C.R.Johnston直接法求解受弹性地基约束充液粘弹性管中的非线性波
2016-12-23周义清张善元
周义清， 张善元
(1. 北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院, 北京 100022； 2. 中北大学 理学院， 山西 太原 030051；3. 太原理工大学 应用力学与生物医学工程研究所, 山西 太原 030024)
C.R.Johnston直接法求解受弹性地基约束充液粘弹性管中的非线性波
周义清1, 2， 张善元3
(1. 北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院, 北京 100022； 2. 中北大学 理学院， 山西 太原 030051；3. 太原理工大学 应用力学与生物医学工程研究所, 山西 太原 030024)
研究了管壁受弹性地基力的充液粘弹性压力管道中的非线性波. 假设管壁是粘弹性的， 地基反力采用Winkler线性地基模型， 管中流体为不可压缩理想流体. 假定系统初始处于内压为po的静力平衡状态， 此后的扰动是叠加在静力平衡状态上的. 由管壁法向平衡方程和流体质量守恒、 动量定理建立了流固耦合的非线性运动方程组， 进而用“C.R.Johnston直接法”求解得到了系统的孤立波解. 结果表明， “C.R.Johnston直接法”是一种求解非线性波的简洁、 高精度的方法.
C.R.Johnston直接法； 弹性地基； 充液粘弹性管； 非线性波； 孤立波
弹性管内的流体波动是众多学者研究的热点[1-3]. 输油软管内流体的流动、 人体动脉的血液流动等问题， 都涉及弹性管内的流体波动， 研究其传播特性具有重要的意义. 鉴于固液耦合问题有着重要的实际应用价值， 众多学者采用不同的方法研究了充液弹性管中非线性波的传播特性， 所用的方法主要有： 特征值法、 逆散射法、 傅里叶渐近法， 以及随之产生的各种近似方法. 在这些方法之中， 摄动法是应用最为广泛的一种方法. 随着问题的深入研究， 人们发现这种方法会带来较大的误差， Malfliet和Wieers明确指出了利用任何摄动法都有内在的局限性[4].
而“C.R.Johnston直接法”[5]能避免摄动法所存在的缺点.该方法直接求解原始支配方程，不依赖于扰动过程.对一个给定的波速，孤波的准确波幅解仅要求解一个代数方程的根.对任意给定的数值，都可画出相应的波形.本文将利用“C.R.Johnston直接法”研究埋置于弹性地基内充液压力管道中的非线性波， 此项研究可以模拟地下输运管线或包裹在肌肉内的血管中的血液流动， 对管道损伤检测和血管病变检测有潜在的应用价值.
1 “C.R.Johnston直接法”的数学基础
“C.R.Johnston直接法”由C.R.Johnston提出， 与传统的渐近法(近似法)相比， 是一种简便、 高精度的解法.
“C.R.Johnston直接法”的优势在于： 对任意给定的波速， 孤波准确的波幅值仅要求解一个代数方程的根； 对任意给定的波速， 都可画出相应的波形， 这种方法能被应用于长波近似之外的求解范围.
通常定义孤立波的概念为： 含有两个独立变量x和t的关于w的偏微分方程， 其孤立波解的形式为
其隐含条件为： (1)c是常量(波速)； (2)f是有界的； (3) 当ξ→∞时，f的极限存在.
现在用更为严格的条件代替上述条件(3)， 即： (3′)f单边指数级收敛.
最后一条限制条件使得函数f在ε的小区间之外不振荡， 接近于常数(通常这个常数为0).
从式(1)和(2)可以得到
“'”表示对ξ求导. 将式(3)和(4)代入原始偏微分方程， 得到关于f的常微分方程. 假设原始方程是一个拟线性二阶偏微分方程， 其系数不显含x和t， 则可化为如下常微分方程形式
其中函数Fc的形式取决于原始偏微分方程和系数c. 这里将特别关注两种特例， 这两种特例对应于式(5)右边的两种特殊表达形式.
例 1：
f″=Fc(f).
