“圆来”如此简单

一、课本引例

【引例】苏科版九年级《数学》上册第52页，习题2.3第3题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.经过A、B、D三点作⊙O，检验点C是否在⊙O上，并说明理由.

[图1]

【说明】在引例中，连接BD，取BD的中点N，连接NA、NC，在Rt△BCD中，NB=NC=ND；Rt△BAD中，NB=NA=ND，所以NA=NB=NC=ND，故A、B、C、D四点在以N为圆心，NA为半径的圆上.由此我们可以得到这样一个结论：有一组对角均为直角的四边形四个顶点共圆.为叙述方便，我们把它称为基本结论.

二、结论运用

例1 如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、CD的中点，BE，AF相交于点G，连接CG，则tan∠CGF= .

【常规思路】如图3，延长AF、BC交于一点H，由E、F分别为边AD、CD的中点，可证得△ABE≌△DAF，∴∠ABE=∠DAF，由正方形ABCD得：∠BAG+∠DAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，即：∠BGH=90°.容易证得△DAF≌△CHF，所以AD=HC，∠H=∠DAF，∵AD=BC，∴BC=HC，∴在Rt△BGH中，CB=CG=CH，∴∠CGF=∠H，∴∠CGF=∠H=∠ABE.∴tan∠CGF=tan∠ABE

=[12].

【“圆来”如此】如图4，在求得∠BGF=90°、∠BCF=90°后，由基本结论可知：B、C、F、G四点共圆，∴ tan∠CGF=tan∠CBF=[12].

例2 （2013·黑龙江哈尔滨）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 .

【常规思路】如图6，连接EC，由题意可得OE为AC的垂直平分线，

∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，

所以S△AEC=[12]AE?BC=10，

∵BC=4，∴AE=5，∴CE=5，

在Rt△BCE中求得：BE=3，∴AB=8，

在直角三角形ABC中，求得AC=[45]，

∴BO=[12]AC=[25].

过点E作EM⊥BO于M，则△EBM∽△DBA，

∴[EBDB]=[EMDA]=[BMBA]，

即：[345]=[EM4]=[BM8]，

∴EM=[355]，BM=[655]，∴OM=[455].

在Rt△OEM中，求得OE=[5]，

∴sin∠BOE=[EMOE]=[3555]=[35].

【“圆来”如此】如图7，由题意可知：∠EOC=90°，∠EBC=90°，

∴B、C、O、E四点共圆，

∴∠BOE=∠BCE，

∴在Rt△BCE中，

sin∠BOE=sin∠BCE=[BECE]=[35].

三、题后反思

在求锐角三角函数值的过程中，有时我们会陷入“绝境”.事实上，求一个锐角的三角函数值，无非两种思路，一种是原角不动，想办法构造直角三角形去求；另一种是对原角进行转化，找出与它相等的角进行替换，间接来求.在第二种方法中，我们特别要注意隐形圆的存在，找到了圆就可以考虑运用圆周角定理对角进行转化，这就要求我们能够准确地判断出哪四点共圆，因此要抓住课本引例中基本结论：“有一组对角均为直角的四边形的四个顶点在同一个圆上.”这很关键，进一步我们还可以将基本结论推广为：“对角互补的四边形四点共圆.”有兴趣的同学可以做进一步的探究，并希望同学们在学习过程中注意这个基本结论的灵活运用.

（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）