圆弧插值在测井资料处理中的应用

刘 越，伍 东，和志明

(中国石油长城钻探工程公司，北京 102206)



圆弧插值在测井资料处理中的应用

刘 越，伍 东，和志明

(中国石油长城钻探工程公司，北京 102206)

具有圆周阵列型探头的测井仪器数据处理中，运用圆弧插值方法可以获得井筒横截面圆周上任意多个测量值，达到增加测井信息量的目的，为井眼状况和套管损伤评价提供技术支撑。利用适用于圆弧处理的余弦函数和第一类边界条件的三次样条函数组合插值法，将井筒横截面上分布的多个测井仪器探头测量值模拟成一个类圆周上的多个均匀排列的数据点，将类圆周模拟为余弦函数，通过第一类边界条件的三次样条函数插值法获得系数矩阵为三对角阵的方程组，使用追赶法求解方程组，得到井筒横截面圆周上的插值点数据。CIFLog-GeoMatrix软件声电成像和多臂井径成像测井资料解释结果表明，插值法形成的圆弧边界具有圆滑性，与实际井壁情况相吻合，且在井眼变形严重的区域能够避免出现与钻头尺寸不匹配的尖弧段，圆弧保形度较高。现场应用表明，经圆弧插值法处理后的多臂井径成像测井资料能够鉴定多种类型的套管损伤，且鉴定效果较好，效率较高。

圆弧插值；测井数据处理；多臂井径成像测井；三次样条函数；CIFLog-GeoMatrix软件

0 引 言

XRMI仪器和多臂井径成像测井仪器是典型的圆周阵列型测井仪器，主要用来测量裸眼井井径或者套管井管柱内径[1]，可用来检测裸眼井井眼状况或者管柱变形等。6臂XRMI类型仪器的6个测量臂均匀分布在测量点平面的圆周上，相邻测量臂之间的夹角为60 °，可获得测量点平面井眼圆周上6个半径值。多臂井径成像测井仪器的多个测量臂均匀分布在测量点平面的圆周上，能够获得套管井井筒圆周上多个半径值，相邻测量臂之间的夹角相同[2]。资料解释处理需要给出井眼变形区域和套管损伤类型，在有限个数的井径或套管内径数值的限制条件下，无法完成对整体井眼或套管的评价工作[1-2]。圆弧插值能够实现井眼内径或者套管内径信息量的扩增[3]，达到评价整体井眼或者套管的目的。国内外还未见有关圆弧插值理论方法在测井资料解释处理中的应用报道。前人从图形图像处理的角度研究了保形闭圆弧样条插值理论的算法[3-4]。此次研究采用适用于圆弧处理的余弦函数和第一类边界条件的三次样条函数组合插值法，对井眼井径或套管内径进行插值处理，该算法可实现井眼或井筒圆周上等间隔和非等间隔插值，圆弧保形度较高，功能强大。

1 组合圆弧插值

声电成像和多臂井径成像测井资料处理解释需要提供直观的井眼或套管内径形状[5]，利用现有测量臂的测量值经过圆弧插值得到井眼或套管内径圆周上多个插值点内径，由圆周上插值节点和插值点内径可以形成光滑直观的井眼或者套管内径图形。为了充分利用井眼或套管圆弧特性和适用于弧线处理的样条函数插值理论，将井筒横截面上分布的多个测井仪器探头测量值模拟成一个类圆周上的多个均匀排列的数据点，将类圆周模拟为余弦函数，采用基于余弦函数和三次样条函数组合圆弧插值理论方法对井眼或者套管内径进行圆弧插值处理，插值后的圆弧过插值节点[6]。

已知参数为：井眼或套管内径类圆周模拟函数y=cos(2πx)(x为角度，rad；y为半径，mm)上的n个点(测量臂对应的插值节点)和其对应的函数值；对应井眼或者套管内径圆周上仪器测量臂所在的角度和多个井径测量值xi(i=0，…，n)、yi(i=0，…，n)(xi为角度，rad；yi为井眼井径或套管内径，mm；i为测量臂编号；n为测量臂数)。

三次样条插值是光滑度高的插值方法[7]，在2个相邻结点(测量臂)构造的插值子区间(xi，xi+1)(i=0，…，n-2)上用一个不超过3次项的多项式来逼近，该多项式实际上是类圆周的局部内径反映，并且在各结点的连接处函数值连续可导，一阶导数连续可导且存在二阶导数[7]。

根据XRMI仪器和多臂井径成像测井仪器资料处理解释对圆弧插值的要求，采用第一类边界条件给出边界导数的初始值[8]。对于井眼或者套管内径类圆周模拟函数y=cos(2πx)，给定n个测量臂对应的结点角度和其上的函数值井径：

(1)

其中，f(xi)=cos(2πxi)，单个测量臂的井径是其与第1个测量臂夹角的函数。用第一类边界条件的三次样条函数插值公式计算m个插值点处的井径函数近似值z。其中第一类边界条件是由函数两端2个测量臂数值函数的一阶导数值给定。

(2)

式中：x0为插值节点第1个点对应的角度，rad；y0为插值节点第1个点对应的井径，mm；f′为边界导数。

(3)

经过推导得到方程组：

(4)

