梯度温度场中多胞材料牺牲层的抗冲击分析

李志斌， 卢芳云

(国防科技大学 理学院, 湖南 长沙 410073)

梯度温度场中多胞材料牺牲层的抗冲击分析

李志斌， 卢芳云

(国防科技大学 理学院, 湖南 长沙 410073)

针对多胞材料作为牺牲覆盖层防护结构来保护主体结构经受爆炸/冲击载荷的典型应用，分析了梯度温度场中多胞牺牲层的抗冲击行为。基于多胞材料的刚性- 理想塑性- 锁定模型，建立了梯度温度场中多胞牺牲层的一维冲击波模型，揭示了冲击波在多胞牺牲层中的传播特性，并获得了多胞牺牲层临界厚度和临界冲击速度随梯度温度场分布的依赖关系。通过有限元方法采用基于实验数据的多胞材料刚性- 幂指数硬化模型验证了理论模型的有效性。推导了梯度温度场多胞牺牲层的临界厚度、临界冲击速度以及端面载荷历史等与温度场分布的关系，给出了给定长度的多胞牺牲层临界冲击速度与牺牲层端面温差的关系。结果表明，对于已设计完成的闭孔多胞材料牺牲覆盖层结构，当支撑端温度不变、冲击端温度升高时，结构容许的临界冲击速度是线性降低的。

固体力学； 多胞材料牺牲层； 梯度温度场； 耐撞性； 冲击波传播； 优化设计

0 引言

多胞材料可以在几乎恒定的应力水平下通过较长的塑性变形行程耗散大量的爆炸/冲击能量，具有轻质和优越的能量吸收特性。多胞材料复合结构在航空航天飞行器、高速列车、汽车、舰船以及人体防护和军事防护工程中的缓冲装置、减震设施以及保险杠等安全装置中都有广泛的应用[1]。多胞牺牲层是以多胞材料为芯层的“三明治”结构，常常安装在被保护结构的外表面。当发生爆炸或强冲击时，牺牲层可吸收大量能量，并确保被保护结构维持在一个许可应力之下，从而保护重要的结构不受损坏[2-3]。

在高强度的动载荷作用下，多胞材料往往以逐层压溃的方式发生变形。Hanssen等[4]提出通过研究多胞材料中冲击(压缩)波的传播来预测多胞牺牲层的变形和能量吸收的方法，并已被应用到研究多胞材料芯层夹芯结构中[5-6]。为了解释多胞材料中出现的冲击波传播现象与其动态冲击行为的关系，研究人员针对多胞材料中的冲击波传播提出了多种不同的分析方法和理论模型。Reid等[7]提出了一个简单的一维冲击波模型，率先解释了多胞材料中的冲击增强行为，提出了率无关的刚性- 理想塑性- 锁定(R-P-P-L)模型来描述木材的动态响应。模型中主要包含两个关键参数：平台应力σp和锁定应变εl，其中后者被假定与压实应变εd相等。其中，压实应变εd定义为能量吸收效率最大值处的工程应变，平台应力σp定义为屈服应变εy至压实应变εd内的平均应力[8]。需要说明的是，利用冲击波模型来描绘多胞材料压溃的正确性取决于加载速率和材料性能。Tan等[9]定义了形成稳态冲击波的临界冲击速率。Zheng等[10]针对不同的冲击加载速提出了两种不同的模型：冲击模型和过渡模型. 而实际应用中的能量吸收装置一般用来衰减具有很大初始速度的撞击，最终吸收全部的初始冲击动能[11]。在这种情况下，施加在多胞牺牲层上的冲击速度是随着时间衰减的，在整个冲击过程中不再满足恒速条件。

