混凝土单轴动态拉伸强度随机性的统计特性分析

金 浏， 韩亚强， 杜修力

(1.北京工业大学 城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124; 2.清华大学 土木工程系，北京 100084)

混凝土单轴动态拉伸强度随机性的统计特性分析

金 浏1,2， 韩亚强1， 杜修力1

(1.北京工业大学 城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124; 2.清华大学 土木工程系，北京 100084)

混凝土拉伸破坏行为是混凝土试件及结构力学行为的重要组成部分，其与加载速率密切关联。针对混凝土材料静、动态拉伸强度的随机性和离散性，探讨了骨料分布形式的影响规律。从细观角度出发，假定混凝土是由骨料颗粒、砂浆基质及界面过渡区组成的三相复合材料，考虑各相材料动态加载下力学特性的应变率效应，建立了混凝土动态力学行为研究的细观尺度力学模型与方法。以双边缺口混凝土试件为例，对5组不同应变率下64个具有不同骨料分布形式的混凝土试件的单轴动态拉伸力学行为进行了数值试验。基于概率统计分析理论，对不同应变率下混凝土动态抗拉强度的离散性进行了统计分析，包括均值、方差及分布形式等概率统计特性。研究表明：混凝土动态抗拉强度服从双参数Weibull分布；随着应变率的增大，混凝土抗拉强度离散性逐渐减小。

混凝土；细观力学方法；动态抗拉强度；随机性；统计特性

混凝土是由砂浆及其内部随机分布的骨料、初始缺陷等组成的非均质复合材料，其内部组成的非均质性，导致了混凝土力学性质特别是强度的随机性和离散性[1]。这种随机离散性可能会对混凝土工程结构大变形灾变破坏过程模拟研究的准确性产生很大的影响。因此，对混凝土强度离散性规律的研究具有重要的科学意义。

混凝土材料的强度主要通过力学试验和数值模拟等方法来获得。通过力学试验来获得混凝土强度离散性的统计特性，需要耗费较多的人力物力和时间成本。因此，数值模拟成为常用的实现途径。杜修力等[1]基于细观尺度计算模型，实现了64组混凝土的单轴静态压缩模拟，获得了强度及其应力-应变关系曲线软化段的统计规律，其结果表明混凝土强度及其软化段均服从双参数Weibull分布。WANG等[2]同样采用数值模拟手段，建立了100组具有随机分布的椭圆形骨料和孔隙的混凝土样本，获得了100条单轴拉伸状态下的宏观应力-位移关系曲线。其研究表明：数值样本的应力-位移响应与混凝土细观结构的随机性密切相关；骨料和孔隙空间分布不同时，混凝土在外荷载作用下产生的初始微裂纹及后续宏观裂纹的路径不同(即裂纹扩散路径不同)，进而导致混凝土宏观强度的差异。

由于混凝土的抗拉强度远低于其抗压强度，故抗拉强度在很多情况下对结构的可靠性和安全性起着决定性的作用。在混凝土结构设计时，不仅要考虑静荷载，还需考虑动荷载如地震荷载(应变率约为10-4～10-1s-1)作用的影响。近年来，不少研究者，如窦远明等[3-4]通过试验方法探讨了动态加载下混凝土的动态抗拉特性。这些工作促进了对混凝土动态拉伸强度及破坏机理的认识，但少见对混凝土动态拉伸强度随机性的分析。UNGER等[5]的数值研究工作表明，骨料的空间分布形式是造成混凝土强度随机非均匀性的最重要因素。

混凝土宏观力学性质取决于内部组成的非均质性。本文采用数值模拟的手段，考虑骨料分布对混凝土动态抗拉强度离散性的影响，建立了混凝土宏观力学性能研究的细观尺度分析模型与方法。针对5组不同的应变率(准静态荷载1×10-5s-1，地震荷载1×10-4、1×10-3、1×10-2和1×10-1s-1)，模拟了64个不同骨料分布形式下的混凝土试块的单轴拉伸破坏行为。进而基于概率理论，分析得到了单轴动态抗拉强度的统计特性，并揭示了骨料分布形式对混凝土拉伸强度随机性的影响规律。

