二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振荡性

杨甲山， 方 彬

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002;2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002;3. 信阳师范学院 数学与信息科学学院， 河南 信阳 464000)



二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振荡性

杨甲山1，2*， 方 彬3

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002;2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002;3. 信阳师范学院 数学与信息科学学院， 河南 信阳 464000)

中立型的二阶泛函微分方程的振荡性在理论和应用两方面均有着重要意义. 本文研究一类具可变时滞的二阶广义非线性的Emden-Fowler型中立型泛函微分方程的振荡性，获得了该类方程振荡的1个新的判别准则.

振荡性； Emden-Fowler型微分方程； Riccati变换

1引言及问题的提出

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，

t≥t0，

(1)

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u(这里λ>0， β>0为实常数)；而a，p，q∈C([t0，+∞)，R)；f∈C(R，R)且当u≠0时uf(u)>0，并考虑如下假设条件：

(C1) a∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(C3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里L>0是常数).

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t≥t0)

(E)

是振荡的(这里函数Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，常数k>0). 这是文献[15]的主要结果，也就是文献[15]中的定理2.2. 我们注意到，当β<γ时文献[15]没有得到方程(E)的振荡准则，而且文献[15]中的条件“a′(t)≥0”似乎较为苛刻. 受到以上有关研究的启发，笔者将利用Riccati变换技术及各种有关不等式技巧来研究方程(1)的振荡性，得到了该方程振荡的1个新判别准则，去掉了限制性较强的条件“a′(t)≥0”，拓广了β，λ的取值范围. 而作为方程(1)的特殊情形(即当方程(1)中β=γ=1时的情形)，我们的这些准则改进了现有文献中的一系列结果. 同样，考虑条件

(2)

2方程振荡的判别定理

引理1[24]设X，Y为非负实数，则当0<λ≤1时Xλ+Yλ≥(X+Y)λ，等号成立当且仅当X=Y．

引理2设X，Y为非负实数，则当λ>1时Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ，等号成立当且仅当X=Y．

此结果由函数f(x)=xλ(λ>1)的凹凸性即得.

引理3[25]设A>0，B>0和α>0均为常数，则当x>0时，

(3)

引入记号：

定理1设条件(C1)-(C3)及(2)成立，且0≤p(t)≤p0<+∞(这里p0为常数)，如果存在函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))使得当λ≤β时

+∞，

(4)

当λ>β时

(5)

证明 反证法，设方程(1)存在一个非振荡解x(t)，不妨设x(t)为最终正解(当x(t)为最终负解时类似可证)，则∃t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥t1. 由z(t)的定义容易看出，z(t)>0且z(t)≥x(t)(t≥t1). 由方程(1)并注意到条件(C1)和(C3)，有

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0.

(6)

由(6)式并利用条件(2)，不难推出z′(t)>0(t≥t1). 应用(6)式，当t≥t1时，可得

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(7)

综合(6)，(7)两式，当t≥t1时，就有

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

(8)

若0<β≤1，利用τ′(t)≥τ0>0，τ∘δ=δ∘τ和z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))及引理1，由(8)式得到

若β>1，类似地，有

于是

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(9)

根据γ及β的取值范围，下面分两种情形来讨论：(Ⅰ)λ≤β；(Ⅱ) λ>β.

情形(Ⅰ)：λ≤β.

作广义的Riccati变换w(t)如下：

(10)

显然，w(t)>0(t≥t1). 考虑到τ′(t)≥τ0>0，由上式，得

(11)

因为z(t)>0，z′(t)>0，所以∃ η>0使得z(t)≥η且z(τ(t))≥η，t≥t1. 结合引理3 及(10)式，由(11)式，得

(12)

再作广义的Riccati变换v(t)如下：

(13)

则显然v(t)>0(t≥t1). 完全类似于上面的推导过程，可得

(14)

于是，综合由(12)式和(14)式，并利用(9)式，可得

(15)

由(6)式知，a(t)[z′(t)]λ(t≥t1)是单调减少的，所以

(16)

将(16)式代入(15)式，得

因此

这与(4)式矛盾.

