以题论“法”以题论“道”——人教版“等腰三角形”（习题课）教学设计及其特点

王冰（辽宁省大连教育学院）

赵海英（辽宁省大连市第三十九中学）

以题论“法”以题论“道”
——人教版“等腰三角形”（习题课）教学设计及其特点

王冰（辽宁省大连教育学院）

赵海英（辽宁省大连市第三十九中学）

以一道典型题的研究为载体，展示几何问题研究的基本思路和基本方法，体现新课程倡导的以学生为主体，发展学生数学素养的基本理念，追求数学习题教学的一种境界——不以题论题，而是以题论“法”，以题论“道”.

等腰三角形；习题课；以题论“法”；以题论“道”

数学习题教学的境界是不以题论题，而是以题论“法”、以题论“道”.这里的“法”，是解答数学习题的一般方法，这里的“道”，是数学思想方法.只有以题论“法”，以题论“道”，才能使学生真正把握数学内容本质，提高数学核心素养.

一、教学设计

1.内容和内容解析

（1）教学内容.

人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“等腰三角形”习题课.

（2）内容解析.

本节课是在学生已经学习了等腰三角形的概念、性质、判定方法，以及等边三角形相关内容的基础上，对等腰三角形进行深入研究.主要内容是对教材上的一道典型题（习题13.3第12题）进行横向拓展和纵向延伸.其中包括两个环节：一是条件不变，发现更多的结论，并证明其中的两个结论；二是结论不变，弱化条件，将问题“一般化”，或强化条件，将问题“特殊化”.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和研究方法.

2.目标和目标解析

（1）教学目标.

①在题目条件不变的前提下，探索并发现其他隐含结论.在结论不变的前提下，探索使其成立的条件.

②在对题目进行横向拓展和纵向延伸的过程中，体会分类、转化、类比、一般化、特殊化等数学思想和数学方法，进一步理解数学内容的本质，提高思维能力.

（2）目标解析.

达成目标①的标志是：学生在题目条件不变的前提下能从不同的角度发现图形中隐含的结论，并且能对发现的结论进行分类，从而明确探索几何问题的研究思路.在题目结论不变的前提下，将问题“一般化”或“特殊化”，探索使其成立的条件.

达成目标②的标志是：学生在探索问题的过程中体会数学思想方法的作用：分类——使无序变得有序，转化——使复杂变得简单，类比——思路和方法的迁移，一般化、特殊化——探索问题的一般方法，进而加深对数学内容本质的认识，使思维的广阔性、深刻性、灵活性等得到锻炼.

3.教学问题诊断分析

第一个环节中，很多学生所发现的结论是无序的，而且是不全面的；第二个环节中，很多学生不知道首先应该分别从两个条件入手.其原因是学生没有真正找到切入点，对几何问题的研究思路和研究方法没有清晰的认识.

本节课的教学难点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和方法.

4.教学支持条件分析

利用几何画板软件，动态演示图形变化，加深对图形本质特征的理解.

5.教学过程设计

引言：前面，我们学习了等腰三角形，研究了它的概念、性质和判定，今天我们通过一节习题课来进一步巩固等腰三角形的有关知识.

题目如图1，△ABC和△DCE均是等边三角形，且点B，C，E共线.BD与AE，AC分别相交于点P，M，CD与AE相交于点N.求证：BD=AE.

图1

师生活动：学生独立思考后，一名学生口述证明过程，教师板书，其他学生说明每一步的证明依据.

【设计意图】巩固特殊的等腰三角形——等边三角形的概念、性质，为后续深入研究做准备.

（1）探索并证明题目的隐含结论.

问题1：在不添加任何条件的前提下，你还能得到哪些结论？

师生活动：教师提出问题，学生将自己发现的所有结论都写在练习本上，教师让一名学生到黑板上写出发现的结论，其他学生相互补充.学生得出的结论主要有：AB=BC=AC，∠EAC=∠DBC，△BMC≌△ANC，AC∥DE，∠DPE=60°，∠BDC=∠AEC，CM=CN，AB∥DC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，△MCD≌△NCE，∠APB=60°，等等.

【设计意图】提出开放性问题，将题目向纵向延伸，让学生尝试多角度地发现结论，锻炼学生思维的发散性.

追问1：刚才，我们找到了这么多的结论，你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？

师生活动：学生独立思考后进行小组交流，交流重点是：①相互补充；②对结论进行分类；③说明分类的依据，充分交流后小组派代表进行汇报.

学生经过分类，将全等、角相等、线段相等、平行分别归为一类.教师点拨，最初我们发现结论时有些是无序的，经过分类，就将无序变为有序了.因此，我们不仅要能够发现结论，更要知道应该从哪个角度去发现结论，即从“形状、大小、位置”三个角度，而“形状、大小、位置”正是几何学的研究对象，也是几何学的研究本质.