1 混凝土单轴动态拉伸力学行为

1.1 混凝土细观尺度模型

混凝土宏观力学性能与其微/细观结构密切关联[2]。这里从细观角度出发，同文献[1, 2, 5]的工作，将混凝土看作由骨料颗粒、砂浆基质及两者间界面过渡区组成的三相复合材料。采用带缺口的试件进行混凝土单轴拉伸试验是一种普遍做法[6]。为了将数值模拟结果与后期的试验结果进行对比，本文亦采用双边缺口试件进行数值模拟。图1即为采用“取-放”方法建立的二维混凝土双边缺口试件，试件的高度为200 mm，宽度为100 mm。为简化计算，假定骨料均为圆形[7]，级配采用Fuller级配来描述：中石(直径d=20 mm) 12颗，小石(d=11 mm) 58颗。骨料位置的确定需采用Monte Carlo法随机投放，在Fortran中编程随机计算出每一个骨料的圆心坐标并赋予半径，并保证各个骨料间不重叠，进而可以确定细观数值模型中骨料的节点和单元信息。骨料周围的薄层区域为界面过渡区(ITZ)，过渡区界面的真实厚度为“微米”量级，但考虑到计算效率的限制，这里将过渡区界面厚度设为1 mm[8]。正如图1所示，各相材料具有不同的颜色，代表具有不同的力学特性。另外，考虑到数值模型的计算量问题，网格划分尺寸为1 mm。

图1 细观力学计算模型Fig.1 Meso-scale mechanical model

混凝土试件单轴动态拉伸加载的边界条件为：两侧为自由边界；底部节点采用竖向约束，其中最左侧节点为水平向约束；上部边界施加载荷，采用恒定速率v进行加载控制。

1.2 细观组分本构关系及力学参数

ZHOU等[9-10]对混凝土的动态拉伸破坏行为进行了数值模拟。其数值结果表明，由于骨料间的拉伸强度明显高于砂浆及界面过渡区，因而没有发生断裂破坏。本文集中于探讨中低应变率下混凝土的动态力学行为，故而亦假定骨料不发生断裂破坏，为线弹性体。

GROTE等[11]试验研究表明砂浆力学性能与混凝土类似，因此可以采用由LUBLINER等[12]提出的后经LEE等[13]改进的塑性损伤模型来描述其力学行为。过渡区界面本质上是一层孔隙率较高的砂浆，故其力学行为亦可以用该本构模型来表征[14]。该损伤模型认为混凝土的破坏机制为拉伸破坏(tensile failure)和压碎破坏(compressive crushing)。其不仅能够表征混凝土在外荷载作用下的塑性永久变形，而且能够描述混凝土由于损伤累积而导致的刚度退化及达到强度后的材料软化力学行为，得到了广泛运用，如文献[14-16]。关于该本构模型的详细描述，可参见文献[15]。

相比于抗拉及抗压强度，混凝土的其它力学参数如弹性模量、泊松比、能力耗散能力及峰值应变率等敏感性较弱[11,15]。鉴于此，本文中仅考虑材料强度的放大行为，用强度的动态增大系数DIF来表示细观组分的应变率效应。考虑到细观组分材料拉伸及压缩强度的动态放大效应，采用CEB规范给出的抗压强度放大效应(CDIF)，即

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

表1 细观组分材料主要力学参数Tab.1 Mechanical parameters of the meso components

注：“*”数据取用文献[17]。

1.3 计算模型的验证

文献[15]对动态拉伸情况下的混凝土破坏力学行为进行了细观数值研究，获得的图2所示的数值结果与试验结果吻合良好，证明了所采用细观力学方法的合理性和准确性。下文在该细观力学方法基础上，对模型中细观组分进行了更加细致的划分，考虑了骨料和砂浆间界面过渡区的影响，界面相具体参数同文献[17]。基于更加细化的细观力学模型，数值研究了骨料空间分布对混凝土动态拉伸强度影响。如上文所述，骨料的空间分布是造成混凝土材料随机非均匀性的最重要因素，初始缺陷、骨料形状等其它因素将另文探讨。

图2 动态拉伸数值结果与试验结果对比Fig.2 Comparison between the available experimental data and numerical results for dynamic tension

1.4 单轴动态拉伸破坏行为

为探讨混凝土动态抗拉强度的随机离散性，本文选取的5组应变率包括准静态荷载：1×10-5s-1，以及地震荷载(应变率约为10-4～10-1s-1)：1×10-4、1×10-3、1×10-2和1×10-1s-1。基于已验证的细观尺度力学分析方法，对64个具有不同骨料空间分布形式的混凝土试件的单轴动态拉伸破坏行为进行了数值研究。由于篇幅所限，这里仅给出其中两组试件在不同加载速率下的破坏模式。

