基于改进布谷鸟搜索算法的结构耐久性优化方法

刘勤， 孙志礼， 刘英， 郭志明， 陈岩

(1.中国兵器科学研究院， 北京 100089； 2.东北大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 沈阳 110819)

基于改进布谷鸟搜索算法的结构耐久性优化方法

刘勤1,2， 孙志礼2， 刘英1， 郭志明1， 陈岩1

(1.中国兵器科学研究院， 北京 100089； 2.东北大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 沈阳 110819)

将布谷鸟搜索算法与耐久性分析相结合，研究一种结构耐久性优化设计方法。建立了以可靠寿命为目标或约束的结构耐久性优化模型，针对复杂结构可靠寿命函数非线性强、多极值等问题，引入一种新型群智能全局优化算法——布谷鸟搜索算法，从迁徙策略、收敛准则、约束处理等方面研究改进了布谷鸟搜索算法，进一步提高了其收敛性和效率。利用双循环方法求解可靠寿命目标、单循环方法处理可靠寿命约束的概率优化策略，提出了一种稳健的结构耐久性全局优化的改进布谷鸟搜索算法。通过某轻量化车辆传动箱体应用，结果表明该方法具有较好的收敛效果和计算效率，在满足耐久性约束条件下实现了减轻质量的目标。

兵器科学与技术； 耐久性优化设计； 可靠寿命； 布谷鸟搜索算法； 功能度量法

0 引言

影响结构耐久性的因素众多，结构寿命分散性较大[1-2]，在产品研制阶段，由于缺少大量试验数据的支撑，难以准确预计结构寿命。此时，考虑耐久性的要求或将耐久性作为目标进行结构优化设计，工程实用性更强。很多机械产品都有耐久性要求，如轿车使用寿命为500 000 km，在保证寿命要求的前提下应尽量减重、降低成本等[3]。对于一些以寿命为短板的机械产品如发动机等，则需要在产品设计过程中重点考虑如何设计更长寿命的产品[4]。这两类问题均属于耐久性优化设计的范畴。

结构寿命模型的非线性较强，尤其对于复杂结构，寿命与结构设计变量之间的非线性关系更强。利用序列二次规划(SQP)[5]等梯度类算法进行结构耐久性优化计算时，虽然能够快速找到最优解，但对于一些复杂结构的多极值问题，优化解的最优程度与设计变量初始值的关系较大。因此，本文主要针对复杂结构耐久性优化模型，研究一种稳健的结构耐久性全局优化求解方法。

实践证明，群智能算法是一种能够有效解决大多数全局优化问题的方法，其潜在的并行性和分布式特点为复杂结构仿真优化提供了方便[6-7]。其中，蚁群优化(ACO)算法、粒子群优化(PSO)算法等在概率优化方面应用较为广泛，学者们在应用的同时，对算法的精度、效率、稳健性等进行了改进[8-10]。布谷鸟搜索(CS)算法是近年来在群体智能技术基础上提出的一种新型基于自然元的启发式算法[11-12]，该算法简单、高效，是工程优化算法的研究热点之一。本文将改进CS算法，进一步提高其收敛性和效率，并与结构耐久性分析相结合，以形成适应于复杂结构的稳健的耐久性优化全局优化求解算法。

1 基于可靠寿命的结构耐久性优化模型

1.1 结构可靠寿命

可靠寿命即为给定可靠度所对应的寿命单位数(时间或里程等)。由于耗损等原因，结构可靠度随时间逐渐降低，如图1所示。给定可靠度所对应的时间即为可靠寿命，图1中可靠度为 0.9的可靠寿命t0.9为1 340寿命单位。在车辆、航空、兵器装备型号工程中，常以可靠寿命作为耐久性指标，如整车底盘首次大修期B10≥10 000 km，即要求90%的底盘寿命达到10 000 km.

