《结构力学》内容总结及难点分析

刘宗发+王慧萍+李一凡+徐红玉

摘要：《结构力学》既是材料力学等课程的延伸和深化，又是后续专业课程的重要基础，是一门较为难学的专业基础课。本文通过对比分析的方式，明确结构力学基本概念和原理，理清各部分内容间的关系，指出每种方法学习的重点和难点，以指导学生的学习。

关键词：结构力学；内力图；力法；位移法

《结构力学》是土木工程专业的一门重要专业基础课，要求学生掌握杆件体系内力与位移计算。学习该课程不能靠死记硬背，必须在吃透概念的基础上熟练掌握结构的分析能力。下面归纳总结各部分内容的基本概念、重点和难点，希望能对学生的学习起指导作用。

一、结构的几何组成分析

总体上，可通过下面两种方法来分析平面体系的几何组成特点。

（一）通过计算自由度来进行几何组成分析

需要提醒W≤ 0只是保证平面体系为几何不变的必要条件，此时确定体系是否几何不变，尚需运用几何组成规则进行进一步分析。同时要注意：当只考虑结构体系本身，不存在或不考虑结构的支座时，则体系为几何不变的必要条件是W≤ 3。

（二） 运用几何不变体系的组成规则进行几何组成分析

要掌握并能灵活运用三个组成规则。实际上三规则为同一规则（铰结三角形规律），只是表述方式不同。对体系进行几何组成分析时，要注意：1.三个组成规则对应的限制条件；2.刚片可以是单个杆件，也可以是一几何不变结构部分；3.特别注意复铰、虚铰及无穷远虚铰的特性。

二、静定结构的内力和位移计算

静定结构的内力分析和位移计算是超静定结构及其他问题的分析和计算基础。

（一）静定梁及钢架

1. 内力及内力图。要求熟练计算内力，并掌握用分段叠加法快速绘制内力图。因为这也是结构的强度计算、位移计算、超静定问题的求解、结构的动力计算等方面的基础。

要学会分段叠加法，必须根据荷载和内力间的微分关系，熟练掌握每种典型荷载（无荷载、均布荷载、集中力及集中力偶）作用下的梁段内力图特征。弯矩图要画在杆件受拉纤维的一侧，不标注正负号；而剪力图和轴力图可画在杆件任一侧，但必须标注正负号。尤其要熟练掌握弯矩图的绘制，因为根据静力平衡条件，若取杆件为隔离体，由弯矩图可求出剪力并作剪力图；而由剪力图可求出轴力并作轴力图，所以作内力图（桁架结构除外）最终可归结为作弯矩图。另外，内力求解时要注意定向支座的特性。

2. 位移计算。对于梁和钢架，其主要的内力是弯矩。忽略轴力和剪力的影响，在荷载作用下其位移计算的便捷方法是图乘法。而且在用力法求解超静定结构时，力法方程中系数和自由项也是位移量，也要通过图乘法进行计算。但要注意图乘法的应用条件，同时要特别注意以下几种情况：（1）若有折线段，在转折点处将M图分段来求解；（2）要注意构件刚度的变化；（3）当MP图为复杂图形时，要用叠加法将其拆分开来，依次与M图进行图乘，但要注意正负号的选取。

（二）桁架

在求桁架结构内力时应注意两个问题：一、正确选择结点法或截面法；二是零杆的判断。排查零杆主要有三个步骤：1. 先根据四类特殊结点（L、T、K、X型结点）判断；2. 看题目中结构是否为对称结构，利用对称性的三个结论判断；3. 从有已知力的结点（包括支座与结构连接的结点）进行排除判断。

三、超静定结构的内力计算

力法和位移法是超静定结构计算的两大基本方法。力法分析的思路是将超静定结构转化为熟悉的静定结构来计算，它是位移法的基础。位移法是将结构转化为单跨超静定梁的一种计算方法，它是后续渐进法（如力矩分配法等）和矩阵位移法的基础。

（一）力法和位移法比较

虽然用力法和位移法去计算超静定结构时所依据的原理不同，但二者总体思路和求解步骤类似，建议通过对比分析来加深理解，见表1。

注意在应用力法时，同一超静定结构可以采用不同的方式来解除多余约束，即具有多个不同的基本结构。为了简化计算，可将荷载和单位未知力加于不同的基本结构。

位移法的独立结点角位移数等于全部刚结点和半铰结点的结点角位移数目；而独立的结点线位移可以由如下两个方法来确定：1. 附加链杆法；2. 铰化法。

学习位移法时，要记忆和理解形常数和载常数，以及杆端力及附加约束反力的正负号规定。

（二）位移法方程的两种建立方法

结构力学位移法的典型方程的建立有两种方法：基本体系法和直接平衡法。前者借助基本体系来建立典型方程，和力法的步骤一致；而后者利用杆端力平衡条件直接建立典型方程。

两类典型方程有不同的含义：在基本体系法中，为了消除基本体系与原结构的差别（原结构中无附加约束），需要补充附加约束反力为零的条件，其典型方程中的系数和自由项分别是基本结构在附加约束发生单位位移和荷载单独作用下产生的附加约束处的反力。此时要先利用各杆形常数或载常数分别画出基本体系的单位弯矩图和荷载弯矩图，然后由刚结点的力矩平衡或截面力的平衡方程求得对应系数；而直接平衡法则是利用等截面直杆的刚度方程直接得到基本结构的各个杆件在结点位移和荷载作用下的杆端内力，其典型方程是以杆件为隔离体的力的投影方程、或以结点为隔离体的力矩平衡方程。

