发展合情推理，培养创新能力

李云康

创新教育是素质教育的核心，它是教育对知识经济向人才培养提出挑战的回应，是旨在激发学生创新意识、培养学生创新能力的教育.在当前建设创新型国家、全面推动素质教育的背景下，以培养创新精神，为培养人才奠基的创新教育开辟了素质教育研究的新领域.同时《数学课程标准》（2011版）指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践活动中发展合情推理能力和演绎能力，清晰地表达自己的想法.”那如何发展合情推理能力，继而培养创新能力呢？

一、培养和提升与合情推理相关的能力

1959年，波利亚以“数学作为学习合情推理的学科”为题，在美国《数学教师》（The Mathematics Teacher）杂志上发表论文，提出“合情推理”概念，认为在数学研究与数学教学中合情推理占有很重要的地位.随后在《数学与合情推理》第二卷中，进一步阐述了合情推理及其模式.波利亚的合情推理是指借助于归纳、模拟、限定、推广、猜测、检验等思维活动来认识事物、发现真理的推理形式.其英文词是“plausible reasoning”，直译为“似乎可靠的推理”.那么发展合情推理需要哪些具体的能力呢？

（一）发现问题，提出问题的能力

爱因斯坦说过，“提出问题比解决问题更重要”，它“标志着科学的进步”.培养发现问题、提出问题的能力，能激发学生的学习热情，让学生在归纳、猜测、探索中不断地创新.

而丰富的、坚实的基础知识，深刻的论证思维又决定了发现问题、提出问题的敏锐性和深刻性；好奇心，怀疑心，兴趣广泛与好学上进，追求对问题的透彻理解，是观察时发现问题，提出问题的动力.因此在平时的教学中，要奠定扎实的知识基础，注意不断激发学生的好奇心与学数学的兴趣.

（二）观察能力

1.什么是观察？

观察是人们获取信息，发现问题和解决问题的前提，数学家欧拉曾这样评价过观察方法的地位，“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察发现的”.观察是获得科学事实和经验知识的重要方法，在平时教学中，要注意培养在观察事物时从各个不同的侧面考虑问题、周密全面地获得充分的材料，并能用精确的语言和数学符号准确表达观察结果的能力.

2.解题中的观察方法有哪些？

观察在解题中具有重要的作用，反之，解题训练也是培养观察能力的重要手段.

（1）观察条件（或式子）和所求问题的特征.

简单地说，就是建立起联系已知与未知间的桥梁，从而由已知通向未知.如：

例1①运用多项式的乘法计算（x+y）（x2-xy+y2）=，（x-y）（x2+xy+y2）=.

②运用①中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（）（），a3+（2b）3=（）（），x3-8y3=（）（）.

分析观察①中的计算结果x3+y3，x3-y3与原两个因式的关系，特别注意符号特征，再观察②中的题目特征与①中的整个等式相比较，分别确定与①中相应的x与y.

（2）观察数式相应的图像，用数形结合思想解题.

例2下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）五角星，每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断：s与n的关系.

分析方法一：由于每条边上的五角星数包括了两个顶点，若每边按n个计算，则发现重算了三角形三个顶点上的三个，所以归纳得出：s=3n-3.

方法二：由图观察可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，并发现前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=kn+b，根据图1、图2中的条件就能求出k，b的值，再验证是否满足图3的条件.

解设s=kn+b，把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得

2k+b=33k+b=6，解得b=-3k=3，∴s=3n-3.

经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3，所求s与n的关系为s=3n-3.

（3）观察隐含条件.

题目中的隐含条件，往往是解题是否正确的关键，我们要引导学生善于观察、发现、利用题目中的隐含条件.如：

例3①计算下列各组算式并观察它们的共同特点.

7×9=11×13=79×81=

8×8=12×12=80×80=

②从以上的算式中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性.