(1)

式中：β为可靠度指标，即可靠度R=φ(β)，此时NR称为寿命函数N(x)的概率功能度量。

在工程上，通常利用结构试验、使用、仿真等寿命数据进行统计，确定寿命的概率分布，由(1)式确定可靠寿命NR. 这种可靠寿命预计方法简便，必须有大量的数据支撑才能确定寿命的分布类型和参数。因此，针对该问题，文献[13]提出了通过计算给定概率下的功能函数值来预计可靠寿命的一种数值求解方法。

1.2 可靠寿命为目标/约束的结构耐久性优化模型

随着装甲车辆、武器等机械装备向高速轻量化方向发展[4]，机械产品的体积、质量大幅度减小，而长寿命、高可靠等要求却在不断提高。如德国的MT890发动机，其单位体积功率达到1 358 kW/m3，单位功率质量仅0.94 kg/kW[14]，与相同功率的普通发动机相比，质量和体积减小约60%，但寿命要求不降低。

以可靠寿命为约束或目标，基于可靠寿命的结构耐久性优化模型一般可以分为两种：一是在性能、费用、质量、强度和刚度等约束下，寻求可靠寿命极大化；二是在一定可靠寿命约束下，寻求费用、质量等极小化或性能最优化。

1.2.1 以可靠寿命为目标的优化模型

在一些新的结构设计过程中，往往在事先规定了费用、性能等界限的基础上要求可靠寿命越大越好，其数学模型为

(2)

1.2.2 以可靠寿命为约束的优化模型

根据装备耐久性指标，如军方提出的武器装备耐久性指标，以该指标为约束进行性能、费用、质量等的极小化，对结构进行设计，其数学模型为

(3)

式中：f(d)为目标函数，如费用、质量、体积等的函数；Ng为耐久性指标。

由上述两个模型可以看出，以可靠寿命为目标/约束的结构耐久性优化模型是在结构可靠性优化(RBO)模型[15-16]的基础上提出的，是RBO模型的补充。以可靠寿命为目标或约束的耐久性优化能够直接考虑可靠寿命进行优化，无需转换成可靠度或失效概率，可以更加直观地反映可靠寿命在优化过程的迭代路径，其可靠寿命结果更适合工程要求。

2 CS算法及其改进

2.1 CS算法理论

通过模拟自然界中生物的群体行为来解决计算问题已经成为目前的研究热点，基于仿生计算的群智能算法不断涌现，如PSO、ACO等。群智能优化算法是一类不确定优化算法，体现了自然界生物的生理机制，在求解某些问题时优于确定性算法，也是一类概率型全局最优搜索算法。

CS算法是由剑桥大学Yang和拉曼工程大学Deb于2009年在群体智能技术的基础上提出的一种新型基于自然元的启发式算法[17]。该算法的基本思想是基于布谷鸟的巢寄生行为以及鸟类的莱维(Lévy)飞行行为。布谷鸟是典型的巢寄生鸟类，即将自己的蛋产到其他鸟类的鸟巢中，让鸟巢的主人代为孵化鸟蛋、养育布谷鸟。为了降低自己的鸟蛋被寄居的鸟巢主人发现的概率，布谷鸟会将自己的蛋产于相似鸟类的窝中，但仍可能被鸟巢主人发现，此时布谷鸟蛋寄生失败。该方法做了以下3个假设：

1)每只布谷鸟一次产一卵，并随机选择寄生巢孵卵；

2)在随机选择的一组寄生巢中，最好的寄生巢将会被保留到下一代；

3)可利用的寄生巢数量是固定的， 一个寄生巢的主人能发现一个布谷鸟蛋的概率为p. 寄生巢的主人一旦发现布谷鸟蛋，则将其扔掉或者丢弃现有的巢。

基于以上假设，可得到布谷鸟寻找最优鸟窝的求解公式为

(4)

L(λ)～u=t-λ,1<λ≤3，

(5)

式中：t为自变量；u为因变量。

对于CS算法，设计变量初始值取

(6)

式中：dui和dli分别为设计变量di的上限、下限，rand为0～1之间的随机数。

CS算法新解的寻找采用Lévy飞行策略，二维空间d1、d2的Lévy飞行如图2所示，从中可以看出Lévy飞行的特点是在飞行中可以意外地90°转弯，从而可以使动物更有效地搜索到食物。

每次迭代产生新的鸟窝后，将p与随机数r(0≤r≤1)进行对比，若p

(7)