图3(a)和3(b)为随机选择的两组混凝土试件的损伤状况，从图3中可以看出，骨料空间位置不同时，加载速率相同的两试件在拉伸荷载作用下产生的损伤状态分布不同。当应变率较低时(1×10-5s-1和1×10-4s-1)，试件的最终破坏模式大致是一条连接试件两缺口的贯通裂纹。裂纹路径沿着骨料周围相对薄弱的过渡区界面发展，裂纹的长短决定了拉伸破坏耗能的多少。而试件两缺口之间骨料的分布影响了裂纹的长度，进而影响着宏观拉伸强度。因此，两块骨料分布位置不同的试件，虽然内部骨料总数是相同的，但在缺口附近骨料的分布则有较大差异，且这种差异会表现在不同试件的宏观拉伸强度上。随着应变率的增大(1×10-3s-1和1×10-2s-1)，试件拉伸破坏时裂纹的路径发生了变化，裂纹逐渐变宽且数量逐渐增多，试件拉伸破坏所耗费的能量增加。当应变率达到1×10-1s-1时，试件拉伸破坏时两缺口之间及其附近全部变成损伤区，损伤耗能明显增加。本质上来说，正是这种损伤裂纹路径及损伤区域分布的不同导致了混凝土宏观拉伸强度的离散性和随机性。下文将对获得的抗拉强度的离散性进行统计分析。

图3 不同应变率下混凝土拉伸损伤状况Fig.3 Tensile damage distribution of the concrete specimens under different strain rates

2 Weibull分布理论

统计强度理论或统计最弱链理论多年来为传统脆性断裂研究奠定了基础[18]。统计最弱链理论假设材料是由很多小单元组成，当材料中任一单元失效便认为材料破坏，每个“链”应力自零到σ失效的概率可采用分布函数F(σ)来描述

(3)

式中:φ(σ)是与模型失效有关的应力函数。

双参数Weibull分布的分布函数和密度函数为：

(4)

(5)

式中：β(>0)代表尺度参数，起着放大和缩小曲线横坐标尺度的作用，但也不影响曲线的形状；m(>0)代表形状参数，影响着概率密度函数曲线的形状。

服从双参数Weibull分布的随机变量的数学期望和标准差分别为

(6)

(7)

式中:符号Γ代表伽马函数，离散系数为

(8)

3 数据处理与分析

3.1 分布模型初步估计

本文采用绘制数据的频数直方图的手段来粗略估计概率密度函数。为了能够较为准确地反映概率密度函数的形状，应根据经验公式(7)划分本文直方图区间的数目k[18]

k=1+log2N

(9)

由于文中5组应变率下的样本数量均为N=64，因此区间数目均为k=7。将每组数据值由小到大排列，绘制如图4所示的频数直方图。由图4可知，各组数据均大致服从Weibull分布。

3.2 分布参数估计

通过图解法、最大似然估计等方法[18]对Weibull分布参数进行求解，首先以图解法求解得到不同的参数组合，然后用逐步回归法获得最优参数解。将每组应变率的强度值按升序排列，其概率分布满足式F(x)=(n-0.5)/N，其中：x为样本;n为第n个样本数据；N为总样本数据，n≤N。

图4 不同应变率下混凝土试件抗拉强度分布直方图Fig.4 Histograms of tensile strength of the concrete specimens under different strain rates

对于双参数Weibull分布模型，有

(10)

对上式两侧取双对数，得

ln[-ln(1-F(x))]=mlnx-mlnβ

(11)

Weibull参数分析的线性拟合图上，规定lnx为横坐标，记为X；ln[-ln(1-F(x))]为纵坐标，记为Y。从而上式便可以写成直线方程Y=bX+a的形式，其中a=-mlnβ，b=m。直线方程的截距a和斜率b均由最小二乘法解得

(12)

于是有

(13)

基于此，对不同应变率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉强度数值进行线性拟合分析，拟合结果如图5所示。据线性拟合方程及X与Y的相关系数R，求解Weibull分布参数m和β，进而可以获得如均值E(x)、标准差S和离散系数C等不同骨料分布形式下混凝土抗拉强度数值的统计特性参数，详见表2。

3.3 Weibull分布模型K-S检验

频数直方图的形状会随着划分区间数目的变化而产生很大的差异，以直方图的形状来估计数据的分布形式并不完全可靠， 尚需对假设分布进行检验。不同应变率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉强度的分布问题实质上也是一非参数检验问题。K-S检验法的基本思想是检验假设的理论概率分布F(x)与观测样本xi的累积频率Fn(x)之间差异的大小。将观测样本xi按升序排列，样本容量为n，待检验的原假设为H0：Fn(x)=F(x)，相应的备选假设为H1：Fn(x)≠F(x)。其中Fn(x)为样本分布函数，F(x)为理论函数。如果满足式(12)，则原假设成立。