分析在这类题中除了要观察算式的特征，还要注意在①的计算结果中其实隐含了一个条件，即下面一行算式的结果比上一行的要大1，观察到这一隐含条件就不难得出规律.

（三）归纳能力

1.什么是归纳？

归纳是从多个个别事例中推演出同一类事物的一般性结论的思想方法，其基础是观察与实践，它的一般模式是：x1具有性质p，x2具有性质p，x3具有性质p，…，xn具有性质p.{x1，x2，x3，…，xn}是集合A的真子集，推测集合A的任一元素具有性质p.

归纳是人们寻找真理和发现真理的重要手段.但归纳与演绎推理是不同的，一方面因为在任何事实中包括某一种一般性，这使归纳结果具有某种可靠性；另一方面又因为任何个别都不能完全代替一般，因而归纳的结果也可能是错误的.归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法，因此，在利用归纳法的时候，要注意检验结果的正确性.在我们初中数学解题中，用的一般是不完全归纳法.

不完全归纳法是通过对一类事物的部分对象的考察，从中做出有关这一类事物的一般性结论的猜想方法.其过程可归纳为：观察、实践→推广→猜测一般结论.

2.归纳的两个作用是什么？

（1）用归纳法发现问题的结论.

在解题中一般由个别的情况直接归纳、猜测结论，并对结论进行必要的证明.

例4计算：①11-2=3；②1111-22=33；

③111111-222=333；④11111111-2222=3333.

请根据上述规律写出下式的结果：

11111…112n个1-2222…22n个2=….

分析从①至②式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数.

解11111…112n个1-2222…22n个2=33…3n个3.

说明解此类题目关键是正确观察分析、归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关系，再从特殊推广到一般.

（2）用归纳法发现解决问题的途径.

我们往往从几个个别问题的处理方法中归纳出一般问题的处理方法，即发现解决一般问题的途径.如：

例5一个面积为S的等边三角形，先将其三个边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图4所示）.

（1）当n=5时，共向外作了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为.

（2）当n=k时，共向外作了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为（用含k的式子表示）.

分析从当n=3，n=4，n=5的这几种特殊情况中，发现每条边向外作了n-2个小三角形，那当n=k时，也是同样的思考方法，于是得出当n=k时，有3（k-2）个.同样，每个小三角形的面积根据相似三角形的面积比与边长比的关系可得出n=5时，为125S，由同样的解题方法，可得出n=k时的所有小三角形的面积和为3（k-2）k2S.

解这类题只要找出特殊情况下的解题方法，整道题就迎刃而解了.

（四）猜测（或猜想）能力

数学猜测是指依据已知事实和数学知识，对研究的对象和数学问题进行实验、观察、归纳、类比、联想后，对未知的量和关系做出的一种预测性的判断，这是一种创造性的思维，当然猜测要让学生做到猜之有理，猜之有据，不要主观臆造，胡乱猜.

波利亚说：“数学也许往往像是猜想游戏，在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想证明的主导思想.”这句话说明了猜想的两个重要作用：发现数学真理和解决数学问题的有效途径.在解题中，就要引导学生根据已知条件，在观察、归纳的基础上，大胆猜测寻求题目的结论，或猜测探索解题的方向与方法等等.

二、合情推理的应用与教学

当然，在教学中，观察、归纳、猜测的思想并不是截然分开的，相反，它们在解题中，是在观察的基础上归纳、猜测，而后又继续观察，甚至再归纳、猜测，这是一个交互与并用的过程.波利亚说过：“通过观察和比较数学中合情推理的例子，就有可能获得关于归纳推理的一些知识.”因此，在教学中我们可以这样做：

（一）在新课教学的定义教学中，提升观察、归纳、猜测的思想与能力

在教材中，许多定义的得出都为我们安排了观察、归纳的内容：

如一元一次不等式的教学：观察下列不等式：①x<4；②3

这时我们可以留一些时间让学生观察、比较、分析、归纳它们的共同特点，从而自己发现一元一次不等式的概念，这也是让学生经历知识的发生过程，由学生自己发现新知识，主动地建构知识，从中获得创造的喜悦.类似的定义教学即使教材中没有安排观察、归纳的内容，我们也可以创造性地使用教材，创设让学生观察、归纳、猜测的环节，让学生不断提升这方面的能力，大胆地进行创新.

