基于CVX工具箱的自适应波束形成实验

王 芳, 陈 勇,， 叶志清， 万建伟

(1. 江西师范大学 物理与通信电子学院， 江西 南昌 330000 2. 国防科学技术大学 电子科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

基于CVX工具箱的自适应波束形成实验

王 芳1, 陈 勇1,2， 叶志清1， 万建伟2

(1. 江西师范大学 物理与通信电子学院， 江西 南昌 330000 2. 国防科学技术大学 电子科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

自适应波束形成理论是“自适应阵列信号处理”课程教学中的难点和重点内容。本文以最小方差无失真波束形成(MVDR)和范数约束Capon波束形成(NCCB)为例，详细介绍了CVX凸优化工具箱在自适应波束形成器设计中的应用，并对不同快拍数情况下波束形成器的性能进行了比较与分析。实践表明，将CVX工具箱引入到自适应波束形成实验中，可以使该理论教学更加直观和易于理解。

波束形成；凸优化；CVX工具箱；规则化程序设计

0 引言

“自适应阵列信号处理”课程中的自适应波束形成理论在雷达、声纳、天文、地震等领域有广泛的应用[1]，它们是电子信息类高年级本科生、研究生应该深刻理解并熟练掌握的内容。但是自适应波束形成理论，其推导繁琐、运算量较大，涉及矩阵论、最优化、随机信号处理等方面的内容，学生若缺乏相关背景知识往往不容易理解[2-4]。

CVX工具箱是美国斯坦福大学Boyd等学者开发的面向全球开放的求解凸优化问题的工具箱[5]。与以往的最优化工具箱如Matlab Optimization Toolbox、SeDuMi、SDPT等不同的是，CVX工具箱采用一种规则化编程语言来描述数学优化问题[6-10]。因此，学生在使用该优化工具箱时，只需掌握极少的编程命令即可实现相对复杂的数学优化问题求解。将CVX工具箱引入到自适应波束形成教学实验中后，学生可以将主要精力放在如何理解波束形成理论的原理以及对实验结果的分析上，对提高学生的学习积极性，帮助其更好地理解自适应阵列信号处理理论有着很大的帮助。

1 实验设计与实现

1.1 实验内容

考虑一个10单元标准线列阵，基阵接收噪声为0 dB空间白噪声，三个平面波分别从0°、20°与35°方向入射到基阵，基阵模型如图1所示。其中来自0°方向的信号为期望信号，其他两信号认为是干扰。假设信号、干扰与噪声都是互不相关的高斯窄带随机过程。期望信号的信噪比SNR=0 dB，两干扰的干扰噪声比INR分别为INR=30 dB与35 dB。设计自适应波束形成器，使得期望信号能够无失真输出，而干扰及噪声的功率得到尽可能的抑制。

图1 阵元个数为10的标准线列阵模型

1.2 原理分析

(1)

而波束形成器总的输出功率为

P=wHRw

(2)

其中，R是样本数据的协方差矩阵，(·)H表示共轭转置运算。

实验目标是，在保证信号无失真输出的条件下，尽可能地抑制干扰及噪声的输出功率，即相当于在满足式(1)的输出信号功率Ps恒定的约束条件下，使式(2)的结果最小化，用数学表达式表述如下：

(3)

本实验的关键之处在于如何求解最优化问题。通常的做法是利用Lagrange算子方法进行复杂的数学推导，但学生理解起来存在一定的困难。为了提高实验的教学效果，本文将CVX最优化工具箱引入到实验教学中来。该工具箱采用规则化编程语言，在较短的时间内学生就能够掌握并达到熟练使用的程度，因此特别适合应用于自适应波束形成等需要进行最优化求解的教学实验。

式(3)对应的波束形成器一般被称为最小方差无失真自适应波束形成器(MVDR)。利用CVX工具箱对该波束形成器权值w的求解过程如图2所示。

图2 利用CVX求解波束形成器的权值

注意图2中第一列数字为行号，方便对各行进行解释。图2中各行的具体含义如下：

(1)初始化矩阵R和向量a。本实验中R为10×10数据协方差矩阵，a为10×1导向向量。

(2)从Matlab程序运行模式切换到CVX优化问题求解模式。

(4)最小化目标函数，本实验是使波束形成器的输出总功率最小。

(5)约束条件的开始标识。

(6)设置等式约束条件或不等式约束条件，本实验中约束条件是输出信号功率恒定为常数。

(7)优化问题描述结束，同时CVX工具箱开始求解上述优化问题。

(8)CVX工具箱反馈最终的求解状态，如：已求解或无解。

从以上的分析说明可以看出，将某个最优化问题用CVX工具箱来描述是非常容易的。需要进一步强调的是，当自适应波束形成器所对应的目标函数更加复杂或者约束条件的个数增加时，CVX工具箱更能体现出它的优势。

以范数约束Capon波束形成器(NCCB)为例，为了增加波束形成器的稳健型，它在MVDR波束形成器的基础上增加了权值范数约束：

(4)

此时，依然可以利用CVX工具箱求解式(4)中的最优化问题，其主要程序如图3所示。

图3 利用CVX求解NCCB波束形成器的权值

图3中的第7行为新增约束条件，其余各行的含义与图2相同。联合图2和图3不难发现，CVX工具箱的应用使得求解最优化问题，特别是自适应波束形成相关的最优化问题，变得非常直观和简单。