以最大迭代数作为收敛条件，CS算法流程图如图3所示。在迭代中，由于Lévy飞行进行搜索的方向和距离均具有高度随机性，能轻易地从当前搜索区域跳出而对另一区域进行搜索，使得CS算法具有非常强大的全局寻优能力。

在迭代过程中，若p一直较大、α较小，则会加快标准CS算法的收敛速度，但可能无法得到高精度全局最优解；若p较小、α较大，则将导致寻优的迭代次数明显增加。因此，在将CS算法引入结构耐久性优化设计方法之前，有必要对其进行改进，以提高算法的收敛性、效率和精度。

2.2 CS算法的改进

CS算法是一种无约束的搜索技术，缺乏明确的约束处理机制，使得它在处理有约束优化问题时比较困难。此外，CS算法虽然具有较好的全局性能，但在收敛速度和局部搜索能力方面有所欠缺。本文主要针对这两方面对CS算法进行改进，提出了改进的布谷鸟搜索(ICS)算法。

2.2.1 基于模拟退火搜索机制的迁徙策略

在优化过程中通过调节p的取值，既可提高收敛速度，又可保证优化的收敛性。因此，在CS算法中引入模拟退火[18]的思想，使得在每次更新迭代过程中概率p的大小采用温度Tk控制，k为迭代次数，即

p=e-Δfk(·)/Tk，

(8)

应用模拟退火搜索机制时，为了在每个温度下均达到平衡态，退火速度必须足够缓慢，这样可能导致算法的寻优时间较长。温度下降可遵循以下关系：

1)线性递减

(9)

式中:T0为初始温度；Te为最低温度；Nmax为最大迭代次数。

2)等比递减

Tk=T0·qk，

(10)

式中:q为比例系数，0.75≤q<1.

3)指数下降

(11)

式中:ν为退火系数，0.7≤ν<1.

由此可见，通过引入模拟退火搜索机制来改进算法的执行速度，不仅保证了在算法早期避免陷入局部最优解的困境，而且提高了获得全局最优解的能力。

2.2.2 约束条件处理机制

约束条件处理采用内点法[18]，其基本思路是保持每一个迭代点dk是可行域D的内点，在可行域的边界筑起一道很高的“围墙”作为障碍，当迭代点靠近边界时，增广目标函数值骤然增大，以示“惩罚”，并阻止迭代点穿越边界。

目标函数为f(d)、m个约束函数g(d)、n维设计变量的优化模型如下：

(12)

其可行域D为

D={d∈Rn∶gi(d)>0}，

(13)

式中：Rn表示实数域。构造如下增广目标函数：

(14)

(15)

对罚因子取τk→0，从而可得到原问题的极小点。

另外，采用基于精度的算法收敛性准则，即选取最小值停留的迭代次数超过某一值作为收敛判断条件。

3 基于ICS的结构耐久性全局优化稳健算法

3.1 可靠寿命目标/约束的转换

根据功能度量法，首先将原始随机变量向量x变换为相互独立的标准正态分布向量u，记u=T(x)，在独立标准正态空间中寿命函数表示为Nu(u,d). 在独立标准正态空间，可靠寿命求解的迭代公式[13, 19]为

(16)

由于可靠寿命的约束/目标包含随机变量，其求解过程是一个复杂的迭代计算过程，属于概率优化问题。耐久性优化求解需要采用转换的策略，按照一定的方式将可靠寿命目标、约束转换为确定性目标、约束，从而将概率优化问题转换为常规确定优化问题，再利用常规的优化算法实现问题的求解。

对于概率优化问题的求解，常用双循环方法、单循环方法[20-21]等。双循环方法采用两个嵌套的优化循环：设计优化循环(外层)和可靠寿命分析循环(内层)，其可靠寿命计算精度高但效率较差。单循环方法[22]是在双循环的基础上改进的，内层循环由单次可靠寿命计算近似代替，可实现可靠性分析和优化计算的同步收敛，在优化效率方面提升显著。本文为了保证可靠寿命目标值的精度，利用双循环方法转换可靠寿命目标/约束，以获得可靠寿命的精确解；利用单循环方法转换可靠度、可靠寿命约束，以提高优化计算的效率(见图4)。

利用双循环方法，在第k步优化迭代中，将(2)式中的可靠寿命目标在当前设计点展开为设计变量的线性函数，即

(17)

利用单循环方法，在第k步优化迭代中，同时进行第k次近似可靠寿命分析，迭代公式为

(18)

将 (3) 式中的可靠寿命约束在当前设计点处进行泰勒展开，转换成线性约束，

Nu(d,u)≈u(dk-1)+du(dk-1)(d-dk-1)，

(19)

式中:

u(dk-1)=Nu(dk-1,uk-1).

