磁流变弹性体磁致力学性能的数值模拟研究

赵树勋，游世辉，钱子菡

(1.湘潭大学 土木工程与力学学院，湘潭 411105)

磁流变弹性体磁致力学性能的数值模拟研究

赵树勋1，游世辉2，钱子菡2

(1.湘潭大学 土木工程与力学学院，湘潭 411105)

磁流变弹性体是一类将磁性敏感颗粒嵌入柔软橡胶基体中制成的新型磁敏高弹性智能材料.基于细观力学RVE(等效体积单元)方法，建立了磁流变弹性体的二维多链RVE，从理论分析和数值模拟两条主线，研究了磁流变弹性体的磁致压缩和磁致剪切力学性能，包括其磁致模量和磁场能量的变化情况，讨论了磁致模量的变化与能量转换之间的关系.通过对多链磁流变弹性体进行磁弹性耦合数值模拟，验证了外磁场的施加使得磁流变弹性体的初始压缩应力减小，剪切模量增大. 关键词：磁流变弹性体；磁致力学性能；磁弹性耦合；数值模拟

0 引言

磁流变弹性体(Magnetorheological Elastomers，简称MREs) 是一类将磁性敏感颗粒嵌入柔软橡胶基体中制成的新型磁敏高弹性智能材料，兼具磁敏材料和弹性体的优点，如响应快、可控能力强、可逆性好等.磁流变弹性体能承受大应变，同时可以表现出磁弹性效应，如磁致应力、变形和有效模量的变化.

磁流变弹性体在制备时若无外加磁场，则铁粉颗粒会随机均匀地分散在橡胶基体中，呈现出各向同性的性质.若在外磁场作用下制备磁流变弹性体，则固化后的颗粒会沿磁场线呈链状排列.磁流变弹性体的工作状态一般包括拉伸、压缩和剪切三种，以压缩或剪切为主.

在对磁流变弹性体的磁致力学性能的研究方面，Jolly[1](1996)建立了点偶极子模型，把磁流变效应当作颗粒磁化的函数.Ginder[2](1999)等使用有限元方法和偶极子模型方法计算了mres在不同磁场中准静态剪切应力-应变关系.Y.Shen等人[3](2004)建立了考虑颗粒链的偶极子相互作用及基体材料的非线性性质的MREs磁致模量的模型.朱应顺等人[4](2007)应用有限元方法，计算得到了MREs中磁场的分布、相对磁导率以及磁致剪切模量等参数，但数值模拟中仅研究了单颗粒的磁学参量，并未考虑到磁-力耦合的作用.M.Kallio等人[5](2007)研究了压缩模式下MREs的力学性能，结果表明磁性颗粒有取向的MREs的压缩模量的改变量远大于各向同性的MREs.孙书蕾等人[6](2015) 基于RVE方法对磁敏橡胶的力学行为进行了预测，但研究中并未考虑到颗粒的多链分布情况.

表征颗粒成链磁流变弹性体力学性能的理论模型多基于单链偶极子理论.偶极子理论模型作了过多假设，其忽略了颗粒链之间磁场力的相互作用，没有考虑到颗粒网络之间的整体作用，且单链偶极子理论模型无法从整体上定量且较精确地计算磁流变弹性体的力学参数，如磁流变弹性体的磁场能量及磁场力等.若采用数值模拟的方法对磁流变弹性体进行磁弹性耦合，可研究磁流变弹性体在变化过程中的细微观机理，如磁场力的作用效果及磁场能量的变化情况等等.

本文首先讨论了磁流变弹性体基体和颗粒的力学及磁学特性；之后从理论角度讨论了单链磁流变弹性体的压缩和剪切模量的计算式；然后建立了多链磁流变弹性体的二维RVE，并通过对RVE施加电磁边界条件，研究了多链磁流变弹性体的磁致压缩和磁致剪切力学性能，讨论了其磁致模量及磁场能量的变化情况，并解释了磁致模量变化与能量转换之间的关系.