Li等[12]研究了多胞材料用作防护结构安全时的冲击增强现象。即使在不考虑应变率效应的情况下，当多胞材料防护层不够厚时材料中的应力会随着冲击波阵面的传播而急剧增大，从而导致传递到主体结构的压强也增大。因此，多胞材料的抗冲击防护作用受到了质疑。Cooper等[13]认为，多胞牺牲层并没有起到消减应力的作用，反而使传递的应力增强，并通过实验进行了说明。张健等[14]也说明了冲击增强现象的存在。而Harrigan等[15]并不赞同此观点，他们认为冲击波在多胞材料中传播时不可能产生应力增强，产生应力增强的唯一原因是多胞材料完全压实时冲击波在端面的反射。目前普遍的观点认为，只要多胞材料芯层足够厚，牺牲层就可以起到抗冲击防护作用而不会在受保护端产生应力增强。因此，合理的设计对于牺牲层能否发挥防护作用至关重要。

多胞材料在高温等极端环境中具有广阔的应用前景，其复合结构也可望作为近空间飞行器中的重要结构部件。然而，多胞材料及其夹芯结构作为牺牲覆盖层，在近空间复杂服役环境中有可能同时经受机械荷载和热负荷的作用，同时由于结构内外温差的存在，在多胞材料内部会产生温度梯度。不同温度下，多胞材料及其复合结构的力学性能也不相同[8, 16-18]，因此温度梯度会对多胞材料的冲击行为产生较大影响。事实上，温度梯度对材料性能的影响在已有研究工作中已经得到充分体现：Hayashi[19]通过实验发现，某薄壁圆筒碳钢处于梯度温度场中的疲劳寿命比在高温恒温场中的疲劳寿命要短；Shah等[20]和Kim等[21]通过研究也发现温度梯度会强烈影响到裂纹的扩展速率。因此，需要特别考虑材料或结构内部的温度梯度影响。

本文基于多胞材料在不同温度下的力学性能，设计了具有温度梯度的多胞材料，建立了具有梯度温度场的多胞材料中冲击波传播理论模型，并利用数值实验对理论模型进行了验证。

1 均匀温度和梯度温度场中多胞材料牺牲层的临界厚度比较

考虑多胞牺牲层的实际应用，探讨一种冲击工况：刚性质量块冲击静止的多胞牺牲层[10，22]，如图1所示。图1中，u为t时刻(取质量块接触牺牲层的瞬间为t=0)刚性质量块的位移，L为多胞牺牲层初始厚度，x为撞击方向的拉格朗日坐标，m为刚性质量块的面密度(刚性质量块质量为M，多胞牺牲层横截面积为A0，m=M/A0)，v0为刚性质量块的初始速度。

Harrigan等[15]对分析多胞材料中冲击(压缩)波传播的几种不同方法进行了讨论，并给出了缓冲刚性质量块至静止的均匀多胞牺牲层的临界厚度Lc，

(1)

式中：ρ0为多胞材料的初始密度。实际上，当均匀多胞牺牲层受到刚性质量块高速冲击时，波阵面的速度v和位置Φ随时间的变化[23]可以通过(2)式和(3)式直接得到：

(2)

(3)

式中：t为时间。

为说明上述理论预测的正确性，下面采用显式有限元软件ABAQUS/explicit进行数值模拟并进行比较分析。有限元模型与理论模型一样，多胞牺牲层一端受刚性质量块冲击，另一端固支在刚性面上，如图1所示，其中m=0.05 g/mm2. 由于多胞牺牲层的对称性，有限元模型采用轴对称模型，多胞牺牲层总厚度L=200 mm，横截面半径R=60 mm，ρ0=0.323 g/cm3. 采用均匀网格划分，为保证计算精度，单元尺寸取1 mm. 压头和支撑面采用刚性单元(RAX2)模拟，多胞牺牲层采用4节点连续体单元(CAX4R)模拟。

由于通过R-P-P-L模型得到的冲击波应力间断和冲击波波阵面速度对材料参数(如锁定应变εl)太敏感，而且模型中的参数又难以合理选取，多胞材料模型基于不同温度下典型多胞金属材料——闭孔泡沫铝的材料性能实验结果[8,16]，采用刚性- 幂指数函数硬化(R-PLH)模型[24-25]. 事实上，R-PLH模型更接近真实的多胞材料应力与应变关系。计算中，采用较大的弹性模量E=20 GPa来近似刚性，弹性泊松比ν=0.1.

