极限思想在函数题型中的应用

路畅通

【摘要】极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度，缩短解题时间，并且为今后更深层次的探究奠定坚实基础。

【关键词】极限思想  函数  导数  函数值域  最值

【中图分类号】G633.6                            【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0011-02

在高中学习中，我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2（理科）中，用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如果接触足够多的函数与导数有关题目时，会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义，而是更为广泛，如求函数值域、最值等。在解题过程中用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度.因此我认为，有必要对极限有更进一步的认识。

一、 求简单函数极限的方法

极限的严格定义我们会在大学学习，在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。

（1）简单的极限题目如下：

此类题只需将值代入计算即可。

（2）还有一些极限略显复杂，如：

，由于0不能做分母，而x=1时，x3-x=0.但 x2-2x+1与x3-x有公因式x-1，故先因式分解再约分最后代入计算：

但如果分子与分母没有公因式呢？我们将会在第三部分一起探究。

二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限

设，存在，且令则有以下运算法则，

加减：

数乘：

乘除：

冥运算

有了运算法则，我们可以进行一些复杂函数的极限运算，如：

对于分子分母都是多项式的函数，求x→∞的极限，我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂：

由此，我们还可以得出结论：同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。除此之外，还有许多不同类型的求极限题目，有不同的解题思路，如出现了根号，且出现了无穷减无穷，则可以考虑分子有理化等。

三、巧用洛必达法则，化繁为简

洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法，巧用洛必达法则求函数极限，可以使问题简化。

洛必达法则：设函数满足：

以下是洛必达法则在高考中的应用：

（2010年全国新课标理）设函数

综合得a的取值范围为

原解在处理第（2）问时较难想到，利用洛必达法则可简便处理：

由洛必达法则知

故

综上，可知a的取值范围为.

对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。

综上所述，极限思想在我们高中数学解题中，可以起到意想不到的作用.如果我们予以重视，既可以为我们的做题提供可能更为简单的思路，也可以为我们在大学的学习打下基础。故我们要重视极限思想，并合理的利用它，使我们做题简便，在高考中节省宝贵的时间，为今后的深层次探究奠定基础。