（三）位移法与力矩分配法比较

力矩分配法是以位移法为基础的一种渐近解法，求解只有独立结点角位移结构，不需要建立和联立求解方程组。

位移法的思路是先在所有独立结点位移处施加上附加约束，为消除这些各附加约束上由此而产生的附加反力，同时放松各结点（相当于同时去掉所有附加约束）。当有两个以上的附加约束时，就必须联立求解对应的位移法典型方程。与位移法为同时消除各结点附加约束反力而同时放松各结点，从而必须联立求解典型方程的做法不同，力矩分配法每次只放松一个结点（或同时放松若干个不相邻结点），而仍然暂时固定其它结点，这样可消除该结点的不平衡力矩（通过力矩的分配和传递运算），按此方法依次轮流放松各结点，从而逐渐消除各结点的不平衡力矩，得到杆端的实际弯矩。

力矩分配法的关键在于利用形常数和载常数求出固端弯矩以及由分配系数得到传递弯矩。

（四）位移法与矩阵位移法比较

矩阵位移法即“矩阵+位移法”，它是为了适应电算应用而产生的一种结构计算方法。矩阵位移法中的所有公式及运算都以矩阵的形式来表示。矩阵位移法计算杆件结构的总体思路与传统的位移法类似，但具体做法和概念有所区别，见表2。

原始刚度矩阵形成常采用单元集成法，即利用单元定位向量，通过换码重排得到。由于原始刚度矩阵是奇异矩阵，故还需对已知约束进行处理（在位移法中无此内容），主要采用“先处理”做法。结构所受的荷载分为结点荷载和非结点荷载。首先将非结点荷载转换成等效结点荷载，再与对应的结点荷载叠加，形成总的结点荷载。非结点荷载的计算仍然用载常数，但要注意其正方向的设定。铰结点上各杆具有相同的线位移，但截面的转角位移不同；相应地，铰结点连接的杆端不承受弯矩，即杆端弯矩为零。

（五）对称性的利用

要熟练利用对称性来简化结构内力的求解，掌握以下结论：对称结构在对称荷载作用下，对称轴处只有对称的未知力，反对称的未知力为零，且结构的内力图为对称；对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处只有反对称未知力，对称的未知力为零，且结构的内力图为反对称。

四、虚功原理

力和位移是功的两个要素，当力或位移为虚设量时，力在其相应的位移上所作的功能称为虚功，由此导出虚功原理。根据研究对象的变形特性，可分为刚体系虚功原理和变形体虚功原理，它们的虚功方程有所不同。

虚功原理可有两种应用 ：一种是虚设位移，求未知力（虚位移原理）；另一种是虚设力系，求未知位移（虚力原理）。至于虚设位移或力的大小可任意确定，因此可虚设为单位位移或单位荷载，相应地得到单位位移法或单位荷载法。

利用刚体单位位移法把平衡问题转化为几何问题来考虑，从而得到求静定结构影响线的机动法。

利用变形体单位荷载法推导出结构位移计算的一般公式。当具体到梁、刚架在荷载下的位移计算时，可略去了剪力、轴力两项位移量，计算公式进一步简化为：■。当梁或刚架的构件满足条件：构件轴线为直线、EI为常数、M图和MP图中至少有一个为直线图形，此时可用图乘法，使得位移计算由积分问题转化为几何问题，这也是力法求超静定结构内力的基础。

虚设的力的性质必须与位移的性质保持一致才能保证乘积是功。广义力可以是集中力、集中力偶、一对等值反向的集中力或集中力偶等；而与之相对应的广义位移依次是：线位移、角位移、相对线位移或相对角位移等。

五、影响线

影响线研究移动荷载作用下，结构支座反力或内力随荷载位置变化的规律。影响线的基本作法有静力法和机动法。

静力法作静定梁支座反力和内力的影响线时，以单位荷载的位置为变量，通过隔离体的平衡条件建立影响线方程。熟练掌握静定梁支座反力和内力的影响线间的规律和特征。机动法绘制弯矩影响线时，要撤去截面与弯矩相应的约束（将刚结点变成铰结点），让该截面两侧产生单位相对转角；而绘制剪力影响线时，要撤去截面与剪力相应的约束（将刚结点换成定向支座），让该截面两侧产生单位相对竖向位移，此时要保证截面两侧的剪力影响线平行。另外，无论是单位相对转角还是相对竖向位移，都要设置成它们的正方向。

本文通过对比分析结构力学重要内容，指出学习的重点和难点，以加深学生对基本概念的理解，提高对重点和难点重视，促进对该课程的学习和内容的掌握。

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