Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛傅里叶拟谱格式

张宇, 邓子辰, 胡伟鹏, 杨小锋

(1.西北工业大学 力学与土木建筑学院, 陕西 西安 710072; 2.西北农林科技大学 理学院, 陕西 杨凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛傅里叶拟谱格式

张宇1, 邓子辰1, 胡伟鹏1, 杨小锋2

(1.西北工业大学 力学与土木建筑学院, 陕西 西安 710072; 2.西北农林科技大学 理学院, 陕西 杨凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程是一个重要的非线性波动方程,应用多辛保结构理论研究了其多辛算法。首先,利用哈密顿变分原理构造了Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛格式;随后,通过空间方向上的傅里叶拟谱离散和时间方向上的辛欧拉离散得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一种显式多辛离散格式;数值实验模拟了非周期边界的扭状孤立波,结果展示了多辛离散格式的精确性和保持局部守恒量的特性。

Landau-Ginzburg-Higgs方程;多辛积分;傅里叶拟谱方法;孤立波;局部守恒律

随着科学技术和计算机水平的不断发展,数值分析在科学与工程界发挥着越来越重要的作用。在具体的应用过程中,随着处理动力学问题难度的不断加大,需要更好的数值方法作为基础。科研人员对数值算法的发展要求是不仅与精确解误差要尽可能小,更重要的是要保持长时间数值稳定性以及能够体现动力学系统内在几何性质。冯康等[1]在“数值算法应尽可能保持原问题的本质特征”的原则下,基于辛几何原理，提出和发展了一套哈密顿系统辛算法,取得了一系列显著的成果。然而在处理偏微分发展方程时,却没有好的方法保证空间离散后的方程组仍保持哈密顿特性。针对辛算法处理偏微分方程时的缺陷,依照保结构思想,Marsden[2]和Bridges[3-4]分别提出了无穷维保守哈密顿系统的多辛结构和多辛算法的理论。作为辛算法的直接推广,近年来,由于在理论和大量的数值实验中展现出了诸如精度高、稳定性好以及保结构等数值特性,多辛算法受到了学术界的广泛关注:Moore等[5]提出和发展了多辛积分的后向误差分析理论;王雨顺等[6-8]在各种离散格式的构造,如高阶算法、保能量、保动量算法等方面做了大量工作;洪佳林等[9]研究了随机非线性发展方程的多辛算法;胡伟鹏等[10]将多辛算法引入到应用力学领域的非保守系统,提出和发展了广义多辛算法。

非线性孤子理论在物理学、力学及自然科学的很多领域得到了大量的应用。Landau-Ginzburg-Higgs方程是一个典型的非线性发展方程[11],胡伟鹏等[12]研究了其隐式多辛Runge-Kutta离散格式的数值行为,给出了算法高精度、长时间稳定和保结构等数值特性,并依照广义多辛理论的思路[13],研究了微扰效应对孤立波传播过程中振幅和波速的影响。众所周知,隐式格式在每一时间步都要迭代求解复杂的非线性方程(组),计算效率将受到影响。本文将构造一种Landau-Ginzburg-Higgs方程的显式多辛傅里叶拟谱格式,并对这种格式的数值特性进行了研究。

1 Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛形式

依照Bridges构造多辛形式的思想[4],其基本思路是通过引入适当的正则变量,将高阶偏微分方程(组)系统降阶为一阶偏微分方程组对称形式,并通

过哈密顿函数来得到标准的多辛方程组。

Landau-Ginzburg-Higgs方程的形式如下

utt-γ2uxx+αu-βu3=0

(1)

式中，α, β, γ∈R为系数。

通过引入正则动量v=∂tu, w=∂xu可得到Landau-Ginzburg-Higgs方程(1)的一阶多辛偏微分方程组

vt-γ2wx=βu3-αu

-ut=-v

γ2ux=γ2w

(2)

如定义反对称系数矩阵M和K如下

则(2)式可以写为标准的多辛形式

M∂tz+K∂xz=zS(z)

(3)

之所以称一阶偏微分方程组(3)为多辛形式,因为其满足多辛守恒律。依据多辛积分理论[4],其多辛守恒律具体形式可以表示为

∂t(du∧dv)+∂x(γ2dw∧du)=0

(4)

式中，∧为外积算子。

由于系数矩阵M和K的反对称性,通过(3)式两边分别对∂tz和∂xz做内积,还可以得到另外2种重要的守恒量:局部能量和局部动量守恒律。依照多辛积分理论[4],局部能量守恒律的具体形式为

(5)

局部动量守恒律的具体形式为

(6)