R-PLH模型包含屈服应力σy、强度指数η和强度硬化指数λ3个主要参数，其应力与应变关系为

σ=σy+ηελ.

(4)

利用(4)式对实验得到的闭孔泡沫铝材料在不同温度下的准静态应力与应变关系进行拟合，可得到σy、η和λ随温度的变化规律。结果发现，在温度范围-100～500 ℃内，R-PLH模型中的3个参数随温度的升高近似呈线性变化，采用线性函数拟合可得

(5)

式中：T为温度(℃)；Tm为泡沫铝基体材料熔化温度，本文中Tm=660 ℃.

为验证理论预测的可靠性和实用性，数值模拟中分别选取均匀温度场T=25 ℃和T=500 ℃的多胞牺牲层进行撞击。两种温度下多胞材料的平台应力分别为σp1=3.25 MPa和σp2=0.82 MPa. 根据(1)式，当临界厚度Lc=200 mm时多胞牺牲层的临界冲击速度分别为vc1=150.57 m/s和vc2=75.82 m/s. 两种均匀温度场多胞牺牲层中冲击波波阵面的拉格朗日位置的理论预测解和数值解比较以及多胞牺牲层中的压缩应变分布分别如图2和图3所示，图中理论预测结果由(3)式给出，冲击时间分别为te1=2.345 ms和te2=5.065 ms. 刚性质量块的冲击速度随时间变化的理论预测(见(2)式)和数值计算结果也分别在图2(b)和图3(b)中给出。由图2(b)和图3(b)可见，数值计算中，冲击波波阵面的位置定义为对应于|∂ε/∂x|max处的拉格朗日坐标值[26]。

从图3中可以看出，在以理论预测得到的临界速度vc冲击过程中，当冲击速度降为0时冲击波波阵面几乎刚好到达临界厚度Lc的位置，多胞牺牲层刚好被完全压实。采用R-P-P-L模型得到的理论预测结果与采用实验得到的真实模型的数值计算结果吻合较好，从而证明了理论预测的可靠性。由于真实模型中应变硬化影响，数值计算得到的冲击波波阵面比理论预测结果稍微偏小。同时冲击过程后期由于冲击速度降低，多胞材料变形进入过渡模式，变形不再集中于很窄的变形带中，因而图3中多胞牺牲层支撑端应变变小且变形区域变宽。

但是，当多胞牺牲层中存在温度梯度时，对比分析厚度为Lc=200 mm的多胞牺牲层中存在不同的梯度温度场分布的情况：支撑端温度T0为25 ℃，冲击端温度T为25～500 ℃，温度场沿多胞牺牲层厚度方向呈线性梯度分布。假定冲击速度仍然保持为均匀温度场(T=T0=25 ℃)的临界速度vc=150.57 m/s，得到的多胞牺牲层支撑端载荷如图4所示。

在强动载荷作用下，牺牲层的多胞芯层通过大变形来吸收大量能量，同时衰减冲击压力，使得透过的应力限制在多胞材料平台应力之下，从而达到保护主体结构的目的。但是，只有当冲击载荷低于某一临界值时，多胞材料才能起到衰减冲击载荷的作用。当冲击能量高于多胞牺牲层的吸能能力时，多胞芯层会被完全压实，反而导致支撑端的应力增强。从图4中支撑端的载荷历史曲线可以看出，在以温度均匀分布工况得到的临界速度撞击时，温度梯度分布的多胞牺牲层已经被完全压实，导致支撑端透过的应力显著增强。这种支撑端的应力增强效应不但使多胞牺牲层失去了抗冲击防护作用，而且会加剧人员受伤或结构破坏。因此，合理的设计对于牺牲层能否发挥防护作用至关重要。下文将对梯度温度场中多胞牺牲层的临界厚度进行分析。

