运用能量概念的“电路”课程教学方法

陈希有， 李冠林， 周惠巍

(大连理工大学 电子信息与电气工程学部, 辽宁 大连，116023)

运用能量概念的“电路”课程教学方法

陈希有， 李冠林， 周惠巍

(大连理工大学 电子信息与电气工程学部, 辽宁 大连，116023)

本文的基本观点是，在某些专门场合，能量概念比功率更重要，在“电路”课程教学的某些方面，应适当运用能量概念。为此结合如下内容，包括元件能量与功率、电感的无功功率、RLC串联正弦电路的无功功率、耦合系数相等的证明、RLC串联电路暂态响应的能量交换关系以及均匀传输线驻波中的电磁能量分析等，阐述了运用能量概念的教学方法，以便培养学生运用能量概念思考问题的科学视角和工程观点。

电路教学；能量；功率；工程观点

能量和功率是电路理论中两个不同用途的物理量，在某些情况下，能量概念比功率更重要。从因果关系上看，这是因为能量是电路赖以工作，产生响应的动力基础。从工作过程上看，电路其实是能量与信息的传输与转化系统，而信息的传输与转化也离不开能量的作用，功率只是描述能量传输与转化的速率。从工程上看，虽然功率比能量更易计量，但当发生经济行为时，仍然要使用能量。电力部门根据用电度数收取电费就是最直接的示例。从更一般意义上看，人类活动与自然现象的发生和演变，更是离不开能量的作用。所以在“电路”课程教学中，结合某些内容，适度从能量角度加以阐述，往往能更深刻地揭示电路规律的本质，从而培养学生深入思考、追根溯源的科学精神，逐渐养成自觉运用能量观点的工程意识。

本文结合如下六个教学实例，介绍笔者在这方面的实践和体会以便与读者交流。

1 六个教学实例

根据上述的“能量概念比功率更重要”的观点，在介绍电路元件时，宜从能量到功率，而不是从功率到能量。后者侧重把能量看作是功率积分后的数学结果，而功率又来自电压与电流乘积的普遍规律，没有区别特殊性。然而，电路元件的功率(如无特别强调，均指瞬时功率)对不同的元件，其物理意义是不同的，最好还是区分一下，以便理解元件性质存在差异的物理原因。下面以电容为例加以说明，其他元件可以照此理解。

1)电容储能与电容充、放电功率

从物理原型上看，电容是根据异性电荷之间存在吸引力的自然现象构造的。在电容的极板上能够储存等量异性的电荷，在极板之间建立电场和电压，储存电场能。为了分析电容储存的电场能，考察图1所示的情形。设电容已从无到有地充得电荷Q，因而在极板间存在电压U。当再向电容移动dQ电荷时，电源必须克服来自电容中已经建立的电场的阻力做功。电源所做的功为

dA=UdQ

(1)

图1 计算电容储存的电场能量

在理想电容条件下，电源所做的功完全转化为电场能量。所以，使电容充电到电荷q或电压u，电源所做的功就等于电容储存的电场能量，即

(2)

电容储能的变化率就是电容充放电功率，即

(3)

上述由电源对电容作功到电容储能，再到电容作功的过程表明：①电源所克服的力来自电容已经建立的电场；②电容储存的能量来自电源克服电场力所作的功；③电容上的电压越高，继续向其移动电荷便越需要电源作更多的功。而电荷越多，电容上的电压就越高，这就解释了电场能量与电容电压平方成正比的原因。

2)电感储能与无功功率和有功功率

无功功率对应能量交换现象，因此从能量角度引出无功功率更符合物理原理。下面以电感为例说明这个过程。对偶地，也可以理解电容的情况。

(4)

其变化规律如图2所示。

图2 讨论电感的储能和无功功率

取能量变化的一个典型周期T进行分析。在T1对应的半个周期内，储能在增加，说明电感从外电路吸收了电能；在T2对应的半个周期内，储能在减少，说明电感又将储存的能量释放给外电路。显然，能量增加和减少的量值是一样的。所以在一个周期内看，电感没有消耗净能量，即平均功率P=0。它的作用是与外电路进行周期性能量交换，交换的量值无疑是需要计量的。不难理解，储能的最大值就是用来交换的能量，即

