合情推理在三角函数解题中的应用研究

王春华●

江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学(225500)

合情推理在三角函数解题中的应用研究

王春华●

江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学(225500)

为加强高中生的三角函数解题能力的培养，本文对合情推理在三角函数解题中的应用问题展开了研究，具体探讨了归纳推理、类比推理和特殊化推理几种合情推理方法的应用问题.

合情推理；高中数学；三角函数解题；应用

作为重要的数学解题工具，三角函数的学习对高中生至关重要.但就实际情况而言，高中生大多对三角函数的学习缺乏信息，无法较好地应用三角函数性质和公式解题.而在三角函数解题中应用合情推理，则能够帮助学生完成三角函数中的变量关系的主动探究，从而更好地完成三角函数公式的记忆和运用.

一、归纳推理在三角函数解题中的应用

所谓的归纳总结推理方式，其实就是结合实例对三角函数中的自变量和因变量的关系进行理解，从而帮助学生顺利完成函数表达式的推导和理解.采取该种方式，能够使学生更好地发现现实函数问题中的各个变量间的关系，从而完成函数的归纳.

例1f(x)在R上为奇函数，满足f(a-x)=f(x)，证明f(x)为周期函数，并且周期为2a.

证明 ∵f(a+x)=f[a-(-x)]=f(-x)=-f(x),

∴f(2a+x)=-f(a+x)=f(x).

由诱导公式可知，若奇函数y=sinx满足sin(π-x)=sinx，则y=sinx为周期函数，周期为2π.

通过解答例题，则能够帮助学生理解诱导公式是如何推导出来的.进一步证明函数f(x)为R上的偶函数，满足f(a-x)=f(x)，则f(x)为周期函数，并且周期为2a.进而能够通过归纳掌握“奇变偶不变，符号看象限”这一基本的三角函数规律.

二、类比推理在三角函数解题中的应用

在学习三角函数的过程中，将接触到正弦函数、正切函数、余弦函数和余切函数这四个主要函数.通过类比分析，则可以发现这四个函数都有奇偶性、周期性和对称性等函数特性.在类比推理的过程中，不仅能够掌握不同三角函数的相同点，还能够实现不同函数的区分，从而避免在三角函数解题中出现错误.

例2 函数f(x)在R上的图象如果分别关于直线x=a和x=b对称，且a>b，则g(x)为周期函数，并且周期为T=2(a-b).

分析 正弦函数y=sinx的特性可以发现，sinx为周期函数，图象为轴对称图形.在函数y=sinx的对称轴上，若存在x=π/2和x=-π/2两条直线，则函数周期为T=2[π/2-(-π/2)].通过对三角函数图象性质进行类比推理，则可以完成例题的求解.

证明 由题可知，f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，

∴f[x+2(a-b)]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x).

∴2(a-b)为f(x)的一个周期.

例3 函数f(x)和g(x)在R上不恒为0，并且满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)和f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，则函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数.

在求解该问题时，可以利用三角函数进行类比推理，从而利用三角函数解题.因为，正弦函数y=sinx满足sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx和sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx，并且sinx为奇函数，cosx为偶函数.

证明 ∵f(0-0)=f(0)g(0)-f(0)g(0),

∴f(0)=0.

∴f(x+0)=f(x)g(0)-f(0)g(x)=f(x)g(0),

且f(0-x)=f(0)g(x)-f(x)g(0)=-f(x)g(0),

可得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.

∵f(x+(-x))=f(x)g(-x)+f(-x)g(x)

=f(x)[g(-x)-g(x)]=0,且f(x)不恒为零，

∴g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数.

三、特殊化推理在三角函数解题中的应用

在学生难以理解三角函数表达形式的情况下，教师可以结合特殊例子帮助学生通过特殊化推理研究函数性质.在推导一些三角函数性质时，教师可以引导学生取特殊角，从而帮助学生更好地掌握这部分内容.

在高中数学教学中，如何运用三角函数解题一直是困扰高中生的问题.为帮助学生更好地掌握和运用三角函数性质，教师还要应用合情推理的方法帮助学生理解具体的函数知识，并且掌握函数中的各个变量的关系，从而更好地进行三角函数解题.

[1]黄春雷.类比推理在高中数学教学中的作用[J].成功(教育),2013,20:72.

[2]殷瑞鑫.合情推理在高中数学函数中的应用研究[J].中学课程辅导(教师通讯),2015,24:78.

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