一类非线性离散系统多个周期解存在性的新结果

覃学文，苏 芳

(梧州学院信息与电子工程学院，中国 梧州 543002)



一类非线性离散系统多个周期解存在性的新结果

覃学文，苏 芳*

(梧州学院信息与电子工程学院，中国 梧州 543002)

应用临界点理论，获得一类离散非线性系统存在多个周期解的条件.本文结论对一些文献的结论作了一些改进.

非线性；离散系统；多个周期解；临界点理论

设N, Z和R分别表示自然数集、整数集和实数集，对任意a,b∈Z,a

考虑下列离散系统

Δ[p(k)ΔX(k-1)]+q(k)X(k)=f(k,X(k))，

(1)

其中n∈Z,X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T∈Rn, ΔX(k)=X(k+1)-X(k)是前向差分算子，而f:Z×Rn→Rn，f(k,U)=(f1(k,U),f2(k,U),…,fn(k,U))T关于U是连续的，p(k),q(k) 是定义在Z上的实值函数, 对任意k∈Z，p(k)是非零的.本文假设存在常数T∈N，使对任意k∈Z,U∈Rn，有p(k+T)=p(k),q(k+T)=q(k),f(k+T,U)=f(k,U).

近年来，关于非线性离散系统周期解存在性问题有许多学者进行了研究，取得了一定的成果，参见文献[1～16].文献[1]讨论了系统：

Δ[p(k)Δu(k-1)]+q(k)u(k)=f(k,u(k)),k∈Z.

(2)

这是系统(1)当n=1的情形.文献[2]讨论了系统

Δ2X(k-1)+f(k,X(k))=0，k∈Z.

(3)

周期解的存在性.显然，系统(3)是(1)当q(k)=0，p(k)=-1，k∈Z的情形.

1 预备知识与变分结构

引理1.1(环绕定理)[6]设H是一个实Hilbert空间，H=H1⊕H2，其中H1是H的有限维子空间.假设J∈C1(H,R)满足Palais-Smale条件，并且下列的条件成立：

(J1)存在常数ρ>0及a>0，使得J|∂Bρ∩H2≥a；

(J2)存在e∈∂B1∩H2，以及R0>ρ，使得J|∂Q≤0，这里Q⊕{re|0

设

S={X={X(k)}k∈Z:X(k)∈Rn,k∈Z}.

其中X={X(k)}k∈Z={…,X(-k),X(-k+1),…,X(-1),X(0),X(1),…,X(k),…},

对任意X,Y∈S,a,b∈R，定义aX+bY

则S是一个向量空间.

定义S的子集ET

ET={X={X(k)}k∈Z∈S:X(k+T)=X(k),k∈Z}.

在ET中定义

(4)

(5)

在这里，(·,·)表示Rn中的内积，X={X(k)}k∈Z,Y={Y(k)}k∈Z∈ET，而

X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T,Y(k)=(y1(k),y2(k),…,yn(k))T,

显然，〈·,·〉ET和‖·‖ET可分别作为ET的内积和范数.

作映射L:ET→RnT：

L(X)=(x1(1),…,x1(T),x2(1),…,x2(T),…,xn(1),…,xn(T))T.

其中X={X(k)}k∈Z∈ET，X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T. 那么L是一个线性同构变换，从而(ET,‖·‖ET)是一个nT维Hilbert空间，且有

定义ET上的泛函J

(6)

那么J∈C1(ET,R)，且对任意X∈ET，注意到X(0)=X(T),X(1)=X(T+1)，容易计算得它的Fréchet导数为

因而，X∈ET是泛函J在ET上的临界点当且仅当

-Δ[p(k)Δxj(k-1)]-q(k)xj(k)+fj(k,X(k))=0j∈Z(1,n)，k∈Z(1,T),

即

Δ[p(k)ΔX(k-1)]+q(k)X(k)-f(k,X(k))=On,k∈Z(1,T),

即是系统(1)的解. 这样，就把系统(1)的周期解存在性问题转化为系统(1)在ET上临界点的存在性问题.将J(X)改写为

(7)

其中

(8)

显然，K+W是实对称矩阵，它的特征值都是实数.文献[3]给出了系统(1)存在多个周期解的条件，得到如下结果：

定理A设λmax和λmin分别是矩阵K+W的最大和最小特征根.假设下列条件成立：

(p1)对任意k∈Z(1,T)，有p(k)>0.