表2 不同样本数据的Weibull参数统计表Tab.2 Weibull parameter statistics of different sample-data

图5 不同应变率下混凝土抗拉强度对应的Weibull参数分析的X与Y线性拟合图Fig.5 Linear fitting of X and Y for Weibull parameteranalysis at the five different strain rates

(14)

式中：Dn是一个分布依赖于n的随机变量；Dn,α代表显著水平为α时的临界值。

表3是各应变率下混凝土抗拉强度的K-S检验情况，由表可知各统计量D的临界值Dn,α均大于计算值Dn。根据表3的检验结果，得出如下结论：在95%保证率(即α=5%)的情况下，可以认为不同应变率下混凝土抗拉强度均服从Weibull分布。

3.4 骨料分布对混凝土强度的影响

图6给出了样本数据的概率密度函数曲线。从图中不难发现，随着应变率的增加，概率密度函数曲线轮廓由低而宽变得高而窄，数据分布逐渐趋于集中，离散性减小，与表2中离散系数反映的情况一致。同时可以注意到，表2中各应变率下混凝土抗拉强度的离散系数均小于WANG等的计算结果(离散系数为0.041)，可能是由于模型中并未考虑初始孔隙的影响造成的。

图7为理论分布曲线和累积概率分布曲线，从图中可以看出，样本数据均落在了理论曲线附近，这也反映了假设分布的合理性。

4 结 论

混凝土强度具有随机性和离散性。本文从细观角度出发，建立了64个具有不同骨料分布形式的混凝土细观力学计算模型，获得了5组不同应变率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉强度，每组含64个强度值。进而对混凝土抗拉强度随机离散性进行统计分析。以Weibull分布为假设分布，采用图解法结合逐步回归优选法进行Weibull分布参数估计，获得了均值、标准差及离散系数等统计参数，探讨了混凝土抗拉强度的分布形式，并根据Kolmogorov-Smirnov非参数检验，对假设分布进行了检验，研究了骨料分布形式的随机性对混凝土抗拉强度分布的影响，得到如下结论：

表3 K-S检验结果表Tab.3 K-S test results

注：1-7表示7个区间。

图6 不同应变率下(10-5 s-1、10-4 s-1、10-3 s-1、10-2 s-1和10-1 s-1)抗拉强度的概率密度函数曲线Fig.6 Probability density function curves of tensile strength at five different strain rates (10-5、10-4、10-3、10-2and 10-1 s-1)

图7 不同应变率下(10-5 s-1、10-4 s-1、10-3 s-1、10-2 s-1和10-1 s-1)抗拉强度的概率分布函数曲线Fig.7 Probability distribution curves of tensile strength at five different strain rates (10-5、10-4、10-3、10-2and 10-1 s-1)

(1)不同骨料分布形式下混凝土抗拉强度服从双参数Weibull分布；

(2)随着应变率的增大(10-5s-1→10-1s-1)，混凝土抗拉强度离散性逐渐减小(离散系数0.033 2→0.012 6)。

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Statistical investigationon the randomness of uniaxial dynamic tensile strengths of concrete

JIN Liu1, 2, HAN Yaqiang1, DU Xiuli1

(1.Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Tensile failure behavior of concrete dominates the behavior of concrete specimens and structural elements. It is strongly affected by loading rate. To study the discreteness and randomness of concrete static/dynamic tensile strength, the influence of aggregate spatial distribution pattern was discussed. Taking account of the strain rate effect of meso-scale components under dynamic loading, a meso-scale mechanical model and method were established, in which the concrete was assumed to be composed of aggregate particles, mortar matrix, and the interfacial transition zones between the former two phases. Furthermore, the uniaxial dynamic tensile mechanical behavior of 64 sets of concrete with different aggregate distribution patterns was studied numerically, and the discreteness of concrete strength was analyzed statistically. The results indicate that: ① the tensile strengths of concrete with different aggregate distribution obey the Weibull distribution; ② with the increase of strain rate, the discreteness of the concrete tensile strength decrease gradually.

concrete; meso-scale mechanical method; dynamic tensile strength; randomness; statistical property

973项目计划(2011CB013600)；国家自然科学基金创新研究群体项目(51421005)

2015-09-13 修改稿收到日期：2015-11-18

金浏 男，博士后, 助理研究员，1985年生

杜修力 男，教授, 博士生导师，1963年生 E-mail: duxiuli@bjut.edu.cn

TU528.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.002