虚数到底有多能？再奇妙也不是万能

河南省郑州一中西校区高三（4）班 刘烨锟

虚数到底有多能？再奇妙也不是万能

河南省郑州一中西校区高三（4）班 刘烨锟

本文通过从虚数和复数的概念入手，尝试寻找一个数“与 0相乘等于1”，但是通过对概念进行分析和数据进行运算不难发现，有时候为了实现一些不可能的运算而进行的假设，确实是违背数学常理的。

虚数；复数；0；1

数学是一门神奇的科学，小时候我们经常会想：为什么0乘以任何数都等于0呢？随着年龄的增长，高中所学的数学知识和内容越来越多，在讲到虚数和复数时，更加感受到数学的奥妙之处！在虚数的世界中似乎无所不能，虚数真的有这么强大吗？本文通过从虚数和复数的概念入手，尝试寻找一个数“与 0相乘等于1”，但是通过对概念进行分析和数据进行运算不难发现，有时候为了实现一些不可能的运算而进行的假设，确实是违背数学常理的。

一、虚数

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。

人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x²+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。

直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。

继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。

二、复数

要进行虚数的运算，首先要知道复数的定义。既然i表示旋转量，我们就可以用i，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如(1 ,i)，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 (1,i) 表示成1 +i。这种表示方法就叫作复数（complex number），其中 1 称为实数部，i称为虚数部。

三、与 0 相乘等于1，是奇迹？要实现还是违背了常理

这个思路缘于一次数学课上，老师在讲虚数的时候，老师给我们出了一个问题：列个式子算算最后算的结果是对-1开平方。大家都无从下手的时候，老师说：“咱们定义一个i，它的平方等于-1，看，这个式子就有结果了，答案是i。”全班同学都恍然大悟！

此时我想：为什么不能定义一个数，和0相乘等于1呢？这样其他数除以0就有结果了。老师说：0不能做除数！但是我想：负数也不能开平方啊。老师这个时候强调到：虚数i。听完老师的话，我又通过一系列的学习，认识到：虚数是有实用性的，所以才有了i，那么会不会存在这个l，与 0 的乘积等于1呢?

将自己的思路梳理清楚之后，我总结出来要解答这个问题需要先解决两个问题：

1.把－1的平方根加进实数是否可行？

2.可不可以把1/0加进实数？

首先我们要明确复数域严格定义，即：复数域，由复数和数域两个词合成。复数是指形如“a+bi”一类的数，其中a，b都是实数，i=根号(-1)，称虚数单位。数域是数的一种集合。满足以下条件∶

①如果a，b是集合中的任意两个数，那么a+b和a-b也在这个集合中；

②如果a，b是集合中的任意两个数，那么a＊b和a/b(b≠0)也在这个集合中。

由此可见，复数相比实数并不单纯是加了个i这么简单，还需说明加了这个i之后和原有的代数系统是相容的。因此我们可以得出结论：把－1的平方根加进实数是一个可行的操作，且不能把1/0加进实数，因为这样做会破坏实数的代数结构。0最基本的意义是加法单位元，1最基本的意义是乘法单位元，所以我们讨论的结构一定是一个集合S配上一个加法和一个乘法，首先要要求加法和乘法之间满足分配率，如果要实现一个数和0相乘为1，就会破坏实数的性质，它会强迫0=1，这样做会导致所有的元素都等于0，这样得到的数集就只含有一个元素，实数的运算规则也就被破坏了。

在一些最基本的假设（乘法加法和它们之间的相容性），加法有逆元（无论左逆还是右逆），更进一步，假如加法单位元的乘法左逆有加法右逆（或 乘法右逆有加法左逆），则这个奇奇怪怪的代数结构只能是单点集合和平凡的加法乘法，奇妙的运算是奇迹还是违背常理，深入剖析基础概念进行运算就能见分晓。

[1]M.克莱因.数学：确定性的丧失[M].李宏魁，译.长沙：湖南科学技术出版社，1997.

[2]M.克莱因.古今数学思想（第4册）[M].北京大学数学系数学史翻译组，译.上海：上海科技出版社，1981.