(q1)对任意k∈Z(1,T)，有q(k)≤0，且至少存在一个k0∈Z(1,T)，使得q(k0)<0.

那么系统(1)至少存在两个非零T-周期解.

当q(k)=0时，系统(1)变为

Δ[p(k)ΔX(k-1)]=f(k,X(k)).

(9)

文献[4]给出了系统(9)存在多个周期解的条件，得到如下结果：

定理B设λmax和λmin分别是矩阵K的最大和最小特征根.假设下列条件成立：

(p1)对任意k∈Z(1,T)，有p(k)>0

那么系统(9)至少存在两个非零T-周期解.

在定理A的条件下，矩阵K+W是正定的，而在定理B的条件下，矩阵W=0，矩阵K是半正定的.

上述两个定理可认为是文献[1]一些结论的推广和改进.

2 主要结果

本节将给出系统(1)存在非零周期解的几个条件.

则系统(1)至少有两个不同的非奇异周期解.

证 设

则对任意U∈Rn，有

(10)

这里，α3=α2+γ>0.

设K+W的特征值为λ-s,λ-s+1,…,λ-1,λ01,λ02,…,λ0s,λ1,λ2,…,λt，且

其中r+s+t=nT.

先证明J(X)满足P-S条件.

再证明引理1中的条件(J1)，(J2)也满足.

设λ-i对应的特征向量为ξ-i，i∈Z(1,r)；λ0j对应的特征向量为ξ0j，j∈Z(1,s)；λk对应的特征向量为ξk，k∈Z(1,t)，且

而(ξ-p,ξ0q)=0，p∈Z(1,r)，q∈Z(1,s)；(ξp,ξ0q)=0，p∈Z(1,t)，q∈Z(1,s)；(ξ-p,ξq)=0，p∈Z(1,r)，q∈Z(1,t)；

则RnT=P-⊕P0⊕P+，而P0=(P-⊕P+)⊥，P-=(P0⊕P+)⊥，P+=(P-⊕P0)⊥

设L-1(P-)=E-，L-1(P0)=E0，L-1(P+)=E+，则ET=E-⊕E0⊕E+，而E0=(E-⊕E+)⊥，E-=(E0⊕E+)⊥，E+=(E-⊕E0)⊥.

显然，有

(11)

(K+W)L(X)=OnT，X∈E0；

(12)

(13)

对任意X∈∂Bρ∩H2=∂Bρ∩E+，由条件(P1)，有

引理1中的条件(J1)成立.

此外，对任意X∈ET=E-⊕E0⊕E+，有

选择h1=id，显然h1∈Γ，因此

这意味着

综上所述，J(X)在ET上必存在至少两个不同的的非零临界点，从而系统(1)存在至少两个不同的非零周期解.

定理1对定理A和定理B作了改进，去掉了定理A和定理B的条件(p1)、(q1).在定理1的条件下，矩阵K+W的特征根可以是正的、负的和零.

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(编辑 CXM)

The New Results of Existence of Multiple Periodic Solutions for a Class of Nonlinear Discrete Systems

QINXue-wen,SUFang*

(College of Information and Electronic Engineering, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China)

Using critical point theory, some sufficient conditions are obtained on the existence of multiple periodic solutions for a class of nonlinear discrete systems. Our results improve some known ones.

nonlinear; discrete systems; multiple periodic solutions; critical point theory

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.06.013

2016-09-22

广西教育厅科研资助项目(2013YB223)；广西自然科学基金青年基金资助项目(2012GXNSFBA053015)；广西教育厅科研资助项目(201106LX564)

O175.29

A

1000-2537(2016)06-0073-07

*通讯作者,E-mail：sufang088@163.com