弯曲斜螺旋线的数学模型研究与应用

马建国，姚运萍，张小奇，陈惠贤

（1.兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050；2.中国科学院近代物理研究所，兰州 730000）

弯曲斜螺旋线的数学模型研究与应用

马建国1，姚运萍1，张小奇2，陈惠贤1

（1.兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050；2.中国科学院近代物理研究所，兰州 730000）

针对弯曲斜螺线这类非回转体零件做回转运动出现的问题进行研究，从空间几何的角度对斜螺线旋转的要素进行分析，由球体，环面螺旋线的数学模型延伸到螺旋线鼓形体，斜螺旋线椭球体，进一步得出任意起点斜螺线弯管的数学模型，最终提出了弯曲斜螺旋线做回转运动的数学方程。然后通过MATLAB对其数学模型进行仿真验证，得到弯曲斜螺旋线的通用数学模型。为后续弯曲斜螺旋线的加工提供理论依据。

斜螺旋线；鼓形体；数学模型；仿真

0　引言

随着超导技术的迅猛发展，超导技术在高能物理、交通运输、医学影像、航天航海等诸多领域应用越来越广泛[1]。而作为超导技术核心的超导线圈技术，因为其难以估量的应用价值，获得世界各科研组织的重视。

线圈骨架这类零件的形状随着超导技术的发展而不断改进，从回转体到非回转体，圆柱体到弯曲柱体……总之，形状、功能复杂多变，不可一概而论，其数学模型更是相差甚远[2]。尽管通用柱形线圈骨架的大小不一，种类较多，但总体来说，属于回转形骨架[3～5]。此类通用线圈骨架的相关研究已经颇为成熟。但是，在某些大型或特殊的超导、核技术、电力元件等行业，都需要用到异形线圈，如超导储能装置（如图1所示）、风力发电机、加速器等。这些线圈的骨架使用较少，加工难度极高，加工效率普遍较低。本文主要研究超导技术中支撑超导储能装置线圈的斜螺线骨架，即线圈龙骨。本文所述的弯曲斜螺线线圈骨架，属于超导技术发展所带来的新的异形零件，目前还没有发现相关加工工艺的研究，但是研究缠绕机的部分学者对弯管缠绕技术做了大量研究，得出了缠绕时出现打滑，架桥等问题的解决方案。

图1　超导储能装置

本文将对这类非回转体零件做回转运动出现的问题进行研究，从空间几何的角度对其数学模型逐步推到。得到可靠地数学模型。并然后通过MATLAB对其数学模型进行仿真验证，从而得到可靠正确的非回转体零件做回转运动的数学模型。

1　非回转体零件做回转体运动的数学模型

1.1球体的数学模型

由空间几何可知，球面可以分解为：母线半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。而球面所围成的几何体叫做球体，其中半圆母线的方程为：

以y轴旋转后的球体曲面方程为：

1.2环面螺旋线数学模型的建立

根据圆柱螺旋线的形成原理，设在圆K上有一点A（如图2所示）绕圆K的圆心O1作等角速度旋转时，圆K绕着与其共面的轴OZ作等角速度旋转，则点A的轨迹即为环面螺旋线[6]。故环面螺旋线空间方程为：

图2　环面螺旋线形成原理

其中R为圆环半径，r为螺旋管的半径，α为圆环母线自转角度，θ为半径为r的螺旋线旋转的角度。θ经过变形为2πn（n=1,2,3…，表示螺旋线绕过的圈数）后有如下方程：

1.3鼓型体数学模型的建立

由球体数学模型方程可知，球体母线方程经过偏心移动，然后围绕O-O轴旋转后便可得到鼓型体方程[7]，如图3所示。故有鼓形体的母线参数方程为：

由空间几何可知，鼓形面可以分解为：鼓形母线以经过偏置(y0, z0)的与z轴平行轴为旋转轴，旋转所成的曲面。所以，鼓形面的方程为：

图3　鼓形体形成原理

1.4螺旋线弯管数学模型的建立

根据空间解析几何，联立环面螺旋线数学模型（3）和鼓形体的数学模型（6），借用鼓形体的成型机理，将鼓形面的母线换成是环面螺旋线，便可推导出的螺旋线弯管的数学模型方程为：

联系式(4)的思想，进一步的推导，则有如下方程：

其中，n为螺旋线纹的圈数，α为环形螺旋弧长对应的角度。

斜螺线弯管模型如图4所示。

图4　斜螺线弯管模型

1.5斜螺旋线弯管数学模型的建立

斜螺旋线弯管数学模型与螺旋线弯管数学模型的差别在于：多了一个螺旋线倾斜角β（angle of inclination）。倾斜角是直线与X轴正方向所成的角。而本文中的倾斜角为普通环面螺旋线与倾斜螺旋线切线的夹角，如图5中β所示。

