跷跷板系统的模糊控制策略研究

张 卓， 张井岗

(太原科技大学 电子信息工程学院，太原 030024)



跷跷板系统的模糊控制策略研究

张 卓， 张井岗

(太原科技大学 电子信息工程学院，太原 030024)

针对跷跷板系统具有的高阶次、非线性、多变量等特性，提出了基于融合函数的模糊控制算法。根据最优控制理论计算出能使系统稳定的反馈增益矩阵，再构建融合函数，以此减少模糊控制器的输入维数，解决了模糊控制算法应用于多变量系统中易出现的“规则爆炸”问题。仿真和实验结果均表明，所设计的控制器可有效实现对跷跷板的平衡控制。

跷跷板；模糊控制；融合函数

跷跷板系统是一个典型的实验教学装置，作为实验装置，它结构简单，便于操作，形象直观；作为被控对象，它具有高阶次、非线性、不稳定、强耦合、多变量等特性，可以用来检验控制算法对非线性，高阶次复杂系统的处理能力；另外作为模拟装置，跷跷板的平衡控制与独轮小车的直立行走、飞行器控制姿态调整及火箭发射中的垂直度控制等均有很大的相似性，因此对跷跷板系统的研究有重要的理论价值和实际意义。

针对跷跷板系统，近年来国内外学者提出了多种先进控制策略。牛宏侠[1]依据在系统平衡点附近得到的线性化模型，采用状态反馈控制策略，配置一组期望的极点，使跷跷板系统动态性能达到稳定要求，仿真结果表明该方法切实可行，但仅仅是一种线性控制方法，不能够解决系统中的非线性问题；Jonqlan Lin[2]将模糊控制这一智能控制方法应用到控制跷跷板系统，同时为解决模糊控制算法应用于多变量系统时易存在的“规则爆炸”的问题，提出了将系统控制任务分解，设计两个模糊控制器，分别用来控制跷跷板系统的倾斜角度和小车位移，然后用一个模糊协调补偿器来协调各子系统的控制作用；文献[3]提出了一种模糊滑模控制器的设计方法，利用滑模切换平面及其导数作为模糊控制器的输入，模糊控制器的输出作为系统的控制量，该方法同样解决了模糊控制应用于高阶多变量系统过程中存在的“ 规则爆炸” 的问题，但是设计过程复杂。

本文根据拉格朗日方程建立跷跷板系统的动力学模型，设计了基于融合函数的模糊控制器，解决了模糊控制算法应用于多变量系统易出现的“规则爆炸”问题，并实现了对跷跷板系统的平衡控制。

1 跷跷板系统的描述与建模

跷跷板系统主要由一部小车、一个电机、两个分别用于测量跷跷板角度和小车位置信息的编码器以及跷跷板倒三角体组成，其平衡机制是利用伺服电机驱动小车在跷跷板上来回移动形成反力矩，使跷跷板倒三角体达到平衡。为减小建模难度，可以忽略空气阻力及细小摩擦力，将跷跷板系统抽象成如图2所示，仅由质点小车和匀质倒三角体两部分组成的模型。

为方便对跷跷板系统进行分析研究，可根据拉格朗日方程建立跷跷板系统的动力学模型。定义系统的两个广义坐标为小车位移xc和跷跷板倾角θ，则系统拉格朗日方程为：

图1 小车跷跷板模型

Fig.1 The model of seesaw system

(1)

(2)

其中L为拉格朗日算子:

L=TT-VT

(3)

在忽略系统细小摩擦力的情况下，系统广义坐标xc有系统控制输入力Fc作用，广义坐标θ没有外力作用，即：

(4)

系统总动能:

(5)

系统总势能：

VT=g(MCDTcos(θ(t))+

Mcxc(t)sin(θ(t))+MswDccos(θ(t))

(6)

将式(3)-式(7)代入拉格朗日方程组(1)、(2)可得 :

(7)

g(-McDTsin(θ(t))-MswDcsin(θ(t)) = 0

(8)

整理并在系统平衡点线性化后可得：

(9)

(10)

(11)

其中

A=

分析可知，跷跷板系统的线性化模型是一个单输入多输出的高阶系统。本文控制目标是设计控制器使系统达到平衡状态，即状态xT=(0,0,0,0).

