半线性波动方程在三维空间中解的破裂和生命跨度的上界估计

韩 伟， 祝倩倩， 吕淑佳

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)



半线性波动方程在三维空间中解的破裂和生命跨度的上界估计

韩 伟， 祝倩倩， 吕淑佳

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)

运用试探函数法研究了三维空间中半线性波动方程在外区域上的初边值问题， 得到结论： 不论初值多么小， 解总会在有限时间内破裂， 得到了解的生命跨度的上界估计， 并且找到了试探函数Φ0(x)的显式表达式.

半线性波动方程； 初边值问题； 破裂； 生命跨度

0 引 言

为了研究三维波动方程在外区域上的初边值问题， 首先对下列常系数的半线性波动方程的初值问题进行分析

一般地， 当n=1时， p1(1)=+∞； 而当n≥2时， 令p1(n)是如下二次方程

(n-1)p2-(n+1)p-2=0

本文研究如下三维空间中半线性波动方程的初边值问题

(2)

f(x)≥ 0,g(x)≥ 0,a.e.,f(x)=g(x)=0,

|x|>2, 且f(x)≢0.

本文的主要结论如下：

T(ε)≤Aε-2.

1 几个引理

为了陈述和证明本文的主要结果， 需要如下几个引理.

引理 1[5,10]若a≥1， 且a>q-2， 对于F∈C2([0,T))， 满足

1) F(t)≥δ(t+2)a.

F(t)在有限时间内破裂， T<∞， 进一步得出F(t) 的生命跨度

其中, c,δ,k均为正常数， 而c仅与k有关， 与δ无关.

证明 破裂结果的证明部分可参见文献[9]. 这里， 为了读者研读方便， 给出求解F(t)的生命跨度估计的方法如下：

因此当δ≤1时， 计算得出

所以H(τ)将在有限时间内破裂， F(t)的生命跨度满足式(5). 证毕.

其中，C为正常数.

2 主要结果及其证明

定理1是引理1中关于非线性微分不等式的下界以及破裂结果的一个直接结果. 为此， 引出下列函数

(10)

这里φ0(x)和φ1(x)均在引理2和3中给出. 关于u的假定说明对于所有的t,F0(t)和F1(x)是良定义的C2函数. 结合关于F0(t)的非线性微分不等式和关于F1(x)的线性微分不等式， 得出当t→∞时，F0(t)的下界估计.

supp(u,ut)⊂{(x,t)∶|x|≤t+2}∩

则对于所有t≥0时， 有

由表达式ψ1(x,t)=φ1(x)e-t和引理3， 有

关于ψ1(x,t)对t的求导， 得(ψ1)t=-ψ1， (ψ1)tt=ψ1， 因此

结合式(11)， 得

注意到

由于ψ1>0， 因此

将式(12)两端同乘e2t， 得

φ1(x)dx,

对其在[0,t]上积分， 有

e2tF1(t)-F1(0)≥

φ1(x)·

这样就得出F1(t)的下界估计.

[φ0·Δu-φ0utt+u2φ0]dx=0.

因为

φ0·udx=0,

所以， 可以得出

φ0(x)dx.

利用Hölder不等式对式(13)进行估计， 有

亦即

显而易见

进而推出

|F0(t)|2, k>0.

同理

根据式(10)， 变形如下

φ0(x)dx≥

根据引理3对分母判定为

C为正常数.

所以

对式(15)积分两次后得到

).

因而， 当t充分大时， 成立

结合式(14)和式(16)以及引理1得出

a≡2,q≡3.

这样， 方程(2)解的生命跨度的上界估计如下

其中， A为正常数. 证毕.

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Blow-Up of Solutions and Estimate the Upper Bound of Life Span for Semilinear Wave Equation in Three-Dimensional Space

HAN Wei, ZHU Qian-qian, LÜ Shu-jia

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The initial boundary value problem for semilinear wave equation on exterior domain in 3-D was studied by using test function method. The results show that blow up of solutions and the upper bound of life span estimate are established, no matter how small the data are. And the explicit expression the test functionΦ0(x) is founded.

semilinear wave equation; initial boundary value problem; blow up; life span

1673-3193(2016)06-0557-04

2015-09-05

国家自然科学基金资助项目(11301489)

韩 伟(1981-)， 男， 副教授， 博士， 主要从事非线性微分方程的研究.

O175.29

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.001