为验证实验结果是否达到要求，还需根据已求解的波束形成器权值w，计算出波束图p(θ)，即

p(θ)=wHa(θ),(θ)Θ

(5)

其中Θ为波束图的方位角集合，通常取Θ=[-π/2,π/2]。通过观察波束图的指向性以及凹谷的位置，即可大致判断波束形成器是否达到设计要求。

综上所述，基于CVX工具箱的自适应波束形成实验的流程如图4所示。

1.3 注意事项

(1)在实验教学过程中要引导学生如何将自适应波束形成问题转化为最优化问题。如在本实验中，约束条件是“感兴趣方位的信号能够无失真输出”，即wHa(θs)=1；而目标是“干扰及噪声的功率得到尽可能的抑制”，通过分析发现该目标等价于“波束形成器的输出总功率最小”，即min wHRw。

(2)CVX工具箱只能求解所谓的凸优化问题，即目标函数是凸函数，而且约束集是凸集合。通常

图4 自适应波束形成器实验流程图

情况下，自适应波束形成实验中所遇到的最优化问题一般都可以转化为凸优化问题。

(3)在自适应波束形成实验中，应充分利用CVX工具箱可以方便地增加或减少约束条件，甚至可以更改目标函数的优点。通过对比不同情况下的实验效果，更好地理解自适应波束形成器的原理。

1.4 实验结果

根据实验条件，已知线列阵的阵元数M=10，当快拍数分别为N=3M，或N=10M时，MVDR自适应波束形成器的波束图如图5所示。当理想协方差矩阵R已知(即相当于快拍数N→∞)时，相应的MVDR波束图也包含在图5中，并用实线表示。类似地，图6显示了NCCB自适应波束形成器的波束图。

观察图5或图6发现，不论MVDR波束形成器或NCCB波束形成器，都在对应干扰的方位角处即20°与35°方向处产生了明显的凹谷，即极大地抑制了干扰的输出；而在对应期望信号的0°方向处，波束图响应恒定为0 dB，即信号能够无失真输出。同时还发现，随着快拍数的减少，MVDR或NCCB波束形成器的波束图的旁瓣均升高，这是因为当快拍数较少时，对协方差矩阵的估计将出现误差，从而导致波束形成器的性能下降。

比较图5和图6发现，在相同的条件下，NCCB波束形成器的性能明显优于MVDR波束形成器。其原因在于，在NCCB波束形成器中增加了对权值范数的约束，从而提高了波束形成器的稳健性。

图5 MVDR自适应波束形成器的波束图

图6 NCCB自适应波束形成器的波束图

2 结语

本文以自适应波束形成器的设计为例，详细讨论了实验的原理、流程以及具体的注意事项，并对不同快拍数的MVDR及NCCB自适应波束形成器的波束图进行了比较和简单的分析。在“自适应阵列信号处理”课程中，通过将CVX最优化工具箱引入到自适应波束形成器实验，可以极大地提高后者的可实现性，而且还可以加深学生对抽象理论的理解，掌握自适应波束形成理论具体的应用实例。

[1] Harry L. Van Trees著. 汤俊等译. 最优阵列处理技术[M]. 北京:清华大学出版社,2008.

[2] 鄢社锋,马远良. 传感器阵列波束优化设计及应用[M]. 北京:科学出版社,2009.

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[4] A. B. Gershman, N. D. Sidiropoulos, S. Shahbazpanahi等. Convex OptimizationBased Beamforming[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 27:62-75, 2010.

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[10] J. Mattingley, S. Boyd. Real-Time Convex Optimization in Signal Processing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 27:50-61, 2010.

Experiment Teaching of Adaptive Beamforming Based on CVX Toolbox

WANG Fang1, CHEN Yong1, 2, YE Zhi-qing1, WAN Jian-wei2

(1.CollegeofPhysicsandCommunicationElectronics,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330000,China2.CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

The theory of adaptive beamforming is one of the difficult and important contents in the teaching of Adaptive Array Signal Processing course. This paper takes the minimum variance distortionless response beamforming (MVDR) and norm constrained Capon beamforming (NCCB) as examples, and introduces the application of CVX convex optimization toolbox in the design of adaptive beamforming. The performance of beamformers with different number of snapshots is compared and analyzed. It is indicated that the theory of adaptive beamforming can be more intuitively and easily understood by introducing the CVX toolbox into practice teaching.

beamforming; convex optimization; CVX toolbox; disciplined programming

2015-07-22;

2015-09- 30

江西省普通本科高等学校专业综合改革试点项目(20120129)；江西师范大学教学改革课题(2013041,2014054)。

王 芳(1982-)，女，讲师，主要从事现代信号处理方面的研究，E-mail：juniorfang@hotmail.com 陈 勇(1981-)，男，博士生，讲师，主要从事阵列信号处理方面的研究, E-mail：chenyong198178@hotmail.com

叶志清(1960-), 男，教授，主要从事现代通信系统方面的研究. E-mail：Yezhiqing2008@163.com

A

1008-0686(2016)02-0136-04

万建伟(1964-)，男，博士，教授，主要从事现代信号处理方面的研究，E-mail:kermitwjw@139.com