垂直水平面轴向无旋转时抛出的硬币最终直立的概率

许劭晟

【摘要】众所周知，在处理抛硬币问题时，均以正反面出现的概率为12的情况来处理，而在理论上存在一定的概率使得硬币在抛出后既不是正面也不是反面，而是直立起来.但是这个硬币最终事件的概率足够小，在现实生活中几乎不会出现，因此往往被选择忽视.本文简化了抛硬币的过程，不考虑垂直水平面轴向转动，只在最后一次硬币弹起（或硬币不会弹起）再次接触地面后的情况做出分析讨论.最后通过求出二元随机变量函数的联合概率密度，得出该问题的解.

【关键词】能量守恒；联合概率密度

尽管在实际生活中，我们都默认硬币出现正反面的概率都是12，但是事实上存在一定的概率使得抛出的硬币最后是直立的.下面简化了一下复杂的情况，单从垂直水平面轴无旋转的情形给出硬币最终直立的概率.图1给出了硬币在两种状态下的侧视图，设硬币质量为M，半径为R，假设地面水平，滑动摩擦力足够大（即硬币最后只转动，不平移）考虑硬币最后一次弹起，再次接触地面后，达到状态1，如图所示，根据假设此时硬币不再弹起，故该截面右下角与地面发生碰撞后，速度向量投影到水平方向.若需要硬币直立，则硬币现在的动能与势能和必须小于其在地面上可能获得的最大势能，即成立不等式：

【参考文献】

[1]Papoulis，A.Pillai.概率，随机变量与随机过程[M].陕西：西安交通大学出版社，2012.