1 磁流变弹性体基体和颗粒的力学性能

1.1 磁流变弹性体基体的力学模型

磁流变弹性体的基体材料一般选用天然橡胶或硅橡胶.橡胶材料是一种高分子聚合物，具有超弹性及拉伸压缩不同性质的特征.橡胶的超弹性一般用应变能密度函数来表征.本文选用Neo-Hookean模型来描述磁流变弹性体基体橡胶的超弹性.一般假定橡胶为不可压缩材料.Neo-Hookean模型应变能函数表达式为:

wN-H=C10(I1-3)

(1)

Neo-Hookean模型可以较好地预测应变小于20%的平面拉伸和等双轴拉伸，30%～40%的简单拉伸以及80%～90%的纯剪切力学行为的应力-应变行为.因此通过Neo-Hookean应变能密度函数模型，可推导出磁流变弹性体在单轴压缩和纯剪切作用下载荷作用方向上的名义应力-应变关系.

1.2 铁粉颗粒的力学及磁学特性

磁流变弹性体的填充材料多选用球形羟基铁粉颗粒.羟基铁粉是一种常见的弹塑性材料，也是一种铁磁质软磁材料.羟基铁粉受力后一般只发生较小的弹性变形，因此本文将磁流变弹性体的铁粉颗粒视作线弹性材料，其力学参数可通过直接定义获得.此处定义羟基铁粉的杨氏模量为E=225 GPa，泊松比ν=0.35，密度ρ=7800 kg/m3，相对磁导率为μr=5000.

2 磁流变弹性体磁致力学性能的理论分析方法

2.1 磁场力及磁场能量的计算

磁流变弹性体的固化过程以及工作过程中都伴随着磁场力的作用.铁粉颗粒受到磁场的作用力即是一种磁场力.磁流变弹性体受到的磁场力可通过对铁磁性颗粒的边界施加Maxwell电磁应力张量来求解.电磁场的Maxwell应力张量可由下式给出：

Tm=BH-PemI

(2)

对磁性材料的边界施加Maxwell电磁应力张量后，通过积分即可求得磁性材料受到的外部磁场的磁场力，然后便可以求出磁流变弹性体的整体受力情况了.

工作中的磁流变弹性体能量的变化主要包括储存在橡胶中的弹性势能以及磁性材料中的磁能变化.磁场的能量即是指磁场的磁势能.当磁性介质受到磁场的作用时，介质将会被磁化而产生磁势能.磁势能在宏观上主要包括静磁能.

假设一线性、均匀且各向同性可磁化材料，其材料内部和表面上均无电流，则放置于匀强磁场中的磁性材料磁畴区域上的静磁能可表示为:

WH=-μ0MHcosθ

(3)

式中:M为磁化强度，WH为磁介质被外磁场磁化时的磁场能量密度函数.其中θ为磁偶极矩与磁场强度的夹角，θ∈[0°,180°].

2.2 磁致模量的计算

磁流变弹性体的磁致力学性能主要研究其在磁场中磁致杨氏模量的变化.表征磁流变弹性体的磁致力学性能的模型多基于单链的偶极子模型.现基于偶极子理论计算磁流变弹性体的磁致压缩模量与磁致剪切模量的计算式.

对于磁流变弹性体的单链模型，磁场引起的力的变化与压缩应变的关系可表示为[7]：

(4)

式中:μ0为真空磁导率，μ1为基体的相对磁导率，R为颗粒半径，ε为沿磁场方向的线应变.对于橡胶基体来说，μ1≈1.同时将上式对ε求偏导，即可求得磁流变弹性体的磁致压缩模量，表示为：

(5)

基于Jolly的磁偶极子理论模型[1]，当剪切应变ε﹤0.1时，可得到磁流变弹性体磁致剪切模量的计算公式为：

(6)

从以上两式可以看出，磁场诱导产生的弹性模量和剪切模量都为正值，因而根据理论可知磁场将使得磁流变弹性体的压缩模量和剪切模量增大.

2.3 磁流变弹性体电磁场的边界条件

电磁场的边界条件是指磁介质分界面两侧场量与分界面上电流的制约关系.磁介质的边界条件应满足的关系有：

(1)磁感应强度B的法向分量连续，可表示为

(7)

(2)磁场强度H的切向分量连续，可表示为

H1t=H2t

(8)

式中H1t和H2 t分别表示分界面上H1和H2的切向分量.该式说明，在两种磁介质的交界面处，磁场强度的切向分量是连续的.