2 梯度温度场多胞材料牺牲层中冲击波的传播

2.1 理论模型

考虑刚性质量块冲击静止多胞牺牲层的问题。假设一个质量为M、面密度为m的刚性质量块沿x轴方向以初始速度v0撞击厚度L、一端固定在刚性面上的多胞牺牲层。其中，多胞牺牲层横截面积为A0(m=M/A0)，多胞材料初始密度为ρ0，采用R-P-P-L模型描述。

(6)

式中：σq为多胞材料在准静态加载时的平台应力；σ0为多胞材料在温度T0时的平台应力；k为多胞材料平台应力随温度变化的因子。

多胞牺牲层中物理量的分布以冲击波波阵面为分界线，分为两种状态：波阵面前方是塑性波尚未到达的区域，波阵面后方是压实状态。采用刚性卸载假设，将多胞牺牲层中的卸载部分(波阵面后方)当作一个刚体，并考虑刚体的惯性作用，则波阵面后方(拉格朗日坐标x=Φ(t)-0)的特征量分别为

vb=v,εb=εl,σb=σd,
ρb=ρ0/(1-εb)=ρ0/(1-εl)，

(7)

波阵面前方(拉格朗日坐标x=Φ(t)+0)的特征量分别为

vf=vy,εf=εy，
σf=σq=σp，ρf=ρ0/(1-εy)≈ρ0，

(8)

式中：v、ε、σ和ρ分别表示质点速度、应变、应力和密度(此处应力、应变是指工程应力和工程应变，取压缩为正)；下标b和f表示波阵面后方和波阵面前方；vy和εy分别为多胞材料屈服速度和屈服应变；σd为多胞材料在冲击加载时的平台应力。通过分析冲击波波阵面的应力间断可得到波阵面后方的应力[7, 9, 25, 27]为

(9)

根据应力波理论，在波阵面上有运动学相容条件：

(10)

由此可以得到多胞牺牲层中卸载区部分的加速度

(11)

另外，根据惯性定律(刚体质量块与多胞牺牲层在冲击过程中不分离)，同样可得到多胞牺牲层中卸载区部分的加速度

(12)

因此，得到

(13)

将(6)式和(9)式代入(13)式，则(13)式可改写成如下形式：

(14)

即为基于R-P-P-L模型的梯度温度场中多胞牺牲层响应的控制方程。为求解(14)式，反过来假定Φ是自变量，而时间t是Φ的函数，则(14)式可通过数值方法求解。其解的形式如下：

(15)

式中：x为拉格朗日坐标；参数b、c和d分别定义为

(16)

(17)

对于均匀温度场的多胞牺牲层，即T0-T=0的情况，有

(18)

2.2 临界厚度

在多胞材料作为牺牲覆盖层的实际应用中，设计人员最关心的是覆盖层厚度，因为它直接制约防护结构的成本和主体结构的安全。在本文研究的冲击工况(刚性质量块冲击静止多胞牺牲层)下，除非刚性质量块停止运动或者压缩波波阵面到达固支端，否则冲击波会一直在牺牲层中传播。多胞牺牲层最理想的厚度(临界厚度Lc)就是当多胞材料被完全压实的同时刚性质量块也停止运动，此时多胞材料得到了最有效的利用。此时的临界冲击速度vc可通过在波阵面运动学相容条件中引入条件x=L处的初始速度v0=vc以及最终速度v=0得到，即

(19)

求解(19)式可得临界厚度

(20)

式中：α和β为无量纲参数，分别定义为

(21)