局部保结构算法的核心思想是把整个时间层上所保的结构推广到局部,使得算法能在局部领域和每个点上保持守恒性质,从而克服不同边界条件的限制。这正是多辛算法在处理偏微分方程时的优势所在,可以应用到更广泛的领域。在算例分析中将分析(5)式和(6)式的守恒性质。

2 多辛形式的傅里叶拟谱离散格式

对多辛偏微分方程组(3)在空间方向进行傅里叶拟谱离散、在时间方向进行辛欧拉离散[14],可得到一种多辛离散方法,即傅里叶拟谱离散格式。

(7)

式中，μ=2π/(b-a)。

考虑对多辛形(3)式空间方向进行傅里叶拟谱离散,可得

vt-γ2Dw=βu3-αu

-ut=-v

γ2Du=γ2w

(8)

如将(8)式写成紧凑形式,则有

(9)

对半离散格(9)式的变分方程两边取dzn的外积,由矩阵Szz(zn)的对称性,可得到傅里叶拟谱离散格(9)式满足N个半离散多辛守恒律

(10)

式中

zn=[un,vn,wn]T

(9)式是空间方向采用傅里叶拟谱方法的半离散形式,如要得到全离散格式则需将时间方向进一步离散。本文采用辛欧拉格式在时间方向对(9)式进行离散,可得到

(11)

式中矩阵M+和M-满足关系

(n=0,1,…,N-1)

(12)

式中

(n=0,1,…,N-1)

(13)

由于格式(13)满足离散多辛守恒律(12)式,则可称其为多辛离散格式。在下一节中将考察离散格式(13)的数值特性。

3 数值算例

为了研究离散格式(13)的数值行为,本节将给出一些算例结果。不同于隐式格式,(13)式为显式格式,这避免了复杂的迭代过程,计算效率将得到提高。

考虑Landau-Ginzburg-Higgs方程(2)非周期边界的扭状孤波解如下

(14)

式中，c表示孤波波速。(13)式是一个3层的离散格式,在计算过程中应给出前2层初值条件如下

(15)

图1给出了传播过程中不同时刻(t=5,t=10, t=15, t=20)的波形图,其中实线为精确解的值,“·”号为数值解的值。由图1可以看出,在孤波传播的各个时刻,数值解和精确解都吻合良好,没有随着时间增长出现明显偏差。这说明离散格式(13)很好地模拟了孤波演化过程,保持了孤波的基本几何性质。值得一提的是,本文中格式(13)在模拟非周期边界孤波演化过程中给出了较好的结果。

图1 不同时刻数值解和精确解的波形图(其中实线为精确解,“·”为数值解)

为了研究数值精度,记录了孤波传播过程中不同时刻的数值误差,在t=jΔt时刻的最大数值误差可以表达如下

(16)

(17)

图2 不同时刻数值解的最大误差 图3 不同时刻数值解局部能量和局部动量最大误差

4 结 论

多辛方法是一种局部保结构算法,强调保持离散动力系统的局部特性,其提出和发展拓宽了保结构算法的适用性。本文基于多辛理论,得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一种显式多辛拟谱离散格式,给出了其多辛守恒律、局部能量守恒律和局部动量守恒律的表达形式。数值模拟显示了该离散格式的优越性:在数值计算中很好地保持了动力系统基本几何性质;随着孤波演化的过程中没有出现明显误差累计过程;系统局部特性(局部能量和局部动量守恒律)保持良好。数值结果体现了高效、稳定的数值行为,这也正是多辛算法的优势所在。

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Multi-symplectic Fourier Pseudospectral Method for the Landau-Ginzburg-Higgs Equation

Zhang Yu1, Deng Zichen1, Hu Weipeng1, Yang Xiaofeng2

1.School of Mechanics, Civil Engineering and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2.College of Science, Northwest A & F University, Yangling 712100, China

In this paper, the multi-symplectic method is used to study an important nonlinear wave equation, named Landau-Ginzburg-Higgs equation. Firstly, the multi-symplectic form of the Landau-Ginzburg-Higgs equation is deduced using the Hamiltonian variational principle. Then, the explicit multi-symplectic discrete scheme is derived by applying the Fourier pseudospectral method to space derivatives and the symplectic Euler method to time derivatives in the multi-symplectic form. The soliton solution with non-periodic boundary is simulated by the proposed scheme. The numerical results show that: the proposed scheme can simulate the soliton solution well and can preserve the local conservation quantities.

Landau-Ginzburg-Higgs equation; multi-symplectic integrator; Fourier pseudospectral method; solitary wave; local conservation laws

2016-03-20

国家自然科学基金(11372252)资助

张宇(1988—),西北工业大学博士研究生,主要从事多辛方法在动力学中的应用研究。

O241.82

A

1000-2758(2016)06-1011-05