(5)

可见，在ω一定的条件下，可以用UI代表能量交换的规模，据此将UI定义为电感的无功功率，即

QL=UI

(6)

在非正弦周期电路中，由于电感储能是周期性变化的，即

Wm(t+T)=Wm(t)

(7)

亦即在一个周期内，电感储能的净增量为零。因此，在非正弦周期电路中，电感的平均功率即有功功率也为零，即

PL[Wm(t+T)-Wm(t)]/T=0

(8)

3)RLC串联正弦交流电路的无功功率

在正弦电路中，感性无功功率和容性无功功率是相互补偿的，这个结论可以用图3(a)所示的RLC串联电路结构，并根据L、C储能的变化规律来认识，不是仅依据QC=-UI<0的数学原因[1]。

Q=QL-|QC|，X=XL-XC

(9)

(a)电路结构

(b)电场能与磁场能图3 RLC串联电路

在能量的相互补偿过程中，若XL>XC，则UL>UC，QL>|QC|，这表明磁场作用强于电场的作用。当建立磁场时，所需要的能量除来自电场消失所放出的能量外还需电源供给一部分，而在磁场消失的过程中所放出的能量则除供建立电场和电阻消耗之外还有剩余返还给电源，这样电路就表现出电感性。对偶地，若XL

4)耦合系数相等的证明

互感元件耦合系数存在相等关系，即M12=M21，这一结论在教材和教学中被渐渐省略了。查阅相关物理学和电磁学教材，大都说可以证明，但却没有证明。这使得学生有惑于这一结论的根基。其实，借助作功和储能等概念，严格证明M12=M21并不复杂，此外还能表明，即使在线性介质中，互感系数相等的结论也是有条件的。下面简要介绍证明过程，详见文献[ 2,3]。

考察图4。为了证明耦合系数相等，假设要建立线圈1的电流为 且线圈2的电流为I2的磁场，可以分两步来计算此时耦合电感储存的磁场能量。

首先令线圈2开路，让线圈1的电流从零按任意规律上升到I1。这时只有电源1做功。

图4 互感磁场能量的建立

然后维持线圈1的电流不变，让线圈2的电流从零按任意规律上升到I2。在这个过程中，除了电源2要作功外，电源1也要克服互感电动势e12而作功，这是为了维持线圈1 的电流不变。

当线圈1有电流I1且线圈2有电流I2时，总的磁场能量为

(10)

如果交换两个线圈的通电顺序，也就是先使线圈2 的电流达到I2，然后保持I2不变，再使线圈1的电流达到I1。根据上述原理，此时建立的磁场能量为

(11)

一般说来能量是状态的单值函数，所以上述按照两种顺序建立的磁场能量应该是相等的，也就是说磁场能量只与I1和I2有关，不应与这些电流的建立顺序和建立过程有关，或者说不应与电流变化的“历史”有关。因此，比较上述二式可知M12=M21。

上述证明过程涉及了能量是状态的单值函数的概念，一般说来确实如此，但特殊情况下也不尽然。例如，如果在某个线圈通电的过程中，线匝之间由于电磁力的作用发生了相对运动，这种运动当然也要消耗能量，这就使得不同的通电顺序，互感储存的能量是不同的，因而得不出M12=M21的结论。

5)RLC电路暂态响应的能量关系

RLC串联电路的零输入响应是二阶电路的教学重点，其中的欠阻尼过程对应的响应电压和电流都是衰减的自由振荡。振荡的根本原因是能量的相互转换，所以在得出自由振荡的响应以后，最好再从电场能量和磁场能量的变化规律上加以解释[3,4]。

假如已经建立了电容电压和电感电流的零输入响应，如下所示：

(12)

(13)

波形如图5(a)所示。它们储存的能量随时间的变化规律分别由下列二式给出：

(14)