下文基于RVE方法对磁流变弹性体的磁致力学性能进行磁-弹耦合数值模拟的时候，铁磁颗粒为单一材料，且颗粒之间互不接触，因而磁场边界条件是自然满足的.而位于RVE边界处被截开的颗粒，在软件中则可通过对其边界施加Maxwell应力张量来满足边界条件.

3 颗粒成链磁流变弹性体磁致力学性能的数值模拟

本节使用COMSOL Multiphysics对颗粒成链磁流变弹性体进行磁-弹性耦合数值模拟.建立的多链磁流变弹性体的二维RVE相关参数见表1.未列出的参数包括，链上颗粒衷心距为5.5，颗粒链间距为10.

表1 磁流变弹性体模型的相关参数

磁流变弹性体二维RVE及边界条件示意图如图1所示，磁感应强度平行于颗粒链方向，大小分别为0、0.5、1、1.5 Tesla.

图1 多链磁流变弹性体RVE及边界条件示意图

图2～图3为磁流变弹性体磁致压缩和磁致剪切相关云图.从图2可以看出，应力在铁磁颗粒上及颗粒链之间较为集中，形成一条条明显的“应力链”.从图4可以看出应力在上下两边的个别颗粒处较为集中.

图2 磁致压缩变形及其应力云图

图3 磁致压缩磁感应强度云图及其流线图

从图3和图5可以看出，磁流变弹性体与空气接触处的颗粒边缘的磁感应强度较大，其次在颗粒边缘处较大，垂直于磁感线的基体区域上磁感应强度最小.从图3可以看出，磁流变弹性体受压变形后，磁感线平行颗粒链通过磁流变弹性体内部时发生了弯曲，在颗粒链之间形成“波浪”.而图5中的磁感线通过磁流变弹性体内部时仅发生了倾斜，较为平缓.

图4 磁致剪切变形及其应力云图

图5 磁致剪切磁感应强度云图及其流线图

图6～图7为多链磁流变弹性体磁致压缩及剪切应力-应变曲线.从图6可以看出，在压缩作用下，材料的磁致压缩应力-应变曲线随磁感应强度的增大，初始应力减小为负值.这说明磁场的施加使得磁流变弹性体受到与磁场反向的作用力，且磁场强度越大，该作用力越大.

从图7可以看出，在剪切作用下，颗粒成链磁流变弹性体磁致剪切应力-应变曲线随磁感应强度的增大，曲线的斜率增大.由于应力-应变的曲线斜率即是该点处的弹性模量，因此可以说明施加磁场后磁流变弹性体的剪切模量增大，且磁场强度越大，曲线斜率越大，因而磁致剪切模量越大.

图7 磁致剪切应力-应变曲线

图8～图9为多链磁流变弹性体磁致压缩及磁致剪切磁能-应变曲线.从图8和图9可以看出，压缩和剪切的总磁能曲线都是随着磁感应强度的增大而增大，随着应变的增大，总磁能略微减小.同时颗粒体积分数大的曲线磁能更高，而与应变的关系不大.

从图9可以看出，剪切的总磁能曲线是随着磁感应强度的增大而增大；随着应变的增大，总磁能几乎不变.

图8 磁致压缩磁能-应变曲线

图9 磁致剪切磁能-应变曲线

对以上现象可通过以下解释来说明.磁流变弹性体磁致模量与零磁场时的等效模量的不同实际上是由磁场能量和基体应变能的相互转换引起的.铁磁性颗粒被外磁场磁化后，颗粒之间将产生磁力，并相互吸引.这种颗粒之间的磁力可称作“预应力”.由于预应力的存在，磁流变弹性体的基体将沿磁场方向产生微小的压缩.这种预应力的存在增加了材料的可靠性.