2 基于融合函数的模糊控制策略

由方程(14)可知，跷跷板系统是蕴含4个状态变量的单输入系统，若采用单级模糊控制策略，即使每个变量的论域仅作五个模糊集的划分，完备的推理规则库也将包括54=625个推理规则，建立这样一个规则库无疑是困难的。若采用一个简单的控制策略嵌套，如式(12)所示：

(12)

即先利用F1()对系统状态变量进行初步处理，再用F2()根据前级算法的输出对系统进行控制。若F1()能够利用状态变量的内在相关性，使其输出维数小于X的维数，则算法F2()要完成的工作将得到简化。F1()因其功能也可称为融合函数。

本文首先利用融合函数对系统状态变量进行处理，得到系统综合误差E和综合误差变化率EC，再将E、EC作为模糊控制器的输入。这样仅需设计一个二维输入的模糊控制器，原理如图3所示。

图2 基于融合函数的模糊控制示意图

Fig.2 Schematic of the fuzzy controller based on fusion function

2.1 构造融合函数

可根据最优控制理论得到一组能够使系统线性化模型稳定的反馈矩阵K.

系统的状态空间表达式如式15所示，设二次型性能指标为

(13)

其中:Q和R矩阵分别是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可灵活选取。

根据最优控制理论，使二次型性能指标J为最小的控制律：

u=-R-1BTPx=-Kx

(14)

其中P为Riccati方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(15)

的解，通过求解Riccati方程即可得到矩阵P,进而得到反馈增益矩阵：

(16)

根据反馈增益矩阵构造融合函数：

(17)

将系统变量降维得到综合误差E和综合误差变化率EC.

(18)

2.2 设计模糊控制器

将通过融合函数得到的综合误差E和综合误差变化率EC作为模糊控制器输入,设计一个二维输入的模糊控制器，具体过程如下。

1) 确定隶属度函数。如图4所示,模糊控制器输入、输出变量论域范围均取为[-30，30]，采用三角形、全交迭、均匀分布的隶属函数，每个变量定义5个模糊子集：NL、NS、Z、PS、PL.

图3 隶属函数

Fig.3 Membership function

2)制定模糊控制规则库。模糊控制规则表如表1所示。

3)解模糊。本文采用重心法解模糊。

4)确定量化因子和比例因子。本文分别用Ke、Kec和Ku来表示模糊控制器的量化因子和比例因子，可根据小车跷跷板系统实际情况和模糊控制器论域转化规律，初步粗略估算出Ke、Kec、Ku，再根据实验结果进行优化调节。

表1 模糊控制规则表

Tab.1 Fuzzy control rules

EDEPLPSZNSNLPLNLNLNLNLNLPSNLNLNLPSPLZNLNSZPSPLNSNLNSPSPSPLNLPLPLPLPLPL

3 仿真及实验结果

为验证所设计控制器的有效性，本文将依托由加拿大Quanser公司生产的跷跷板系统在Matlab/Simulink环境下进行仿真研究，并进行实时控制实验。跷跷板系统主要由工控机、Q8板卡小车、UPM2405功率放大器和跷跷板本体几部分组成。工作时，系统控制器Q8板卡将编码器采集的系统状态信息进行分析处理，输出控制信号，经功率放大器放大后驱动伺服电机带动小车在跷跷板倒三角体上运动，实现对跷跷板系统的平衡控制。系统结构框图和实物图分别如图4、图5所示。

图4 跷跷板系统框图

Fig.4 The block diagram of seesaw system

图5 跷跷板系通实物图

Fig.5 Object picture of seesaw system

小车跷跷板系统参数如表2所示：

表2 小车跷跷板参数

将其代入系统状态方程矩阵可得：

A=

(19)