(15)

据上述表达式可以做出电容储能和电感储能的变化曲线，如图5(b)所示。教学中，借助于计算机绘制这样的曲线是不难的。两种储能具有此消彼涨的变化规律，说明它们发生了相互转换。但由于电阻在不断消耗着能量，所以总的储能在波动式地不断减少，直至消失。这就把自由振荡归结为能量的相互转换。不仅电路如此，机械上的自由振荡，其实也是能量的相互转化，例如在由弹簧和重物组成的系统中，弹性势能与重物的动能或与重力势能相互转换。

(a)零输入响应

(b)储能变化曲线

6)驻波中的电磁能量分析

无损均匀传输线在终端开路或短路时，在正弦电源作用下，均匀线上存在驻波现象。以终端开路情况为例，终端必然是电压的波腹和电流的波节。从终端向始端看去，每隔λ/4(λ表示波长)，必然出现一个波节，或是电压波节，或是电流波节。在电压或电流的波节处，传输的功率为零，说明没有能量经过电压或电流的波节处。在两个波节之间的任何位置都存在随时间按正弦规律变化的电压和电流，这是由于这之间的电场能量与磁场能量周期性交换的结果，对此分析如下：

(16)

(17)

其中x′表示线上一点距终端的距离，在t=0时刻的电压与电流分布波形如图6所示。

图6 t=0时刻的电压与电流沿线分布波形

考虑从0到λ/4波长内的情况。这段长度内电场能量与磁场能量随时间的变化规律分别为

(18)

(19)

两种能量分别按照cos2ωt和sin2ωt的规律随时间变化，变化的最大值是一样的。这说明它们随时间在此消彼长地进行着能量交换，并且两种能量之和是常量，等于这个最大值：

(20)

这说明电场能量最大时，磁场能量一定为零；反之亦然。没有能量通过电压或电流的波节处。这样便从能量角度认识了驻波的规律。

2 结语

本文就“电路”教学中的六个实例，介绍了从能量角度来认识电路规律的教学方法，可以本着因材施教的原则加以试用。“电路”教和学效果的提高，除了靠先进的教学手段外，更要靠教师和学生对电路规律的深刻认识。

[1] 俞大光.《电工基础》(修订本，上，中，下) [M]. 北京：人民教育出版社，1964年，1965年6月，1982年2月. [2] 赵凯华,陈熙谋. 电磁学(第3版)(M). 北京：高等教育出版社， 2012年8月. [3] 陈希有. 电路理论教程(M). 北京：高等教育出版社，2013年8月.[4] Robert L. Boylestad著,陈希有,张新燕，李冠林等译. 电路分析导论(第12版) [M]. 北京：机械工业出版社，2014年12月. [5] 捷米尔强等编著，赵伟，肖曦，王玉祥等译. 电工理论基础(第4版)[M]. 北京：高等教育出版社，2011年1月.

About Teaching Methods of Electric Circuit Course Using Energy Concepts

CHEN Xi-you, LI Guan-lin, ZHOU Hui-wei

(FacultyofElectronicInformationandElectricalEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023，China)

The main viewpoint of this paper is that in some issues, the concept of energy is more important than power. Therefore, the concept of energy should be emphasized during the Circuit course teaching. In order to cultivate the scientific view and engineering point of the students thinking the problem from energy, some teaching ways based on the viewpoint of energy are introduced in this paper combined with the following contents. which are energy and power of the circuit elements, the reactive power of the inductor, the reactive power of the sinusoidal series RLC circuit, the proof of equality of the coupling coefficients, the energy exchanging in the transient response of series RLC circuit, analysis of the electromagnetic energy of the standing wave for uniform transmission line.

circuit theory teaching; energy; power; engineering viewpoint

2015-05-12;

2015-07- 06

陈希有(1962-)，男，博士，教授，主要从事电路教学以及电力电子技术的研究，E-mail:chenxy@dlut.edu.cn

TM13

A

1008-0686(2016)02-0091-05