(20)

对于耐久性优化模型中的可靠度约束，仍然采用可靠性优化设计中可靠度指标法和功能度量法等[15-16]转换成线性近似约束，参与结构耐久性优化求解。

3.2 结构耐久性优化设计的CS算法

由 (17) 式、 (19) 式，将以可靠寿命为目标/约束的结构耐久性优化模型转换为常规的确定性优化问题，结合ICS即可求解，这种求解算法称之为结构耐久性优化设计的布谷鸟搜索(DCS)算法，主要步骤如下：

步骤1初始化设置。包括设计变量初值、惩罚因子、退火参数、最大迭代次数、精度、运动极限系数等算法参数，令代数k=0.

步骤2可靠寿命目标的转换。若结构耐久性优化问题的目标是可靠寿命，则利用双循环方法处理可靠寿命目标函数，否则跳过此步；双循环方法需多次调用寿命函数进行迭代求解，确定当前设计点dk的可靠寿命精确值，并在该点进行线性近似。

步骤3计算确定性约束。调用相关约束函数，计算当前设计点的约束值，约束中包含随机变量时取其均值。

步骤5转换为常规优化问题。由步骤2和步骤4，原问题转换为常规优化问题。

步骤6约束条件的处理。利用惩罚函数内点法，将该问题转换为无约束子问题。

步骤7优化子问题的求解。利用ICS解该无约束子问题，获取极小点。

步骤8收敛判断。判断是否满足优化收敛条件，若满足收敛条件则停止计算，该极小点即为最优解；否则k自动加1，改变设计点及惩罚参数等，跳转至步骤2.

4 计算实例

某轻量化车辆传动系统的耐久性指标B10为10 000 km，对该箱体进行结构优化，以减轻箱体质量，基本模型表示为

式中：W(·)表示箱体的质量函数；NR=0.9(·)表示箱体可靠寿命函数。

通过分析该类传动箱体的工程使用数据，结果表明各箱体寿命在较大范围内变化，在工作过程中先后出现裂纹或断裂失效，且多发生在箱体齿轮轴承座孔周围，经过机理分析后认为这主要是由于疲劳失效所致。

根据箱体有限元分析结果可知，箱体前传动被动锥齿轮轴的轴承处(见图5)、轴承支撑处等受载较大，容易产生应力集中，因此本文选取这几处关键结构尺寸作为设计参数，如表1所示 。

为确定满足耐久性指标要求时允许的箱体初始裂纹尺寸最大值a0，选取a0作为箱体设计参数，a0∈(0.1,3).

针对传动箱的最恶劣工况，利用拉丁超立方设计生成100组试验样本，将箱体有限元分析过程实现参数化，编制Ansys命令流APDL文件，利用Ansys软件，按样本参数值分别进行100次计算。由计算结果拟合了箱体最大应力σmax的二次响应面模型如下：

式中：E为箱体材料的弹性模量。

拟合的模型精度如图6所示。由图6可知，复相关系数平方值为0.983，此值接近于1，表明该模型的拟合度较好。

传动箱承受8级程序块谱作用，最恶劣工况的箱体各部位均处于弹性范围，其他工况采用线性近似折算。由Paris公式建立箱体寿命模型：

与最大应力响应面拟合过程相似，拟合质量W的响应面函数为

W(·)=4.73B0+0.115B1+1.367×10-2B2+
3.9×10-2H1+0.175B3+2.566×10-2B4+ 19.4.