(17)

再定义Riccati变换如(13)式，则完全类似于(14)式的推导过程，可得

(18)

综合(17)，(18)两式，并分别利用(9)式、z′(t)>0及(16)式，有

≤-L0φ(t)Q(t)Ψβ(t，t1)+

于是

这与(5)式矛盾. 定理证毕.

注1本文定理1给出了一类非常广泛的二阶广义的Emden-Fowler型非线性变时滞的中立型泛函微分方程(1)的振荡性判别准则. 由定理1看出，对于λ>β和λ<β两种情形，方程(1)的振荡准则不尽相同；当λ=β≤1时的结果即为文献[4]中定理4；当λ=β时我们的结果还推广并且改进了现有文献中的一系列结果，这由下面的几个例子也可以得到说明.

例1考虑二阶时滞微分方程

(E1)

其中对常数q0>0. 对应于方程(1)，这里λ=β=1，a(t)≡1，p(t)=4/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t-1，δ(t)=t，f(u)=u. 显然条件(C1)-(C3)均满足. 现取φ(t)=t，用定理1的第1种情形(注:L=1，p0=4/5，τ0=1，Ψβ(s，t1)=1)，则

因此，由定理1知，当q0>9/20=0.45时方程(E1)是振荡的.

注2我们也可以用文献[11]的定理2.1来判定方程(E1)的振荡性：因为λ=β，

例2考虑二阶时滞微分方程

(E2)

这里常数α>0. 对应定理1，则λ=1，a(t)≡1，p(t)=1/4，q(t)=α/t2，τ(t)=t/4，δ(t)=t，f(u)=u. 显然，条件(C1)-(C3)均满足. 若取φ(t)=t，由定理1(注意到此时L=1，p0=1/4，τ0=1/4且Ψ(s，t1)=1)，则当α>5/4=1.25时，

因此，由定理1知，当α>5/4=1.25时方程(E2)是振荡的.

注3我们也可以用文[12]的定理3.4来判定方程(E2)的振荡性：由于当α>2时，

所以当α>2时方程(E2)是振荡的. 因此，本文定理1不仅包括了文献[12]中的定理3.4，而且改进了文献[12]中的有关结果.

例3考虑二阶泛函微分方程

(E3)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于

显然条件(C1)-(C3)全部满足. 又因为

为了计算简单，取φ(t)=1，则

所以定理1的条件全部满足，故由定理1知，方程(E3)是振荡的.

注4由于方程(E3)的中立项系数函数p(t)>1且λ≠β，因此文献[1-8，11-25]等中的定理都不能用于方程(E3).

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Oscillation of certain second-order generalized Emden-Fowler-type differential equations

YANG Jiashan1，2, FANG Bin3

(1.School of Information and Electronic Engineering， Wuzhou University， Wuzhou， Guangxi 543002;2.Laboratory of Complex Systems Simulation and Intelligent Computing， Wuzhou University， Wuzhou， Guangxi 543002;3.College of Mathematics and Information Science, Xinyang Normal University, Xinyang, Henan 464000)

The oscillation of second-order neutral functional differential equations has important implications in both theory and application.In this article， the oscillatory behavior is studied on a class of second-order generalized nonlinear Emden-Fowler-type neutral functional differential equations with variable delay，and a new oscillation criteria of the equations is established.

oscillation; Emden-Fowler-type differential equation; Riccati transformation

2016-06-06.

梧州学院2014年校级科研重大项目(2014A003);硕士学位授予单位立项建设项目(桂学位[2013]4号);广西教育厅科研项目(2013YB223) 及河南省基础与前沿技术研究计划项目(142300410434).

1000-1190(2016)06-0799-06

O175.7

A

*E-mail: syxyyjs@qq.com.