文献[10]中将α称为冲击增强因子。对于均匀温度场的多胞牺牲层，即T0-T=0的情况，(20)式与文献[15]中得到的关于临界厚度结论是一致的，即为(1)式。

2.3 载荷历史

多胞材料作为牺牲覆盖层，通过自身的大塑性变形和破坏过程耗散大量冲击动能、减缓冲击效应、降低冲击载荷幅值，使之保持在主体结构所能承受的水平，从而达到保护主体结构的目的。因此，冲击过程中的载荷历史也是需要关注的一个重要参数。

根据惯性定律，多胞牺牲层冲击端的载荷可通过(22)式求得：

(22)

对于均匀温度场(T0-T=0)的多胞牺牲层，

(23)

多胞牺牲层支撑端的载荷是随着冲击波波阵面的传播而变化的。根据多胞牺牲层的受力平衡，多胞牺牲层支撑端的载荷等于波阵面前方的多胞材料所受到的载荷，可通过(24)式得到：

(24)

对于均匀温度场(T0-T=0)的多胞牺牲层，

Fs=σfA0=σ0A0.

(25)

3 结果与讨论

本文中，所有结果都是基于闭孔泡沫铝材料平台应力随温度变化关系的实验结果[16]，且(6)式中参数k=-3.38/Tm(MPa/℃).

3.1 理论模型的数值实验验证

基于前述数值模型，分别选取冲击端温度T1=225 ℃或T2=525 ℃，支撑端温度T0=25 ℃，且温度场沿厚度方向线性梯度分布的多胞牺牲层，研究受刚性质量块冲击时塑性冲击波波阵面沿牺牲层的传播情况。

由支撑端温度T0=25 ℃，则有σ0=3.25 MPa，因此当T1=225 ℃时，临界厚度Lc=200 mm的多胞牺牲层临界冲击速度vc=140.31 m/s. 梯度温度场中多胞牺牲层冲击波波阵面的拉格朗日位置和冲击速度随时间的变化以及多胞牺牲层中的压缩应变分布如图5所示，冲击时间te=2.426 ms. 同时考虑了更高温度梯度多胞牺牲层的冲击行为，当T2=525 ℃时，临界厚度Lc=200 mm的多胞牺牲层临界冲击速度为vc=122.48 m/s. 梯度温度场中多胞牺牲层冲击波波阵面的拉格朗日位置和冲击速度随时间的变化以及多胞牺牲层中的压缩应变分布如图6所示，冲击时间te=2.646 ms.

从图5和图6可以看到，根据理论模型推导的临界速度vc冲击梯度温度场的多胞牺牲层，当冲击速度降为0时冲击波波阵面位置与临界厚度Lc较好地吻合，说明在刚性质量块以临界速度vc撞击临界厚度Lc的梯度温度场多胞牺牲层时，多胞材料得到充分利用。图5(a)和图6(a)中的局部应变场分布也说明了这一点。因此，2.1节中梯度温度场多胞牺牲层的冲击理论模型可以有效地预测多胞牺牲层的临界厚度，为多胞牺牲层的设计提供参考。从图5(b)和图6(b)中也可以看到，冲击结束时波阵面位置距离多胞牺牲层支撑端还有一段很小的距离，即理论模型中通过临界厚度确定的临界速度稍微偏小，理论模型需进一步改进和完善，但是理论模型中确定的临界速度偏小反过来也为结构设计提供了安全余量。

3.2 支撑端载荷历史

从缓冲吸能和结构防护安全的角度，多胞材料作为牺牲防护层时更受关注的是受保护对象的受力状态，即多胞牺牲层支撑端的载荷不能超过受保护对象的容许载荷值。图7给出了均匀温度场(T=T0=25 ℃和T=T0=500 ℃)以及线性梯度温度场(T=225 ℃,T0=25 ℃和T=525 ℃,T0=25 ℃)的多胞牺牲层受刚性质量块冲击时支撑端载荷的数值计算结果以及理论预测结果的比较。从图7中可以看出，理论预测值和数值计算结果吻合较好，说明通过R-P-P-L模型得到的理论结果可以准确地预测多胞材料受冲击时支撑端的载荷，为抗冲击结构设计提供参考。