为对比DCS算法的效率和精度，利用遗传算法(GA)、PSO算法、模拟退火(SA)算法、CS算法等智能算法，结合可靠寿命目标/约束转换方法和内点法来编制程序，分别对该问题进行优化计算。由于各智能算法均属于随机搜索方法，每一次结果有一定的随机性，为体现结果对比的一致性，每种算法各独立运行10次，取最优结果，列入表2中。

从表2中的优化结果可以看出，以可靠寿命为约束进行结构耐久性优化设计时，箱体质量由276.50 kg减少至263.96 kg，降低了约5%，仍然满足传动箱的耐久性指标，即B10=10 000 km. 相对于CS算法的计算结果，改进后的DCS计算效率有很大提升。这主要是因为CS算法采用最大迭代次数为判据，必须计算到所设置的50次时才终止计算； 而DCS算法在21次迭代时即达到改进后的收敛条件。在计算精度方面，由于改进后采用SA搜索机制提高了算法的局部搜索能力，能够找到较精确的全局解。

相对于GA、PSO、SA等其他智能算法，DCS算法在计算效率和计算精度方面均有优势。在计算精度方面，最优解处的箱体可靠寿命为10 083 km，大于约束设定的10 000 km，而PSO算法获得的最优解虽然与此比较接近，但箱体可靠寿命则略小于10 000 km；在计算效率方面，DCS算法的计算次数为2 076，比SA快约17%，比PSO算法快44%.

DCS算法的优化迭代过程如图7所示。由图7可知：箱体质量在优化迭代过程中按目标方向逐渐减轻，直至收敛；可靠寿命在约束内变动，始终未超出约束范围，经过21次迭代，最终收敛于约束边界；质量目标、可靠寿命约束的迭代过程数据反映了DCS算法优化方法的收敛性和稳定性较好。通过本文的优化迭代过程，可直接观察箱体可靠寿命的优化过程，供设计时参考。

5 结论

1)本文引入一种新型群智能算法即CS算法，与结构耐久性分析相结合，提出了结构耐久性优化的DCS算法，实现了结构耐久性全局最优解的稳健求解。

2)在引入CS算法之前，针对CS算法的收敛性和效率等做了以下3点改进：①在迁徙策略中采用模拟退火搜索机制，先快后慢，既保证了较高的搜索速度又提高了局部收敛能力；②采取基于计算精度判断的收敛准则，区别于传统的采用最大迭代次数作为收敛条件，提前获得了最优解；③采用内罚函数法处理约束条件。

3)通过某传动箱箱体的结构耐久性优化设计，在满足可靠寿命约束的条件下，实现了5%的减重，并与CS算法、GA、PSO算法、SA算法进行了对比，结果表明：DCS算法在计算效率和计算精度方面均有优势，比改进前的CS算法提高了64%，比SA、PSO算法分别提高了17%、44%.

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StructuralDurabilityOptimizationDesignMethodBasedonImprovedCuckooSearchAlgorithm

LIU Qin1,2, SUN Zhi-li2, LIU Ying1, GUO Zhi-ming1, CHEN Yan1

(1.Ordnance Science and Research Academy of China, Beijing 100089, China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, Liaoning，China)

A structural durability optimization design method is studied by combining durability analysis with the cuckoo search algorithm. The durability optimization models with reliable life as object or constraint are developed. In order to solve the strong non-linear function and multi-extreme value problem for complex structural durability, an improved cuckoo search algorithm for structural durability optimization is proposed by introducing a new type of swarm intelligence algorithm. The convergence and efficiency of the cuckoo search algorithm are improved in terms of migration strategy, convergence criterion, and constraint handling. A steady improved cuckoo search algorithm for durability based optimization is proposed by using the probability optimization strategy that is to solve the reliable-life object by double-loop performance measure approach and process the reliable-life constraint by single-loop performance measure approach. The proposed algorithm can be used for global optimization. The proposed method is demonstrated with a gear box for light-weight vehicle. The results validate the effectiveness of the proposed method, and the weight of gear box can be lightened while meeting the durability constraint.

ordnance science and technology; durability optimization design; reliable life; cuckoo search algorithm; performance measure approach

TH122

A

1000-1093(2017)12-2438-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.12.018

2017-03-23

国家国防科技工业局技术基础科研项目(JSZL2015208B001)

刘勤(1981—)， 男， 研究员， 博士。 E-mail： qinlow@126.com