用GeoGebra促进学生数学思维的发展

龙正武

“数学是人类思维的体操”，利用数学可以培养人的思维能力，这些都已经是大家的共识。另外，数学思维是一个整体的结构，数学教学应从思维的整体性出发，数学教学要提高教学的理解力，促进学生思维整体结构的发展[1]。在信息技术飞速发展的今天，如何借助有关软件来进行数学教学，帮助学生发展数学思维能力，已经成为广大数学教育工作者十分关注的问题。

GeoGebra是一款结合了几何、代数、微积分和统计功能的动态数学软件，其提供了多种语言支持，已在欧洲和美国荣获多项教育类软件奖项。这一软件近年来也越来越受到了一线教师的关注，得到了广泛的应用和探讨[2][3][4][5]。在试用和探索的过程中，笔者发现，比起过去大家课堂上使用的主流软件，GeoGebra更能促进学生数学思维的发展，更有利于减轻一线中学数学教师制作课件和教学等的负担，下面选取几个案例加以说明。

关于分段函数的教学

函数是中学数学内容中一个非常重要的讨论对象。而分段函数性质的考查，既涉及整体性的考量，又要处理函数局部的特征，因此这一内容一直是教学重点和难点之一。在实际教学过程中，借助分段函数的图像来突破上述重难点是非常有效的教学手段。然而，手工或者利用有关教学软件作出分段函数的图像，一直是比较烦琐和困难的。

例如，如果在课堂上要作出函数的图像，有些教师作出的图像如图1所示，其中用加粗的曲线表示出了分段函数的图像。

不难看出，用这样的图像进行教学会有不理想的地方，因为多余曲线的存在会干扰学生的思维，阻碍学生对分段函数整体性质的理解。

也有些教师是借助符号函数等将函数表达式化为一个，然后借助有关软件实现的。例如，上述分段函数可以改写为：

对于这种方式而言，即使不过分追究其中0的问题，单就分段函数改写的表达式来理解，对学生来说也并不容易。

但如果使用GeoGebra，只需使用“if”命令就可以实现分段函数的显示和作图。例如，对于上述分段函数，只需在命令输入窗口中输入“f（x）=if[x<=0，x2+2x，x2-2x]”，即可得到图2所示图像。

图2中代数区显示的函数表达式，与学生课堂中所见形式是类似的，这无疑也能减轻学生理解上的负担。

动态过程的实现

在一些内容的教学过程中，使用动态效果来让学生加强对有关结论的直观认识，已经是现在数学课堂上不可缺少的一种教学方式。这当然也是培养学生数学思维能力的一种有效手段。比如，为了让学生深刻地理解函数中参数A对函数图像的影响，教师一般都会制作有关动画来动态演示变化过程。

在GeoGebra中，选中“滑动条”之后在绘图区合适的位置单击，即可新建参数，在出现的对话框中可以指定参数的类型（“数字”“角度”“整数”），设置区间的最小值、最大值和增量等。参数建立以后，就可以立即在函数表达式中使用。更加方便的是，右键单击参数后，在快捷菜单中选择“启动动画”，就可以让参数在指定的范围内自动变化，从而产生动画效果。例如，上述三角函数的实现如图3所示。

选择“文件”“导出”“动画GIF”命令后，可以将动画效果导出为GIF图像，以供制作PPT等使用。这对于教师来说，无疑是个非常适用的功能。

空间想象能力的培养

空间想象能力的培养是中学数学教学中一个非常重要的目标。给定空间几何体，要学生画出对应的平面直观图；给定二维的平面直观图，让学生想象出有关空间几何体及其中对象的位置关系等，都是教学中经常要做的事情。在这一过程中，涉及三维与二维相互转化的问题，因此，这也是教学中的一个难点。

