后产生相等的角或相等的线段，这类问题既具有可操作性又具有趣味性，实践自主探索、认识和掌握图形的性质，不仅可以积累数学活动的经验，而且还可以发展他们的空间观念，培养他们的数学思维能力、运用能力、空间想象能力、解题能力和探索能力。但学生初遇折叠问题，往往一片茫然，不知从何下手，究其原因是没有把握好折叠产生的相等的关系。这就要求教师注重学生观察、探索能力的培养，在教学中注重知识的融会贯通，综合运用。特别是在初三复习阶段，某一考题问题的解决往往会贯穿许多我们平时需要掌握的能力、知识和方法。

本文以几道习题为例剖析其解题思路与方法，与同仁共同探讨。

例1.如图，有一张直角三角形纸片，将△ABC折叠，使点B与点A完全重合，折痕为DE，若AC=6，BC=8，则CD=

分析：∵折叠后点B与点A重合

∴△BDE与△ADE能完全重合

∴△BDE≌△ADE

∴AD=BD（相等的线段）

设CD为x ，则BD为（8-x）

∴AD为（8-x）

在Rt△ACD中，∠C=90°根据勾股定理，得

AC2+CD2=AD2 即62+x2 =（8-x）2

∴x= 即CD长为

本题将由“折叠”得到相等的线段，再应用直角三角形“勾股定理”即可解决。

例2.如图，将一长、宽分别为8，4的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为

分析：设AC与EF交于点O，由题可求得AC=4

∵折叠后点C与点A重合，折痕为EF，

∴EF垂直平分AC

∠COF=∠B=90°

又∵∠OCF=∠ACB

∴△COF ∽ △CBA

本题利用“折叠”得到对称点，进而利用对称的性质得到“相等的线段”，再利用直角三角形的“勾股定理”与“相似”的性质求出未知的线段。

例3.如图，梯形纸片ABCD中，∠B=60°，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则AE=

分析：∵折叠后点B与点D重合

∴△ABE≌△ADE

∴∠DAE=∠BAE，

∠ABE=∠B=60°，

DE=BE

又∵梯形ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB+∠B=180°

∴∠BAD=120°

∴∠DAE=∠BAE=60°

∴△ADE为等边三角形

∴DE=AD=2

∴BE=DE=2

∴CE=BC-BE=6-2=4

本题由“折叠”得到相等的线段、相等的角，再利用三角形相关知识求解。

例子是说不完的，但万变不离其宗，对于初中折叠问题，我们主要抓住折叠最本质的特征即折叠前后的“全等”及“垂直”，在解题时综合应用三角形、四边形、及全等、相似等基础知识，灵活运用数形结合、方程、化归等数学思想方法，所有折叠问题都会迎刃而解。

下面几道习题供大家参考练习：

1.将三角形纸片（△ABC）按图形所示方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF，已知AB=AC=3，BC=4，若以B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF=___________。

答案：2或

2.将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE，再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的D'处，折痕为EG，则图中∠GEF的大小为___________。

答案：22.5°

3.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A'的位置，若OB=，∠A'OC=30°，则点A'的坐标为___________。