图5　斜螺线倾斜角

由几何知识，结合环形数学模型、斜螺线的数学模型与鼓形体的数学模型，由式(1)至式(8)可知，倾斜螺旋线弯管数学模型方程为：

其中，q.sin(α)决定倾斜角β的大小，其系数q越大，则倾斜角β越大，反之亦然。

1.6任意角度起点斜螺旋线弯管数学模型的建立

任意角度起点就是改变空间曲线的起始位置，换言之，将空间曲线起始位置旋转任意φ后，所得到的图形。由空间几何知识可知，任意角度起点倾斜螺旋线弯管数学模型方程为：

空间曲线旋转45°后的系列组图如图6所示。

图6　任意角度起点图形模型

1.7斜螺旋线弯管曲线做回转运动数学模型的建立

联立环面螺旋线数学模型(3)、鼓形体的数学模型(6)和任意角度起点斜螺旋线弯管数学模型(10)，将斜螺旋线弯管曲线建立在y-z平面，图形中心正好位于z轴上，且关于y轴对称的位置，绕y轴做旋转运动，便可得到斜螺旋线弯管曲线做回转运动时的数学模型，故而推出斜螺旋线弯管曲线做回转运动时的数学模型为：

其中δ为回转体运动的角度，若恰好旋转一周时，则δ取为360°。

总结上面的推导过程，我们已经得到了鼓形体、螺旋线弯管曲线、任意角度起点斜螺旋线弯管曲线、斜螺旋线弯管曲线做回转运动数学模型等多种复杂曲面的数学模型。实际中，弯曲螺旋线的倾角δ大小由q.sin(α)确定，其系数q，p，δ的取值都要根据零件的具体情况酌情而定，不可一概论之。

2　斜螺旋线弯管曲线做回转运动数学模型的应用

随着超导技术的迅猛发展，超导技术在诸多领域应用越来越广泛。而作为超导技术关键部件的超导线圈骨架，也随着超导技术的发展，形状也越来越复杂。某超导技术的线圈形状方程接近斜螺旋线弯管曲线，经过近似处理后得到如下数据：

由将以上参数代入斜螺旋线弯管数学模型方程(9)，可得此超导线圈形状方程如式(12)所示。

当t取32π××时，该超导线圈的图形显示如图7所示。

图7　某超导线圈t=32π××时的空间模型

依第二部分数学模型知识可知，要使该斜螺旋线空间曲线在空间旋转，进一步了解曲线上的点的轨迹，以斜螺旋线弯管曲线做回转运动时的数学模型可知，必须将图形按任意角度起点数学模型旋转90°。使得斜螺旋曲线关于y轴对称，才满足式(10)的数学模型条件，进而围绕z轴旋转。将式(12)按式(10)改变图形后得到图8所示。

图8　超导斜螺线改变图形起点后的模型

此图形的数学模型如式(13)所示。

超导线圈的空间曲线围绕z轴旋转所得的空间方程如式(14)所示。

以式(13)便可得到此超导线圈的空间曲线的运动轨迹如图9所示。

图9　超导斜螺线圈数为3时的轨迹

超导线圈的空间曲线围绕z轴旋转所得的空间旋转轨迹如图10所示。

图10　超导斜螺线圈数为3做转空间旋转的轨迹

得到的超导线圈绕z轴旋转曲面的空间造型如图11所示。

图11　超导斜螺线圈数为3时的旋转空间曲面图

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3　结论

通过对斜螺线弯管为代表的非回转体零件做回转运动出现的问题进行研究，从空间几何学的角度对斜螺线旋转的要素进行分析，从椭球体，鼓形体的数学模型进一步延展到螺旋线鼓形体，斜螺旋线椭球体，进一步得出任意起点斜螺线弯管的数学模型，从而得到非回转体零件做回转运动的数学模型。然后通过MATLAB对其数学模型进行仿真验证，从而得到斜螺线弯管做回转运动的数学模型。为后续二次开发的研究提供了理论基础。

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Research on the mathematical model of bending oblique spiral

MA Jian-guo1, YAO Yun-ping1, ZHANG Xiao-qi2, CHEN Hui-xian1

TH126；TP301

A

1009-0134(2016)07-0089-04

2016-03-18

马建国（1990 -），男，甘肃定西人，硕士，研究方向为CAD/CAM、数控复杂型面精密加工技术。