(20)

系统的特征方程为det(λI -A)=0，经计算，系统的特征根为2.891 8，-1.255 9，-1.781 7，-21.460 9，系统有一个特征根在复频域的右半平面内，故系统是不稳定的。系统能控矩阵为M=[BABA2BA3B],rank(M)=4，因此系统是可控的。

应用上节所设计的模糊控制器，根据LQR控制理论，针对跷跷板系统，选取Q=diag(1000 5000 0 0)、R=0.5，使用Matlab中的lqr( )函数求得能使跷跷板系统稳定的状态反馈矩阵:

[167.441 8-187.939 515.183 2-59.660 4]

(21)

根据式(20)得到融合函数:

(22)

3.1 仿真实验

在Matlab/Simulink环境下，实现对跷跷板系统平衡控制的模糊控制仿真。设系统初始处于静止状态，xc=0.5,θ=0.15.仿真结果如图6(a) 、(b)所示。为检验所设计控制器的鲁棒性，在系统其它参数不变的情况下，改变小车质量Mc=0.7 kg，在同样的初始条件下系统响应曲线如图6(c) 、(d)所示。

图6 系统响应曲线

Fig.6 Response curves of the system

仿真结果表明：基于融合函数的模糊控制器在改变小车质量前后都能实现对跷跷板的平衡控制，整个过程响应速度快，超调小，并且控制器具有较强的鲁棒性。

3.2 实时控制实验

结合Quanser公司提供的跷跷板软、硬件系统，首先在Matlab/Simulink环境下搭建系统控制结构框图，如图7所示，通过Real-time workshop转换成c语言代码，再编译成可由wincon执行的wcl文件进行实时控制。系统状态变量实时响应曲线可以在wincon scopes中显示和观察。

受实验设备功能限制，进行实时控制实验时，需先将跷跷板置于平衡位置，运行控制算法使系统保持在平衡位置；之后可在跷跷板两侧施加扰动(可用手轻按跷跷板臂)使其倾斜一定角度来检验控制器性能。系统的小车位移和跷跷板倾角响应曲线如图8所示。其中图(a)、(b)为当小车质量Mc=0.57 kg时系统响应曲线，图(c)、(d)为当在小车上添加一个约0.13 kg的配重后的系统响应曲线。

图7 跷跷板实时控制框图

Fig.7 Diagram of seesaw real-time control

实时控制结果同样表明，本文设计的控制器能有效实现对跷跷板的平衡控制，在受到外界扰动后，系统能在3～5 s内复到平衡位置，系统反应速度快、超调小，并且对小车质量等系统建模不确定性等具有良好的鲁棒性。

图8 实时控制响应曲线

Fig.8 Response curves of real-time control

4 结束语

本文针对跷跷板系统，根据拉格朗日方程建立其动力学模型，并在此基础上设计了基于融合函数的模糊控制器。该方法能够有效减少模糊控制器的输入维数，解决了模糊控制算法应用于多变量系统时易出现的“规则爆炸”问题，仿真和实验结果都验证了控制器的有效性，但是在设定模糊规则时，还需一步一步试凑，易受设计人员经验和认知水平限制，如何方便合理的设计模糊控制规则，值得进一步进行研究。

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A Fuzzy Control Method for Seesaw System

ZHANG Zhuo, ZHANG Jing-gang

(School of Electronic Information Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

In view of the seesaw system with the higher-order, multivariable, no-linear characteristics, a fuzzy control method was proposed based on the fusion function. According to the optimal control theory, a feedback gain matrix was obtained, and then a fusion function was built to reduce the input dimension of fuzzy controller efficiently. The rule explosion problem was finally resolved. Both the simulation and experimental results showed that this method could make the seesaw system stable efficiently.

seesaw, fuzzy control, fusion function

1673-2057(2016)06-0447-07

2016-01-24

张卓(1987-)，男，硕士研究生，主要研究方向为计算机测控系统装置。

TP273

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.06.006