一类非线性微分方程的非振动解的渐近性

2016-12-23苏丹

长春师范大学学报 2016年12期

关键词：有界连续性情形

苏丹

(岭南师范学院基础教育学院数学系，广东湛江 524037)

一类非线性微分方程的非振动解的渐近性

苏丹

(岭南师范学院基础教育学院数学系，广东湛江 524037)

非线性微分方程；非振动解；渐近性

1 引言与引理

近年来，人们对多种类型微分方程解的渐近性进行了研究[1-5].其中，对方程的研究可参考文献[2]；对方程的研究仅见文献[5].

引入函数

同时，有T∈R+=[0,+)，.

证明不失一般性，假定存在t1≥t0，当t≥t1时，有y(t)>0(y(t)<0时的情形可类似证之)，则存在t2≥t1,使得t≥t2时,有y(Δ(t,y(t)))>0，由方程(S)和(H2)知：

(a(t)φ(y′(t)))′=f(t,y(t),y(Δ(t,y(t))))>0.

所以存在t3≥t2,当t≥t3时，r(t)φ(y′(t))最终为严格递增的常号函数.

2 主要定理及证明

(2.1)

证明不失一般性，假定存在t1≥t0，当t≥t1时，有y(t)>0(y(t)<0时的情形可类似证之)，首先假设(2.1)成立，即存在c>0，T0≥t1和θ2>0，当t≥T0时，有

定义Banach空间BC[T-1,R)如下：

定义算子S1:D1→C([T-1,),R)如下：

对∀y∈D1，由(H5)可知，存在正常数θ2，当t≥T-1时，有

易证S1(D1)⊂D1.下面需证S1在D1内的连续性与S1(D1)在C([T-1,),R)内是相对紧的.

当t≥T时,有

因此，由函数f,Δ的连续性及反函数的连续性，再由勒贝格控制收敛定理，可知在[T,)的每个紧子集上有序列一致收敛于S1y.

对于t∈[T-1,T],由算子S1的定义可知S1的连续性.

关于S1(D1)在C([T-1,),R)的紧性，只需证当⊂D1时序列在的每个紧子集上是一致有界且等度连续的.

首先，由S1(D1)⊂D1，且D1为C([T-1,),R)的有界集，所以S1(D1)一致有界.接下来考虑序列在上的等度连续性.

当t1,t2∈[T,)时，有

由于yn∈D1，再结合(H5)，可得

当t1∈[T-1,T),t2∈[T,)时，由

(S1yn)(t2)-(S1yn)(t1)=(S1yn)(t2)-(S1yn)(T)+(S1yn)(T)-(S1yn)(t1).

由Schauder-Tychonoff不动点定理知，存在y∈D1，使得S1y=y.因此有

相反地，y(t)是方程(S)的有界非递减正解，那么

即

对上不等式从T0到t进行积分且t→，可得

定理2 若假定(H1)～(H3)和(H6)成立，且有

(2.2)

(1)若常数m>1，有

(2.3)

那么方程(S)的每一个非递减解的绝对值满足当M>1，t→时，有成立.其中s.

(2)若方程(S)的每一个非递减解的绝对值满足当M>1，t→时，有成立，那么存在常数m>1，使得

(2.4)

证明不失一般性，存在T0≥t0,当t≥T0时，有y(t)>0.(y(t)<0时的情形可类似证之)，首先假定(2.3)成立，可知存在T1≥T0和m1>0，当t≥T1时，有

y(t)→mR(t,t0).

因此(2.4)满足.

(2.5)

证明不失一般性，假定存在t1≥t0，当t≥t1时，有y(t)>0(y(t)<0时的情形可类似证之)，首先假设(2.5)成立，即存在c>0，T0≥t1和θ1>0，当t≥T0时，有

因此，方程(S)有一个非递增正解.

下面断言L=0，若不然L<0，因此

对上不等式从T0到t进行积分，可得

对方程(S)从t到进行积分，存在θ1>0，使得

因此

即

因此(2.5)式成立.

3 应用

例3.1 考虑方程

((y′(t))2n+1)′+y(t)2n+1=0，t≥t0>0.

(3.1)

令a(t)=et,f(t,y(t))=y(t)，此方程满足定理1中的条件，且方程(3.1)有正解y(t)=e-t.

[1]Tsang-Hwai Hwang,Horng-Jaan Li,Chen-Chih Yeh.Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of second order differential equations[J].Computer & mathematics with applications,2005(50):271-280.

[3]Wong P.J.Y,Agarwal R.P.Oscillatory behavior of solutions of certain second order nonlinear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1996(2):337-354.

[4]Wan-Tong Li.Oscillation of certain second-order nonlinear differential equations[J].J.M.A.A,1998(217): 1-14.

[5]Xiang-yun Shi,Xue-yong Zhou,Wei-ping Yan.The asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of some nonlinear dynamic equations on time scales[J].Advances in Dynamical Systems and Applications,2006(1):103-112.

Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of Certain Nonlinear Differential Equations

SU Dan

(Department of Mathematics of Basic Education College of Lingnan Normal University, Zhanjiang Guangdong 524037,China)