这个100千米长的“梅森素数”有什么意义？

刘德

2016年1月7日，美国密苏里中央大学数学家柯蒂斯·库珀（Curtis Cooper）通过参与一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的项目，找到了目前已知的最大素数2^74207281-1。该素数是第49个梅森素数，长达22 338 618位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可达100千米！美国《纽约时报》、英国广播公司（BBC）等国际主流媒体都对这一科学成就作了报道，并给予了高度评价。

2 300多年前，古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中就已经证明素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等；同时他提出一些素数可写成“2^P-1”（其中指数P也是素数）的形式。而这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼茨、哥德巴赫、欧拉、高斯、图灵等）和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森（Marin Mersenne）对“2^P-1”型的素数进行过较为系统且深入的探究。为了纪念他，数学界就将这种素数称为“梅森素数”（Mersenne Prime）。迄今为止，人们仅发现49个梅森素数。这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。尤其近百年来，人们发现的“超大素数”几乎都是梅森素数。

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大。法国数学家爱德华·卢卡斯（ douard Lucas）和美国数学家德里克·莱默（Derrick Lehmer）在这方面作出了重要贡献；以他们的姓氏命名的“卢卡斯-莱默检验法”是目前已知的检验梅森素数素性的最佳方法。另外，从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则；因此，探究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。中国数学家、语言学家周海中在这方面取得了重大突破，以他的姓氏命名的“周氏猜测”叙述了梅森素数的分布状况，并给出了精确表达式。

梅森素数的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算。而计算机的出现，尤其是互联网的应用给人们寻找梅森素数提供了极大的便利，已成为不可或缺的有效工具。1996年初，美国数学家和计算机专家乔治·沃特曼（George Woltman）编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是举世闻名的GIMPS项目，也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展，总部设在美国的“电子前沿基金会”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元，后面的奖金依次为：超过1 000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先发现超过1 000万位的梅森素数——2^43112609-1，该数有12 978 189位；他也因此获得了EFF颁出的10万美元大奖。这一重大成就，被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，还是受到了校方的表彰。

目前，全球已经有193个国家和地区、60多万人使用超过130万个中央处理器（CPU）参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。顺带一提，美国数学家乔丹·埃伦伯格（Jordan Ellenberg）认为，“发现一个梅森素数就像是在干草堆里找一根针那样困难。这项发现在计算机工程领域的价值要远大于数学领域的价值”。

梅森素数在当代具有重大意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。难怪许多科学家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至认为，它的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。