排列组合的常见类型及解法

王庶

常见排列组合问题可分为相异元素不允许重复的问题，相异元素允许重复的问题和不尽相异元素的问题；而较复杂的排列组合问题往往是对元素（或位置）加以限制. 因此，掌握一些基本的排列组合的题型和方法，对学好本章内容是很有必要的.

相异元素不允许重复的问题

例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票，有几种票价.

解析 车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.

点拨 此题为“相异元素无限制条件”的排列问题. 此类问题比较简单，只需分清是组合问题还是排列问题，即可直接运用公式求解.

例2 6个人站成一排，其中甲不站最左端也不站最右端，有多少种不同的站法.

解析 方法一（元素优先法）：因为甲不能站左右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法. 第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法. 故满足条件的站法共有[4×A55=480]种.

方法二（位置优先法）：因为左右两端不站甲，故第一步先从除甲以外的5人中任选两人站在左右两端，有[A25=20]种站法. 第二步再让剩余的4人（包括甲）站在中间的4个位置，有[A44=24]种站法. 故共有[A25A44=480]种站法.

点拨 此例为“相异元素有限制条件”的排列问题，其解法通常是特殊元素（或位置）优先法，即先考虑有限制条件的特殊元素（或位置），再考虑其他无限制条件的元素，此法也叫元素（或位置）分析法.

例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法.

解析 将3个女生看作一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法. 然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法. 故共有排法[A66A33=4320]种.

点拨 这是一道元素相邻的排列问题. 对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”，即将这些元素看作一个整体（或看作一个元素），与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列.

例4 （1）7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法；

（2）4个学生与4个老师排成一排，则学生与老师相间的排列共有多少种.

解析 （1）先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.

（2）不妨先排学生，4个学生的排法有[A44=24]种. 再排老师，可分为两类，即按顺序排为“师生师生师生师生、生师生师生师生师”，其排法有[2A44=48]种. 故共有24×48=1152种不同的排法.

点拨 （1）对于某些元素要求间隔排列（或不相邻）的问题一般使用“插空法”. 即先排无限制条件的元素，再将要求“不相邻”的元素插入已排好的元素之间的“缝隙”中. （2）“元素相间”问题是“元素互不相邻”问题的特殊情形，但又有所不同. “元素互不相邻”问题只要“隔开”就行了，但“元素相间”问题不仅要“隔开”，而且要一个挨着一个地“隔开”. 要防止出现将“元素相间”问题误解为“元素互不相邻”问题（即第（2）小题得出结果为[A44?A45=2880]种）的错误.

例5 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个.

解析 不考虑限制条件，六个数字组成无重复数字的六位数共有[A15A55=600]种，其中个位与十位上的数字顺序一定，故所求的六位数共有[A15A55A22=300]个.

点拨 对于某些元素顺序一定时，可用“缩倍法”求解. 具体方法为：先将[n]个元素进行全排列有[Ann]种排法，[m]个元素全排列有[Amm]种排法（[m≤n]），由于要求[m]个元素的顺序一定，因此只能取其中的某一种排法，即若[n]个元素排成一列，其中[m]个元素顺序一定，则有[AnnAmm]种排列方法.

例6 有9本不同的书，分成3组.

（1）每堆3本有多少种不同的分法；

（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；

（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.

解析 （1）此分组属于平均分组问题，并且不计每组顺序，分组方法共有[C39C36C333！=280]种；

（2）在分组中，有两组是均匀的，故分组方法共有[C59C24C222！=378]种；

（3）此分组属于非均匀分组问题，由于不知3组中哪一组4本，哪一组3本，哪一组2本，故分组方法共有[C49C35C22=1260]种.

点拨 对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”. 均匀分组要除以分组数的全排列数（组与组之间没有顺序），非均匀分组则不用除以分组数的全排列数.

相异元素允许重复的问题

例7 有3封信和4个邮筒，则将3封信全部投入4个邮筒的所有不同投法种数有 种.

解析 由题意知，每封信都有4种可能的投法，故共有[4×4×4=64]种不同的投法.

点拨 对于元素可重复出现的问题，往往不能直接用[Amn]解决，而需分步考虑，运用乘法原理来解 决.

例8 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.

解析 由题意可知，1、3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1、3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.

点拨 此类染色问题，一般采取分步或分类的方法解决. 具体来讲，一方面要考虑涂几种颜色的问题，另一方面，还要考虑相对（邻）区域同色和不同色问题. 另外，此例也可以用“分组法”求解. 显然，涂一色或两色是不可能的. 如果涂三色，1，3同色，则分成1（或3），2，4三组，有[C35?A33=60]种方法；如果涂四色，则有[C45?A44=120]种方法. 故共有120+60=180种不同的涂色方法.

不尽相异的元素的问题

例9 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种不同的选法.

解析 由题意知，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序. 因此可以将问题看成是“10个相同的小球放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球”的问题，然后用“隔板法”求解. 即先把10个人排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，共有[C49=126]种不同选法.

点拨 “隔板法”是解决此类问题的有效方法之一. 对于此类问题，直接法不易解决，分类讨论又十分麻烦，但若运用转化思想，交换位置，变换角度来思考，问题就可以转化为相异元素的排列组合问题. 适当转化，既可化繁为简、化难为易，又可开拓解题思路，提高数学素养.

一些常见排列组合问题，往往对应着不同的题型和方法. 在解决问题时，要在理解题意、掌握基本题型的基础上，熟练运用基本方法与技巧求解，不能拘泥于某种模式，更不能想当然. 对某些较为复杂的问题，要灵活运用化归转化的思想方法，化陌生为熟悉，化繁难为简易，在快速准确求解的基础上，加强反思与“回头看”，以达到提高解题能力之目的.