对磁流变弹性体施加磁场后，在剪切变形过程中，排列成链的铁磁性颗粒之间的距离增大，导致引起相互吸引的磁力减少.为了恢复平衡状态，预应力产生的储存在橡胶基体里的应变能将释放.从宏观上看，此时材料的应变值将大于基体在相同载荷下的值，所以磁流变弹性体整体的初始磁模量呈增大的趋势.而在压缩过程中，颗粒之间的距离减小，颗粒之间的相互吸引力增大，此时材料的应力值将小于相同应变下的值，因此表现出初始应力小于零的现象.

随着应变的增大，磁场的部分能量转化为橡胶中的应变能，因而磁场能量减小.而颗粒体积分数大的磁流变弹性体，磁能在颗粒中存储的较多，同时转化为基体应变能的磁能也较多，因而磁场总能量会减少.

4 结论

本文基于细观力学RVE方法，建立了颗粒成链磁流变弹性体的二维多链RVE，从理论分析和数值模拟两条通道，研究了磁流变弹性体的磁致压缩和磁致剪切力学性能，得出了如下结论：

(1) 颗粒成链磁流变弹性体在压缩作用下，初始应力较小.在剪切作用下，材料的磁致剪切模量增大.这是由于磁场能量和基体应变能量的相互转换引起的.

(2) 颗粒成链磁流变弹性体在压缩作用下，总磁能随着磁感应强度的增大而增大；随着应变的增大，总磁能略微减小.剪切的总磁能曲线是随着磁感应强度的增大而增大；随着应变的增大，总磁能几乎不变.同时颗粒体积分数大的磁流变弹性体磁场能量较小，反之亦然.

(3) 本文未能考虑铁磁颗粒磁化过程的非线性和颗粒的磁饱和等因素的影响.下一步工作将考虑这两个因素的作用，同时研究磁场的方向性对磁流变弹性体力学性能的影响.

[1] Jolly, M.R., Carlson, J.D. & Munoz, B.C. A Model of the Behaviour of Magnetorheological Materials[J]. Smart Mater. Struct. 1996(5):607-614.

[2] Ginder, J.M., Nichols, M.E., Elie, L.D. & Tardiff, J.L. 1999. Magnetorheological Elastomers: Properties and Applications. SPIE[J]. The International Society for Optical Engineering. Proceedings of the 1999 Smart Structures and Materials on Smart Materials Technologies, Mar 3-Mar 4, Newport Beach, CA, USA 1999,3675:131-138.

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[4] 朱应顺,龚兴龙,张培强,等.磁流变弹性体若干物理量的数值分析[J].计算力学学报,2007,24(5):565-570.

[5] M.Kallio,T.Lindroos,S.Aalto.Dynamic Compression Testing of a TunabIe Spring Element Consisting of a MagnetorheoIogical EIastomer[J].Smart Materials and Stmctures，2007，16(2) ：506-514.

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Numerical Simulation Research on Magnetic Mechanical Properties of Magnetorheological Elastomers

ZHAO Shu-xun，YOU Shi-hui，QIAN Zi-han

(College of Civil Engineering and Mechanics，Xiangtan University，Xiangtan 411105， China)

Magnetorheological Elastomers (MREs) are a kind of magneto-elastic smart materials which are compose of magneto-sensitive particles and soft elastomers. MREs have both advantages of magnetorheological materials and elastomers， such as rapid response， excellent reversibility and strong controllable ability. Based on RVE(Representive Volume Element) in mesomechanics method, multi-chained RVE of MREs is built and the magneto-mechanical property of comression and shear is studied through theoretical analysis and multi-physics coupling numerical simulation. These researches include magneto-induced modulus of magnetic filed energy as well as the relationship of the two variables. By magneto-elastic coupling numerical simulation to multi-chained RVE of MREs, we draw the conclusion that the MREs’ initial value of compression stress is decresed and shear modulus is increased due to magnetic field.

magnetorheological elastomers; magneto-mechanical property; magneto-elastic couple; numerical simulation

2016-05-13

国家自然科学基金项目资助(51375416).

赵树勋(1990-)，男，硕士研究生，研究方向：工程力学与计算.

通迅作者：游世辉(1962-)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向：工程力学与计算.

TN303

A

1671-119X(2016)04-0084-06