利用图像等式表征，增进学生理解和倍、差倍关系应用问题

钱满

“和倍、差倍”问题是具有典型意义的一类数学问题，因为大家都认为“比较难”，没有进入传统教材中作为一般学习的要求，但是浙教版《数学》三年级上册的教材对两步计算的应用问题中的“求倍求和”问题做了重点的教学.那么学生解决这类问题的真实情况如何？上学期我们教研组着重从画图法入手，借助画图这个“拐棍”来帮助学生提高解决和倍、差倍问题.我们发现，教师重视了画图法的教学后，学生在解决单一的和倍、差倍问题时，大部分孩子愿意通过画图来分析、理解题意，解决问题.这样一来，大大提高了学生解题的正确率，也提高了学生解题、析题的能力.但是，课本P66页整理与应用二【2】又出现了用图形推算表示和倍、差倍关系的知识，学生无法把这个知识和已经学过的和倍、差倍关系知识联系起来，再加上图形推算对学生来说也是一个难点，独立教学，我们教得焦头烂额，学生还是一知半解.在教学此类应用问题时，能不能把这一块图像等式表征应用问题的知识与我们的画图法相结合，并通过图形等式推算解决这类问题呢？当时因为时间紧，没有深入展开研究.这学期，需要进行应用问题过关检测，“和倍、差倍”问题也是其中一块重要的内容之一.于是，我们就重新思考了这个问题，就此我们开展了教学研究.

学生在三上已经学习过“求倍求和、求倍求差”问题了，因此对三年级1、2两班共84人进行了一次测试，测试题如下：

1.看图列式计算

①②

2.解决问题

①大客车有7辆，小轿车的辆数是大客车的7倍，大客车和小轿车一共有多少辆？大客车比小轿车少多少辆？

②大客车和小轿车一共有56辆，小轿车的辆数是大客车的7倍，大客车和小轿车各有多少辆？

③小轿车比大客车多42辆，小轿车的辆数是大客车的7倍，大客车和小轿车各有多少辆？

3.求各图形所表示的数

①☆×3+☆×5=216②△×7-△×2=120

③○=3×□○+□=240

学生独立完成测试题后，我们对学生的答题情况进行了统计分析：

123

①②①②③①②③

正确人数5546763935707449

正确率65.5%54.8%90.5%51.2%41.6%83.3%88.1%58.3%

从以上表格中我们可以看出，“和倍、差倍”问题以线段图的形式出现比较有利于学生解题，同时也明晰了倍数与份数，份数与具体量之间的对应关系.但同样的题，只有纯文字，没有呈现线段图时，一半左右的学生能将这类问题转化成图，利用图来帮助解题，但也有一部分学生对于将文字应用问题转化成图还存在一定的困难，还需要我们加强引导.另外我们也发现，学生对于图形等式推算掌握还是比较理想的，特别是①、②两题.第③题的错误主要出现在代入这个环节，有部分学生一时想不到.用图像等式表征应用问题的数量关系，并通过图形等式推算解决这类问题时，图形等式推算方法的学习与技能训练是一个重要基础.

在后续的访谈中，一部分学生觉得这类题目还是有些难度，问他们这些题是否是同类题时，学生的回答不确定居多，可见在学生的思维里还没有成功建构“和倍、差倍”问题的模型，有待我们加强训练.针对这些问题，我们展开了课堂教学研究.

教学预案

在○里填运算符号：

★÷=15÷=20

★=○15=○20

一、初识“和倍、差倍”问题

1.建构模型

①独立完成，并观察特点.

你能说说两个图形之间的关系吗？（引导学生用谁是谁的几倍来表示数量之间的关系.）

②总结：这样的等式能告诉我们两个数之间的倍数关系.

2.模型应用

①独立思考并解题：

□×6+□=315

☆×6-☆=315

你能解决这样的图形等式吗？说说你是怎么解答的？

②出示：△+○=504

现在你能解决这一题吗？等式的两个部分还能合并吗？为什么？那你认为该怎么办？

预设：图形一样、增加一个等式.

出示：△=○×5，现在你能解决了吗？

那如果告诉你△÷○=5呢？

③总结：原来我们可以用替换的方式解决这样的图形等式.

④巩固练习.

3.概括“和倍、差倍”问题

①出示：△÷○=5△+○=504

你能根据等式说说△和○之间的数量关系吗？

②出示：○÷□=4○-□=135

这样的等式你能说说它们的数量关系吗？

③总结：这样的等式告诉我们两个数的倍数关系，以及这两个数的和或差.其实它们就是我们以前学过的——“和倍、差倍”问题.

二、再探“和倍、差倍”问题

1.编题

①出示：◆÷☆=3◆-☆=90

如果◆代表故事书，☆代表科技书，你能根据刚才说的数量关系来编一道应用问题吗？

②结合学生回答，呈现线段图.

能解决刚才编的题了吗？结合图形等式解答.

2.观察并沟通线段图与图形表征之间的关系

科技书（☆）

故事书（◆）

能找到它们之间的关系吗？

总结：“和倍、差倍”问题除了用画图法能帮助我们解题，还可以利用图像等式表征的形式，用图形等式的方法来解决.

3.独立练习

出示：售出的冰红茶比桃汁多96瓶，售出的冰红茶是桃汁的4倍.售出的冰红茶、桃汁各多少瓶？用▲表示冰红茶售出的数量，用●表示桃汁售出的数量.

▲÷●=4▲-●=96

4.迁移，研究用图形等式的方法编题、解决和倍问题.

三、课堂小结

上完课后，我们又马上跟进了后测，测试题如下：

1.列式计算各图形所表示的数

①△÷○=3②△÷○=4

△+○=124△-○=123

2.用图形等式的方法解决问题

①同学们共做了红花和黄花270朵，红花的朵数是黄花的2倍.红花和黄花各做了几朵？

②奶油糖比水果糖多132颗，奶油糖的数量是水果糖的4倍.奶油糖和水果糖各有几颗？

3.根据下面的等式，你能编一道应用问题吗？

□÷☆=4□+☆=125

根据学生的答题情况，我们进行了分析，数据如下：

123

①②①②

正确人数8078696449

正确率95.2%92.9%82.1%76.2%58.3%

从后测情况可以看出，“和倍、差倍”应用问题用图像等式形式表征出来，再利用图形等式推算来解决，学生还是有能力掌握的.学生的思维里已清晰地构建了“和倍、差倍”问题的模型，它大大降低了学生的学习难度，并且在系统训练后掌握得比较好.课后也访谈了部分学生，他们说以前总认为这是两类题，第二类图形推算甚至更难，但现在学了以后，发现它们之间是有联系的，这样就比画图更简洁明了，计算也非常方便.

利用代数思维的解题方式来解决问题，是浙教版编排中的一大特色，也占了很大的比重.对中低段的学生来说，我总觉得用代数思维来解题，他们会比较难理解.但通过用图像等式表征“和倍、差倍”问题，利用图形等式推算来解决这类问题，我惊喜地发现学生对于代数思维方式是完全可以接受的，也更有利于学生找到对应关系.其次，用图形等式表征的形式，它使一个逆向的数量关系得以正向的表达，不仅使学生在解决“和倍、差倍”问题时的思维过程更加简单，也有助于学生构建“和倍、差倍”问题的数学模型.从孩子的编题情况来看，说明有一半以上的孩子已经基本理解这类问题的基本结构了.当然这个方式，它也有一定的局限性，在以后的教学中，我们还将继续去研究、去发现.