函数基本活动经验初探

舒晓懿

【摘要】2011年版的《义务教育数学课程标准》在其第二部分课程目标中明确提出“四基”，成为2011年版的《义务教育数学课程标准》的一大亮点.《普通高中数学课程标准（修订）》拟将提出数学基本活动经验，它将与基础知识、基本技能、基本数学思想一起构成高中数学的“四基”.本文将探究函数中具有的函数基本活动经验.

【关键词】函数；活动；经验

一、基本活动经验之一：研究函数问题，定义域优先

y=f（x）是函数，y-f（x）=0是方程，分析函数或者方程首先要关注讨论的对象——自变量.定义域优先指的是研究函数问题时，首先应明确函数的自变量是什么，其范围是多少，是连续的还是不连续的等.

例1函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x-1）都是奇函数，则（）

A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数

解析f（x+1）、f（x-1）都是奇函数得函数f（x）关于点（-1，0）、（1，0）对称，类比三角函数得f（x）=f（x+4），即得函数关于点（-3，0）对称，选C.

上述的解法涉及的知识点是图像平移、类比三角函数性质，从函数的角度如何求解呢？从函数的自变量与变量角度解读，奇函数的代数特征为：自变量互为相反数，其函数值互为相反数；其几何特征为：点（x，f（x））与点（-x，-f（x））在函数f（x）图像上，并关于原点对称.

本题另解为：f（x+3）=f[（x+2）+1]

=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）

=f[（x-2）+1]=-f[-（x-2）+1]

=-f（-x+3）

二、基本活动经验之二：研究函数问题，其图像优先

y=f（x）是函数，y-f（x）=0是方程，其联结的桥梁是函数图像.函数图像能够直观形象地表示函数自变量与变量关系的变化情况，生动地表现出函数图像的动态，可以帮助我们理解抽象函数关系的意义，同时函数图像又是运用数形结合思想方法的基础，利用函数图像可以更好地研究函数的性质.

例2已知f（x）=13x3+（2+m）x2-x在（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围.

解∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1且函数y=f（x）在（1，3）上不是单调函数，

∴函数y=f（x）在（1，3）上存在极值点.

生1：求出f′（x）=0的根，转化为求不等式；

生2：由零点存在性定理得：f′（1）f′（3）<0；

生3：分两类：①函数y=f（x）在（1，3）上存在两个极值点，②函数y=f（x）在（1，3）上存在一个极值点；

生4：∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1的图像开口向上且过定点（0，-1）.

∴函数y=f（x）在（1，3）上只存在一个极值点.

∴f′（1）f′（3）<0.

从解法的运算量来说，生4的解法最优，其根本原因是生4结合了图像特征判定“导函数在（0，+∞）上只有一个零点”，而生3没有分析导函数的图像，虽然对零点存在性定理理解较好，但陷入了复杂的分类讨论.

三、基本活动经验之三：研究函数问题，其性质优先

函数三要素可以简化为二要素：定义域、对应法则.在求解函数试题时，通过研究函数的解析式，对函数形成整体把握有利于解题，尤其是在求解一些较难的试题时，对函数性质的研究往往能找到解题的切入点.

例3设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

先看命题者给出的解法（主要讨论第二问）：

法1（2）若a>12，由于x≠0时，ex>x+1，

可得e-x>-x+1，e-x-1>-x，

所以，-2ax<2a（e-x-1），

f′（x）

∴当x∈（0，ln2a）时，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）12时f（x）≥0在x≥0 上不恒成立.

综上所述：实数a的取值范围为-∞，12.

根据高中导数教学现状，这道题的一般性的思考流程应为：求导函数—解f′（x）>0—讨论f（x）的单调性—解f（x）min>0，本题给学生设置的障碍是不能求解f′（x）>0.怎么办？我们认为，不能求解f′（x）>0时，应基于经验转而研究导函数f′（x）的性质.

法2令g（x）=f′（x）=ex-1-2ax，

∴g′（x）=ex-2a，由x≥0得ex≥1，

∴当a≤12时，g′（x）≥0恒成立，

即g（x）=f′（x）=ex-1-2ax≥g（0）=0恒成立；

当a>12时，g′（x）=ex-2a存在零点x=ln2a，函数g（x）=f′（x）在（0，ln2a）上为减函数，在（ln2a，+∞）上是增函数，且g（0）=0，

∴当x∈（0，ln2a）时，g（x）=f′（x）<0，而f（0）=0，

于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）

即a>12时f（x）≥0在x≥0上不恒成立.

本题解法涉及了二次求导，高考后引起了激烈的讨论，有部分教师认为超纲，其实从研究函数性质的角度是没有超纲的，用导数研究函数性质是一种通性通法.