3.3 临界冲击速度

多胞材料用作抗冲击夹芯结构的芯层，当撞击速度低于临界冲击速度时，多胞材料的作用应力不会超过其平台应力，同时高孔隙率的多胞材料可使冲击载荷大幅降低，具有优良的缓冲吸能作用；当撞击速度超过相应条件下的临界速度时，压缩密实化后的多胞材料透过的应力迅速增强，从而对受保护的人员或结构安全构成威胁。对于厚度Lc，温度场为线性梯度分布的多胞牺牲层结构，根据(20)式可得其临界冲击速度vc与两端面温度差ΔT=T-T0的关系：

(26)

给定多胞牺牲层厚度Lc的情况下，假定多胞牺牲层支撑端的温度T0=25 ℃，质量块面密度m=0.05 g/mm2. 对于本文采用的典型多胞金属材料——闭孔泡沫铝：ρ0=0.323 g/cm3，εl=0.533，σ0=3.25 MPa，k=-3.38/Tm，Tm=660 ℃，材料刚好完全压实时的临界冲击速度vc随多胞牺牲层冲击端和支撑端的温度差ΔT变化关系如图8所示。不同厚度的多胞牺牲层的临界冲击速度随温差的增大，即冲击端温度的升高均呈线性下降，即对于已设计完成的闭孔多胞材料牺牲覆盖层结构，支撑端(受保护的主体结构)温度不变的情况下，当环境温度(冲击端温度)升高时，结构容许的临界冲击速度是线性降低的。

4 结论

本文基于多胞材料在牺牲覆盖层中的工程应用，考虑了温度梯度对多胞牺牲层结构设计的影响，发现多胞牺牲层对温度梯度存在很强的敏感性。引入率无关的R-P-P-L模型建立了基于一维冲击波模型的温度梯度场中多胞牺牲层冲击波传播理论模型，分析了多胞牺牲层的抗冲击能力，揭示了冲击波在温度梯度场多胞牺牲层中的传播特性，通过有限元方法采用基于实验数据的多胞材料R-PLH模型对理论模型进行了验证。数值计算结果与理论模型预测结果吻合较好，说明了理论模型的有效性。同时推导了梯度温度场多胞牺牲层的临界厚度、临界冲击速度以及端面载荷历史等与温度场分布的关系，给出了给定长度的多胞牺牲层临界冲击速度与牺牲层端面温差的关系，为多胞材料在牺牲覆盖层等缓冲吸能结构中的应用设计提供了理论参考。

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Anti-impactAnalysisofSacrificialCladdingsofCellularMaterialwithTemperatureGradient

LI Zhi-bin， LU Fang-yun

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, Hunan, China)

Considering the applications of cellular materials as the sacrificial claddings in protecting the major structure from impact/blast load, a design method of cellular foam claddings with temperature gradient under high initial velocity impacts is presented. An one-dimensional model for the compaction of cellular foam claddings with temperature gradient is developed for the striker-rod impact scenario based on the rigid-perfectly plastic-locking (R-P-P-L) model. The predictions of the proposed model are compared to FE simulations by using the realistic R-PLH material model based on the actual experimentally derived stress-strain curves. The predictions of the dependence of critical length, critical impact velocity and impact force of the cellular foam rod with temperature gradient on the temperature distribution and the relation between critical impact velocity of an aluminum foam rod with a given length and the temperature contrast at its two ends are compared well with the numerical simulations results.

solid mechanics; cellular material sacrificial cladding; temperature gradient; crashworthiness; shock wave propagation; optimization design

O347.3

A

1000-1093(2017)12-2463-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.12.021

2017-01-25

国家自然科学基金项目(11402299)

李志斌(1985—)， 男， 讲师， 博士。 E-mail： lizhibin@nudt.edu.cn