不同先验分布下三阶Erlang分布参数的Bayes估计

季海波

(宿迁学院 文理学院, 江苏 宿迁 223800)



不同先验分布下三阶Erlang分布参数的Bayes估计

季海波

(宿迁学院 文理学院, 江苏 宿迁 223800)

在定数截尾场合下,分别取共轭先验,Jeffreys先验和无信息先验,给出了三阶Erlang分布参数的Bayes点估计和区间估计,用极大似然法得到超参数的估计,通过随机模拟得到参数估计的均值和均方误差.最后通过模拟得到该分布的一组随机样本并给出不同截尾样本下的参数的3种点估计和区间估计.

三阶Erlang分布; 先验分布; Bayes估计; 区间估计

0 引言

k阶Erlang分布是排队论中常用的一个重要的服务时间分布,它与指数分布有密切联系.若X1,X2,…,Xk是一列独立的随机变量,且都服从指数分布E(μ),则随机变量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度

称T服从参数为μ的k阶Erlang分布[1],k是正整数.特别地,当k=3时有三阶Erlang分布的密度函数和分布函数分别为

若令θ=3μ,则三阶Erlang分布的密度函数和分布函数分别记

(1)

(2)

其中t>0,θ>0．

龙兵在定数截尾样本下研究了参数的极大似然估计[2],倪中新等研究了“平均剩余寿命”这一概念下的拟矩估计[3],龙兵给出在不同损失函数下艾拉姆咖分布的参数的Bayes估计[4],汤银才给出了威布尔分布参数的Bayes估计[5],而关于Erlang分布的参数在不同先验分布下的Bayes估计尚未见到,而且阶数越高估计越复杂,本文主要研究在定数截尾样本下三阶Erlang分布参数在不同先验分布下的Bayes点估计、Bayes区间估计,通过随机模拟得到估计,并判断3个先验分布下的Bayes估计的优劣.

1 不同先验分布下参数θ的Bayes估计

设t(1)≤t(2)≤…≤t(r)(r≤n)为来自三阶Erlang分布容量为n的随机样本中前r个最小观察值(为了记号方便,将t(i)的下标中括号省略,下文中统一用ti表示第i个最小观察值),当r=n时为全样本的情形.由文[2]有,

若令t=(t1,t2,…,tr),则样本t的似然函数为

(3)

将式(1)(2)代入式(3)有

(4)

其中

可取参数θ的共轭先验分布,其先验密度函数为

π1(θ)=λθ3e-λθ,θ>0

(5)

其中λ>0为超参数.

将式(4)(5)代入下式可得θ的后验密度函数

又

则可得θ的后验密度函数为

(6)

其中

Γ(·)表示伽玛函数.

在平方损失下,θ的Bayes估计为

(7)

根据文[6],若取参数θ的Jeffreys先验为

(8)

由式(4)(8)可得θ的后验密度函数为

(9)

其中

在平方损失下,θ的Bayes估计为

(10)

根据文[6],若取θ的无信息先验为

π3(θ)=1

(11)

由式(4)(11)可得θ的后验密度函数为

(12)

其中

在平方损失下,θ的Bayes估计为

(13)

2 超参数λ的极大似然估计

下面用极大似然法来估计超参数λ,计算密度函数及为分布分布为

(14)

(15)

将式(14)(15)代入到式(3)，可得

取对数有

令

可得

(16)

令

且显然有h1(λ)>0,h2(λ)>0.当λ→0+时,有h1(λ)>h2(λ),

又

故h1(λ),h2(λ)在(0,+∞)上都是严格递减的下凸函数.而且

故在区间(0,+∞)内方程(16)有唯一解,迭代公式为

(17)

3 参数θ的Bayes区间估计

4 随机模拟

使用Matlab软件,给定θ=2,取样本容量为n=50,通过Matlab中的Slicesample函数产生一组服从三阶Erlang分布的随机样本如下:

1.4260, 0.7780, 2.8818, 1.8263, 0.4529, 1.4891, 0.7138, 0.7928, 1.1480, 1.2106,

2.7155, 1.0027, 0.9088, 0.7196, 0.7003, 1.4403, 1.3516, 1.0839, 1.1062, 1.0471,

1.6105, 2.3618, 0.9624, 0.8615, 1.2600, 1.3034, 1.0899, 0.9169, 1.0705, 1.2185,

0.7266, 3.3979, 0.6540, 0.5869, 2.2812, 0.7835, 0.7378, 1.8882, 0.7704, 1.4884,

0.7488, 1.9165, 1.6212, 1.3417, 2.0432, 1.8843, 1.1442, 1.0605, 0.9033, 1.3938.

再通过Monte-Carlo方法随机产生容量为n且服从三阶Erlang分布的随机样本,给定r,得到一组定数截尾样本数据.利用改组数据求出参数θ的Bayes估计.重复上述模拟2 000次,分别求估计的均值和均方误差,模拟结果如表1.

表1 参数估计的均值及均方误差(α=0.05)

从表1的数据可以看出,随着截尾程度的增加,参数估计的均值与真值的偏差及均方误差越来越大.再比较一下相同截尾程度下,3个不同先验分布所得到的参数的Bayes估计,共轭先验分布得到的参数估计的均值与真值的偏差最小,均方误差也是最小的,3个先验分布应该选取共轭先验分布更优,也说明该方法是可行的.

[1] 胡运权,钱颂迪.运筹学基础及应用[M].北京:高等教育出版社,1986.

[2] 龙兵.不同先验分布下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计[J].数学的实践与认识,2015,45(4):186-192.

[3] 倪中新,费鹤良.威布尔分布无失效数据的统计分析[J].应用数学学报,2003,26(3):533-543.

[4] 龙兵.不同损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计-全样本情形[J].重庆师范大学学报：自然科学版,2013,30(5):96-100.

[5] 汤银才,侯道燕.三参数Weibull分布参数的Bayes估计[J].系统科学与数学,2009,29(1):109-115.

[6] 茆诗松, 汤银才.贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1999:102-103.

[责任编辑：李春红]

Bayesian Estimate of Parameter on 3rd Erlang Distribution Under Diffferent Prior Distribution

JI Hai-bo

(School of Liberal and Science, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800，China)

Under type-II censored sample on 3rd Erlang distribution,Bayes point estimation and interval estimation of parameter are gived when taking conjugate prior,Jeffreys prior and no information prior distribution;Secondly,estimation of super-parameter is obtained by maximum likelihood method. Then the mean and the mean square error about the parameter estimation are obtained by means of stochastic simulation. Three kinds of point estimate and interval estimate of the parameter under different censored samples are gived by means of simulated sample.

3rd Erlang distribution; prior distribution; bayesian estimate; interval estimate

2016-05-23

季海波(1981-),男,江苏南通人,讲师,硕士,研究方向为极限理论. E-mail: jhb-2010@163.com

O212.62

A

1671-6876(2016)04-0290-05