【设计意图】让学生对发散的结论进行梳理，明确发现结论的角度，体会分类思想，提升对研究内容、本质的认识，增强思维的深刻性.

追问2：本节课我们只证明其中的两个结论“∠APB=60°和CM=CN”，其他结论课后证明.

师生活动：学生口述“∠APB=60°”的证明过程，基本思路是：①（方法1）由题目证明“BD=AE”过程中的△ACE≌△BCD，得出∠EAC=∠DBC，再根据△AMP和△BMC的两组角分别相等，得出∠APB=∠BCA=60°.②（方法2）先证明∠DPE=60°，由对顶角相等即可得出∠APB=∠BCA=60°，证明方法与方法1相同，略.“CM=CN”的证明过程写在练习本上，最后，一名学生利用实物展台讲解证明思路，并展示证明过程，其他学生对其进行评价，并说明其他证明方法.

教师最后指出，平时做相对复杂的题目，如证明“CM=CN”，有的学生感觉没有思路，觉得缺少证明的条件，其原因主要是他们没有发现题中的隐含结论（此处教师利用课件依次展示图形中∠EAC=∠DBC，△BMC与△ANC全等；∠BDC=∠AEC，△MCD与△NCE全等；等等，如图2，3所示）.其实，一旦发现了这些结论，并证明其中的重要结论，复杂问题也就迎刃而解了.可见，前面发现题中的隐含结论有多么重要.有时不是我们做不到，而是想不到.

图2

图3

【设计意图】引导学生用多种方法证明结论，体会发现隐含结论的重要性，进一步感悟转化思想.

（2）拓展并推广题目的前提条件.

问题2：在题目中，结论“BD=AE”是在“等边”“共线”的条件下得到的，这个结论是否一定需要这么强的条件呢？

师生活动：学生独立思考后小组交流，小组派代表汇报讨论结果.

预案1：学生认为“点B，C，E可以不共线”.

追问1：为什么？

师生活动：学生很容易想到“因为∠ACB=∠DCE，所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.所以△BCD和△ACE全等.从而得到BD=AE”.

此时，教师利用课件，动态展示△DCE绕点C顺时针旋转的过程（如图4），显示出学生所说的两个全等三角形，并用手指着题目证明的板书过程，与学生一起总结出“虽然点B，C，E位置变了，但是结论BD=AE没有变，而且解题的思路和方法都没有改变”.

图4

追问2：类比顺时针的旋转，你能猜想一下逆时针旋转的情况吗？

教师动态展示△DCE绕点C逆时针旋转的过程，如图5所示.

图5

追问3：在以上的探究中∠APB=60°还成立吗？

追问4：刚才得到的其他结论是否成立呢？类比共线时的证明，课后探讨.

师生活动：教师演示，学生思考，并回答.

【设计意图】通过动态的展示，让学生进一步感受由“共线”到“不共线”的过程，深刻体会虽然图形的位置改变了，但是结论不变，证明的思路和方法也不变，其原因是证明全等的关键条件没有改变；由顺时针旋转到逆时针旋转，体现思维的完整性；对学生的启发，由课上到课下，体现思维的延续性.在整个探究过程中让学生逐步体会类比、一般化的数学方法.

预案2：学生认为“可以不是等边三角形，只要是等腰三角形即可”.

追问1：你是怎么想到的？

师生活动：学生回答“BD=AE的前提是△BCD和△ACE全等”.

追问2：全等的条件是什么？师生活动：学生回答“SAS”.追问3：只要“等腰三角形”就行吗？还需要满足什么条件？

师生活动：学生答“顶角相等”.

追问4：必须是顶角相等吗？

此处若学生发现“底角相等也可以”.教师要继续追问“为什么？”教师点拨，“我们发现，虽然图形变了（屏幕展示图6），但是结论BD=AE没有变，而且解题的思路和方法（指向板书过程）也都没有改变”.

图6

屏幕显示题目：如图6，△ABC和△DCE均是等腰三角形，其中CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE=α，且点B，C，E共线.求证：BD=AE.

【设计意图】让学生在由“等边”到“不等边”的过程中，体会虽然图形的形状改变了，但是结论BD=AE没有改变，证明的思路和方法也没有改变，其原因是证明全等的关键条件没有改变；由“等边”到“等腰”，将问题推广到一般的情况.在此过程中让学生进一步体会类比、一般化的数学思想.

问题3：刚才我们探讨了“不共线”可以，“不等边”也可以，那么既“不共线”又“不等边”可以吗？

动态展示△DCE绕点C旋转的过程，如图7所示.