为了寻求如图 1 所示形式的孤立波解， Fc必须满足以下条件：
(Ⅰ) 存在两个根， 分别在f=0(无穷处)和f=f1(拐点处， 正的有限值)处， 即f=0时， f″=0； f=f1时， f″=0；
(Ⅱ) 在[0,f1]区间， f″>0； 在[f1,fmax]区间， f″<0；
图 1 孤立波的一般形式Fig.1 General form of solition
图2所示为Fc(f)的一般形式， 值得一提的是，Fc(f)准确的形状取决于参数c， 以至于满足条件(Ⅲ)的fmax值也取决于参数c. [0,fmax]之外的Fc(f)的性质不是本文关注的.
图 2 Fc的一般形式Fig.2 General form of Fc
得到fmax的另外一种方法是计算由式(5)积分得到的一阶常微分方程
式中：C是式(5)的一阶积分常数.
分析表明： 式(7)的右边必须有一个双根在f=0 处(隐含C=0和Fc(0)=0)和一个单根在f=fmax处， 并且在(0,fmax)区间是正的. 然而， 需要注意， 尽管式(6)的每一个解都满足式(7)， 但反过来并非如此. 例如： 对式(7)微分有
f′f″=Fc(f)f′.
为得到式(6)， 式(8)两边同除f′， 此时f′≠0. 说明式(7)的解包含f=const， 而这个解是(6)没有的. 因而， 数值积分时最好直接分析式(6).
当积分式(6)进行数值求解时， 如果初始条件满足f′(0)=0和0
例 2： 考虑另外一种特殊形式
Gc和Hc是光滑函数， 显然这种形式也可化成特例1中的表达形式.
定义
可得
1) 表达式
d是方程(9)一次积分所得常数.
2) 式(9)的每一个非常数解也是式(13)的解， 式(13)的所有解中， 相应于式(7)中C=D/2时的解， 也是式(9)的一个解.
证明 ① 部分可通过微分式(12)并利用式(10) 和(11)得到； ② 部分可以通过将式(12)代入式(9)得到.
为了得到图显示的解的形式， 条件是在无穷远处D=0，Gc(0)=0.
2 支配方程
2.1 管壁法向运动方程[6-7]
设管初始构形半径和厚度分别为R0和H0， 当内压为p0时， 管半径和厚度分别变为r0和h0， 此时法向挠度为w0， 以此为参考构形， 此后现时构形管半径和厚度分别为R和H.
图 3 现时构形中管壁受力分析示意图Fig.3 The force analysis in current configuration
参照图 3， 现时构形中， 由法向动力平衡可得
Hσθ-(r0+w)p+k(r0+w)(w+w0)+
式中：σθ为环向应力；w是以参考构形为基准的法向挠度；p为管内流体压力；ρw是管壁的密度.
设管壁为粘弹性材料， 其本构关系由Kelvin-Vogit模型描述， 即
其中，
管壁不可压缩
R0H0=Rh=r0h0.
将式(15)～式(17)代入式(14)可得
2.2 管内流体的连续性方程
考虑理想流体的一维流动， 由管中流体的质量守恒方程， 得
式中：ρf为流体密度；A为管内横截面积；V为流体轴向流动速度；x和t分别为轴向坐标和时间坐标. 若流体是不可压缩的，ρf=cont， 式(19)变为
瞬时构形时A=π(r0+w)2， 代入式(20)， 可得
2.3 流体的动量守恒方程
考虑沿轴向x的流体动量守恒， 对于理想流体， 有
3 “C.R.Johnston直接法”求解系统孤立波解
方程(18)， (21)和(22)是管壁为粘弹性材料的充液压力管道中非线性波的动力学方程组.
上述3个支配方程是关于变量p,V和w的方程组. 流体的对流项引起非线性， 本构关系使得管壁运动方程也是非线性的.
设p=p(ξ)，V=V(ξ)，w=w(ξ)， 其中ξ=x-ct， 则
其中“′”代表对ξ求导.
把上述解的形式代入式(23)～式(25)得
积分式(27)可得
式中： lnB为积分常数.
进一步简化为
(r0+w)2(c-V)=B.