（二）在新课教学的定理、法则教学中，培养观察、归纳、猜测的能力

如，“整式乘法和因式分解”中的同底数幂的乘法法则、除法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则等，都是先从几个个别的例子出发，这时就可让学生充分观察这几个个别例子的计算结果，你发现了什么？你能归纳出什么结论？你还能做什么猜测吗？

若学生在学习中习惯了运用这一思想方法，就能很自然地运用于平时生活与解题中，从而达到自觉创新的目的.

（三）在解题中培养观察、归纳、猜测的能力

解题是思想方法运用的舞台，掌握思想方法能让我们更迅速，敏捷地解题，相反，在解题中能不断地提高观察、归纳、猜测的能力，在解题中可以观察、归纳、猜测题目的结论，或是解题的方向与方法等等.

例如图5，△ABC中，A1，A2，A3，…，An是边AC上不同的n个点，首先连接BA1，图中有3个不同的三角形，再连接BA2图中共有6个不同的三角形.

①连接到An时，请用n的代数式表示图中共有三角形的个数.

②若出现45个三角形，则共需连接多少个点？

分析我们需通过观察个别情况，归纳出解题途径与方法，由图可知，当AC上有1个点A1时，连接点B，所得三角形的个数为（2+1）个；当AC上有2个点A1，A2时，分别连接点B，所得三角形的个数为（3+2+1）个；当AC上有3个点A1，A2，A3时，分别连接点B，所得三角形的个数为（4+3+2+1）个；……由此可以归纳、猜测出：当AC上有n个点A1，A2，A3，…，An时，分别连接点B，所得三角形的个数为[（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1]个.

解①当连接到An时，所得三角形总个数为：

（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+4+3+2+1

=[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+…

=[（n+2）+（n+2）+…+（n+2）]n+12个（n+2）

=（n+1）（n+2）2

②由题意，得（n+1）（n+2）2=45.

原方程化为：n2+3n-88=0，

即（n+11）（n-8）=0，

∴n=8或n=-11（负值不合题意，舍去）.

答：当出现45个三角形时，共连接8个点.

解决此类题，关键是从个别情况中，归纳出一般情况下的解题方法与结论.

又如，（太原中考题）如图6，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，当CECD=12时，求AMBN的值.

类比归纳，在图中，若CECD=13，则AMBN的值等于.若CECD=14，则AMBN的值等于.若CECD=1n（n为整数），则AMBN的值等于（用含n的式子表示）.

解决此题，在图中，可连接BM，EM，设AM=y，可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y=14，而在三角形ENC中，设BN=x，则（2-x）2+1=x2，可得x=54，所以AMBN=15.同理，在CECD=13，CECD=14时，可观察发现也能用这一方法很快得出答案为25，917.但这时思考，它们的答案是否有什么规律呢？还是没有规律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一种情况是不太可能的，那就肯定能归纳出一种规律.于是引导学生观察、归纳这三个答案的规律：15，25，917，这三个分数分别与对应的12，13，14相联系观察、归纳，可发现第一与第三个，与对应的分数有共同的特点，分母是已知比值分母的平方加1，那第二个答案是否也符合这一规律呢？从而想到把25转化为410，分母确实也符合这一规律，再观察分子，分别是对应分数的分子减1的差的平方.由此归纳得出，最后一小题的答案为（n-1）2n2+1.此题的解决充分显示了观察、归纳、猜测在探索解题思路、解题结论中的作用.

总之，数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于我们教师，能提高教学效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件，提升教学水平和业务水平.对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题而且能使学生在掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法.