图7

师生活动：学生发现可以，原因同前.学生发现，原来题目中的条件不必是两个等边三角形，只要是两个顶角相等的等腰三角形就可以了，这个问题就更具有一般性了.教师指出，我们不仅要学会发现结论，还要抓住图形的本质特征，尝试着把问题推广到一般情况.这也是研究问题的思路和方法.

追问1：我们刚才研究问题的思路是将问题“一般化”，还可以怎样研究呢？

师生活动：学生很容易回答出将问题“特殊化”.

追问2：特殊的等腰三角形还有什么？

师生活动：学生很容易想到等腰直角三角形（屏幕显示图8，然后动态展示），类比刚才的研究思路和方法，学生可以课下研究.

图8

【设计意图】深化问题的研究，增强学生思维的全面性、深刻性.

（3）小结.

教师与学生一起回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题.

①本节课研究了哪些主要内容？

②本节课研究问题的主要思路是什么？

③在研究过程中体现了哪些数学思想和数学方法？

④对本节的研究内容你还有哪些新的想法？

师生活动：教师提出问题，学生回答.对于问题④，学生可能提出“对于原题目，如果连接MN，你有什么新的发现？如果连接PC，还能发现哪些新结论？”等等.

【设计意图】前两个问题主要是引导学生从知识内容、学习过程、研究方法等方面总结自己的收获，并从中体会所运用的数学思想方法，建立知识之间、方法之间、过程之间、解决问题策略之间的普遍联系.第三个问题，主要是拓展学生的思维，使学生不仅能够分析问题、解决问题，而且还逐渐地学会发现问题、提出问题，学生由“学会”向“会学”“乐学”转变.

（4）作业.

①证明“问题1”中得到的其他结论.

②探索“问题2”中一般化和特殊化后的结论，并证明.

③证明“问题3”中发现的结论，探索并证明“连接PC”后的其他结论.

【设计意图】将问题探索自然延续到课后，让学生进一步巩固本节课所学内容、方法，启发学生逐渐体会如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.

6.目标检测设计

如图9，△ABC和△DCE均是等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE.

（1）求证：BD=AE；

（2）若∠BAC=70°，求∠BPE的度数.

图9

【设计意图】考查学生对几何问题研究方法的掌握程度.

二、设计特点

这是一节习题课的教学设计.传统的习题课一般是教师将一组题呈现给学生，学生分析题、解答题，总结解题方法，从而丰富学生的解题经验.本节课，教师不是以学生会解题为目标，而是以一道典型题为载体，通过对这道题进行横向拓展和纵向延伸，引导学生学会研究数学问题的一般方法，学会用上位的数学思想方法解决一类问题.这样的设计，不再是“以题论题”，而是“以题论法”“以题论道”.

本节课内容主要包括两个环节：一是条件不变，发现更多的结论，并证明其中的两个结论；二是结论不变，弱化条件，将问题一般化，或强化条件，将问题特殊化.

在第一环节中，条件不变，探究更多的结论.这是一个开放性的问题，开放性的问题本身给学生提供了广阔的探究空间，也使学生思维发散性得到很好的锻炼.对“究竟应从哪个角度发现新结论？”的再思考，又可以使学生对无序的发现过程进行理性分析，这个过程具有方法论意义，学生通过反思，可以深刻地认识到这正是几何学的研究对象和研究本质，进而实现思维由发散到聚合的飞跃.学生正是在这种发散与聚合的过程中，感悟研究数学问题的切入点和一般方法.在第二个环节中，条件弱化时，图形在变，位置在变，图形和位置都在变，学生在这变的过程中体会不变的本质——研究策略、研究方法、研究过程等都是不变的，学生也在这不变的过程中，进一步感悟变的规律——将条件一般化或特殊化，这也充分体现了数学思想方法——一般化、特殊化.整节课，学生在多角度地发现结论、多种方法证明结论、多维度地拓展问题的过程中，可以进一步提高分析问题、解决问题的能力，渐渐地学会发现问题、提出问题.学生在对众多结论的探究角度的分析中，在从他人获得的结论与自己结论的比较与修正中，在变与不变的感悟中，思维的广阔性、深刻性、批判性、灵活性等品质都能得到有效发展，学生的思维水平和数学素养也能得到进一步提升.

［1］俞求是，王冰.《义务教育教科书·数学》教师教学用书（八年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［2］王冰.教材分析：从宏观到微观［J］.中学数学教学参考（中旬），2011（5）：29-31.

［3］王冰.变中出彩［J］.中国数学教育（初中版），2008（4）：18-20.

2016—09—30

王冰（1964—），女，中学高级教师，辽宁省特级教师，大连市领军人才，主要从事初中数学教学、中考命题及教材编写研究．