例如，空间几何体直观图的斜二测画法中，要求看不见的线应该画成虚线或者不画。在实际的操作过程中，无论是对教师来说还是对学生来说，这都是很容易出错的。但在GeoGebra中，利用其中的“3D绘图区”，只要指定了空间几何体的各个面，那么看不见的线就能自动变为虚线，而且当改变空间几何体的视角时，各线段也能自动在实线和虚线间切换，如图4所示。

另外，在图4所示的立体图形中，显示了球面与棱锥相交之后的截面形状，这些内容的突出显示能提高学生对立体图形中有关几何对象的认识，从而提高自己的空间想象能力。

统计计算和分析

因为统计的有关内容与日常生活的联系非常紧密，而且在社会的各个方面都有应用，因而已经成为现代公民必须具备的知识之一。但是，在中学数学的教学中，因为统计知识所涉及的“随机性”思想与传统数学内容“确定性”的思想区别较大，所以教学和考查都是学生容易出错的地方[6][7]。

统计的内容学生掌握起来比较困难的一个原因在于，其中涉及的计算比较烦琐而且容易出错。学生在学习的过程中，常常过分地关注了其中的计算而轻视了统计思想的理解。

例如，学生对平均值与方差，都知道怎么去算（虽然不一定算得对），但是大多数都不能将其直观意义说出来。再比如，关于线性回归分析的内容，学生往往只是惊叹回归系数公式的复杂和计算的繁杂，而不会仔细去体会回归系数的理论和实际意义。

从这个角度来说，要促进学生统计思维的发展，在教学过程中，不仅要加强有关原理性知识的说明，而且要淡化其中的计算。但计算在统计教学中是不可避免的，离开了计算，学生根本没有机会去直观理解统计的原理，因此借助有关软件来完成统计计算和分析，是发展学生统计思维的必由之路。

利用GeoGebra的表格区，可以方便、快捷地进行有关统计计算和分析，能实现的功能包括“单变量分析”“双变量回归分析”“多变量分析”等。

例如，2、4、5、6、8的单变量分析结果如图5所示，可以看出，分析的结果中将平均数、标准差、最小值、中位数等都一并显示出来了，而且还显示了这组数的直方图。这样就可以让学生的注意力放在原理的理解和掌握上，而不是计算实现的难易程度上。

输入两组数以后，也可以进行双变量回归分析，而且回归模型可以指定为“线性”“对数”“多项式”“幂”“指数”“成长曲线”“正弦”“逻辑回归”等的任何一种，如图6所示。

指定回归模型后，可以直接输入自变量的值，从而得到预测值。

总的来说，GeoGebra的功能非常多，比如可以进行集合运算、排列组合数计算等。例如，利用命令“C=Intersection[A，B]”“D=Union[A，B]”可求得两个集合A、B的交集C和并集D，利用“x=nPr[n，k]”“y=Binomial[n，k]”可求得排列数和组合数，甚至可以利用GeoGebraScript等进行交互式编程，实现数据输入、创建复选框、创建按钮等功能。其能够满足一线中学数学教学中关于代数、几何、函数、概率统计等多方面的要求。但是，教学中任何信息技术的使用，都必须围绕提高教学效率来进行，对中学数学教学来说，尤其是要注意帮助学生发展数学思维。如果在教学过程中，我们能创造性地利用好GeoGebra提供的各种功能，一定能提高一线数学教学的效率。

参考文献

林崇德.智力发展与数学学习[M].北京：中国轻工业出版社，2011.

寇恒清.GeoGebra在高中数学教学中的应用初探[J].数学通报，2015.

李世臣，李淑梅.基于GeoGebra软件环境下一种轨迹曲线的探究[J].中国数学教育，2015（3）.

盘俊春.数形结合的利器：GeoGebra[J].中国信息技术教育，2013（3）.

薛丽芳.一对一数字化学习助力学生成长[J].中小学信息技术教育，2013（6）.

赵小平.高中概率统计教学中的几组概念辨析[J].数学教学，2011（3）.

陈昂，任子朝.课改后统计与概率内容考查研究[J].数学通报，2013.

（作者单位：人民教育出版社课程教材研究所）