代入积分常数， 式(30)变为
同理积分式(26)可得
将式(31)代入式(32)有
将式(33)代入式(28)， 整理可得
将式(34)简写为
其中
式(35)满足 “C.R.Johnston直接法”中式(5)的形式. 下面验证式(35)满足条件(Ⅰ)、 (Ⅱ)和(Ⅲ)， 并求解式(35)在给定参数下的孤立波解.
将式(35)关于ξ积分， 可得
可解得
w′=
将式(37)代入(35)可得到w″关于w的表达式. 由条件(Ⅰ)， 式(35)应有w=0和w1>0两根.
给定参数： k=100, r0=0.1, R0=0.08, H0=0.004, ρw=5 000, ρf=100, K=800, c=2, p0=20, w0=0.001 42, η=0.1.
通过Matlab求解w″=0的根. 图4为给定参数式(35)右边的数值算例.
图 4 方程(35)右边数值算例Fig.4 RHS of Eq.(35) in numerical example
由图 4 可得w=0， w1=2.166 4.
显然， 由图 5 可知， 在区间[0,w1]之间， w″>0， 在区间[w1,wmax]之间， w″<0. 满足“C.R.Johnston直接法”条件(Ⅱ).
式(34)所对应不同初值w(0)=3.289 2， w(0)=3.292 6 的解， 如图6(b)所示.
图 5 方程(36)右边数值算例Fig.5 RHS of Eq.(36) in numerical example
由图 6(b) 可知， 当初值w(0)=3.289 2时， 解是周期的， 当初值w(0)=3.292 6时， 解是非周期的， 虽然初值仅改变约百分之一， 但解的性质却发生了突变.
图 6 方程(35)不同初值的解Fig.6 Solution of Eq.(35) for different initial values
当初值w(0)=3.289 2时的解显然是方程(34)在给定参数下的孤波解. 孤波的形状可由图6中周期解所示的任一周期精确表示.
4 结 论
本文讨论了受弹性地基充液粘弹性管中的非线性波问题， 利用“C.R.Johnston直接法”， 在给定参数的情况下， 用简洁的数学运算给出了系统的孤立波解. 分析过程表明“C.R.Johnston直接法”无中间变化， 直接求解原始方程就可得到高精度解， 而且求解过程也很简单， 该方法不受波幅大小的限制， 都能得到原始方程的精确解. 而且这种方法也能应用于其它物理模型的求解.
之前作者曾讨论过“用C.R.Johnston直接法研究充液弹性管中的非线性波”， 继之前的研究， 本文进一步假设管壁是粘弹性材料， 这个假设将更进一步贴近现实中血液管道模型， 为模拟包裹在肌肉内的血管中的血液流动奠定了一定基础. 由于孤立波有许多重要特性， 因此得到的结果在生物医学工程或其它工业部门的相关问题研究中有一定参考价值， 深入研究其在各种条件下的传播特征具有十分重要的应用价值.
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Solving of Nonlinear Wave in a Fluid-Filled Viscoelastic Tube with Elastic Foundation Restriction by Using C.R.Johnston Direct Approach
ZHOU Yi-qing1,2, ZHANG Shan-yuan3
(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100022, China； 2. School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China； 3. Institute of Applied Mechanics and Biomedical Engineering,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)
Propagation of nonlinear waves in a fluid-filled thin viscoelastic tube buried inside elastic foundation was studied. The material of the tube was assumed to be viscoelastic, the reaction of foundation was calculated based on Winkler model, and the fluid was incompressible and inviscid. Initially, the tube is in a state of static equilibrium with inner pressureP0. A disturbance was considered as superimposed on this static deformation. The nonlinear equations of motion consisted of the mass conservation, the balance of linear momentum and normal equilibrium equation. The solitary wave solution of the system was given by using C.R. Johnston direct approach which is simple and with high precision.
C.R. Johnston direct approach； elastic foundation； fluid-filled viscoelastic tube； nonlinear wave; solitary wave
1673-3193(2016)06-0561-05
2016-06-29
国家自然科学基金资助项目(11402005， 11202190)； 北京博士后科研经费资助项目(Q6001015201401)
周义清(1977-)， 女， 副教授， 博士， 主要从事非线性动力学的研究.
O347.4
A
10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.002
