例谈“1”的妙用

胡红凌

【摘要】在中学数学解题中，若巧妙地用“1”，往往会给问题的解决带来极大的方便，本文从不等式，三角函数，几何，向量等六个方面，浅谈“1”的妙用.

【关键词】中学数学；数学解题；1

牢记几种不等式中“1”的妙用模型，可以减少思维的纠结，时间的消耗.

一、基本不等式

例1已知a>0，b>0，且a+4b=1，求1a+1b的范围.

解∵a>0，b>0，a+4b=1，

∴1a+1b=1a+1b（a+4b）

=1+4+ab+4ba

≥5+24ba·ab

=9，

当且仅当4ba=ab时取“=”，即a=2b，

∴b=16，a=13时取“=”.

二、与三角函数的结合

例2已知0

分析难点在于挖掘隐藏条件“sinx+（1-sinx）=1”，并进行“1”的妙用.

解∵x∈0，π2，∴sinx>0，1-sinx>0，

∴f（x）=1sinx+20091-sinx

=1sinx+20091-sinx[sinx+（1-sinx）]

=1+2009+1-sinxsinx+2009sinx1-sinx

≥2010+22009.

当且仅当1-sinxsinx=2009sinx1-sinx时取“=”.

三、与解析几何的结合

例3已知直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（a，0）、B（0，b）两点，且满足2a+1b=1，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为.

解∵a>0，b>0，2a+1b=1，

∴S△=12ab=12ab·2a+1b

=12（2b+a）

=12（a+2b）·2a+1b

=122+2+4ba+ab

≥124+24ba·ab

=12（4+4）

=4.

当且仅当4ba=ab即a=2b时取“=”.∴Smin=4.

四、不等式与向量的结合

例4设M是△ABC内一点，且AB·AC=23，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积.若f（M）=12，x，y，则1x+4y的最小值是.

解设AB=c，AC=b，∠BAC=30°

则AB·AC=b·c·cos30°=23，

∴bc=4.

又∵m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，

∴m+n+p=S△ACB=12bc·sinA=1.

若f（M）=12，x，y，则12+x+y=1，即x+y=12，

∴2（x+y）=1，

∴1x+4y=1x+4y·2（x+y）

=2+8+2yx+8xy

≥10+22yx·8xy

=18.

当且仅当y=2x时取“=”.

五、不等式与应用题的结合

例5在下面等号右侧两个分数的分母处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1=1[]+9[]，则这两个数分别是.

解设1=1x+9y，x∈Z+，y∈Z+，

∴x+y=（x+y）1x+9y

=1+9+yx+9xy

≥10+2yx·9xy

=16.

当且仅当yx=9xy时取“=”即y=12，x=4时取等号.

六、不等式与参数相结合

例6设a、b、c都是正数，且a、b满足1a+9b=1，以使a+b≥c恒成立的c的取值范围.

解∵a、b、c都是正数，1a+9b=1，

∴a+b=（a+b）·1a+9b

=10+ba+9ab

≥10+2×3

=16.

当且仅当ba=9ab，即b=3a时“=”成立.

∴a+b≥16，要使a+b≥c恒成立，只需0

∴c的取值范围是（0，16].

【变式】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：1a+1b+1c≥9.

证明∵a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，

∴1a+1b+1c=1a+1b+1c·（a+b+c）

=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc

≥3+2ba·ab+2ca·ac+2cb·bc

=9.

当且仅当a=b=c时取“=”.

通过以上例子不难看出，涉及“1”的问题中若能重视“1”的灵活运用，可以起到“一”点通的妙效.