式(4)是一个系数矩阵为三对角阵的方程组，使用单纯形法或追赶法进行求解[9-10]，确定出井径插值[11-14]公式，获得井眼或者套管内径横截面圆周上任意多个井径值，计算步骤如下。

(5)

(2) 反向计算中间n-2个测量臂所在节点处的一阶导数值dyi(i=1，2，…，n-2)，循环i=n-2，n-3，…，1，执行dyi=aidyi+1+bi。

(3) 选取合适的相邻测量臂组成的区间分别计算m个插值点处的井径函数值，设所用的相邻测量臂组成的区间为[xi，xi+1]，则对于插值点t：

(6)

式中：t为插值点角度，rad；z为插值点井径，mm。

2 实例分析

将该组合圆弧插值方法集成到CIFLog-GeoMatrix软件的声电成像资料解释处理模块及多臂井径成像测井和磁壁厚测井资料解释处理模块中，选取某井FMI成像测井仪器资料，该井深度3 287.463 6 m处共测得井眼圆周上8个井径值，进行圆弧360 °插值，构造极坐标系下插值节点和插值点数据序列为：

(7)

固定圆心，采用360个插值点数值形成井眼如图1所示，仪器在井眼中居中。

图1 某井井眼横截面示意图

在其他井深处采用三次样条组合圆弧插值，形成对应的仪器居中情况下井眼如图2所示。

图1、2中黑色圆心代表仪器，黑色粗线代表仪器极板，其中红色粗线代表1号极板，黄色区域代表井眼，黄色区域边界所对应的圆弧代表井壁，边界对应的圆弧为由360个圆弧插值点绘制而成。由图2可知，插值点过插值节点，插值后的井眼效果较好，在井眼变形较严重的深度处，该方法仍能保证井眼圆弧具有较高的保形度，避免出现与钻头尺寸不匹配的尖弧段。经该方法处理后的数据能够直观给出井眼变形图形，显示井眼缩径、扩径以及井眼垮塌等影响完井作业的井眼变形，指导施工对井眼进行修复。选取某井的多臂井径成像测井仪器数据，对套管内径做组合圆弧插值处理，得到效果如图3、4所示。

图2 圆弧插值形成的井眼示意图

图3 某井267.8m套管示意图

图3为某井267.8 m处40臂井径成像测井和12探头套管壁厚测井资料处理后形成的套管横截面图，图4为某井369.9 m处的套管横截面图。图中黄色区域代表钢套管，套管内部红色边界表示经过圆弧插值后的套管内径图形，插值点数为360个，即在圆周上插值出360个套管内径，插值后的套管内径图形经过40个测量臂测量到的套管内径，钢套管外部为12探头壁厚数值经过圆弧插值形成的钢套管外壁。与XRMI仪器井径圆弧插值效率一样，40臂井径成像测井仪器套管内径插值效果图随着深度变化实时显示，效率较高。图4中心黑点代表套管的轴心，从套管横截面图可知，该井267.8、369.9 m处套管变形比较严重，267.8 m处在井眼160 °井壁处有严重的缩径，套管减薄严重，外壁已被严重腐蚀；369.9 m处在井眼180 °井壁处有严重的缩径以及套管变形，在井眼270 °井壁处有严重的套管变形，同样井眼340 °井壁处有严重的套管变形，套管一周均有轻微变形，2个深度处的套管不存在穿孔等可能影响串层的损伤，套管横截面图显示该井套管还存在其他类型的损伤腐蚀，表明该方法在套管损伤评价中发挥了重要作用。利用该方法对套管横截面图资料处理解释，该井第35根至第44根钢套管损伤腐蚀类型及程度归类见表1，所有套管损伤分类见表2。

图4 某井369.9m套管示意图

套管编号模型内径/mm损伤分级MIT结垢描述MIT套管描述点状腐蚀环状腐蚀线状腐蚀片状腐蚀穿孔孔数35146.263轻微结垢严重片状损伤,严重斑点状损伤,多孔是否否是436146.081轻微结垢中度斑点状损伤,多孔是否否否837146.344轻微结垢严重斑点状损伤,多孔是否否否338145.812轻微结垢中度斑点状损伤,多孔是否否否739145.952轻微结垢中度斑点状损伤,多孔是否否否1540146.352轻微结垢中度斑点状损伤,多孔是否否否1141146.103轻微结垢严重斑点状损伤,多孔是否否否1542146.055轻微结垢严重斑点状损伤,多孔是否否否543146.442轻微结垢中度斑点状损伤,多孔是否否否544146.503轻微结垢严重斑点状损伤,可能穿孔是否否否1

表2 某井78根套管损伤分类统计

由表1、2可知：该井所测78根套管中，第35至44根套管全部有点状损伤，并且均存在穿孔；第35至43根套管存在多处穿孔，没有出现线状和环状损伤，需要对存在点状损伤和穿孔的套管进行修补；套管损伤分类统计图显示该井套管损伤主要以斑点状损伤为主，达到70根套管，同时存在严重的穿孔现象，该井套管还存在轻微的片状损伤、线状损伤和环状损伤；损伤分级显示该井套管严重损伤的有58根，中度损伤的套管有15根，轻微损伤的套管有5根。

3 结 论

(1) 使用组合圆弧插值方法可以获得井眼或井筒横截面圆周上任意多个内径值，达到评价整体井眼或套管的目的，为套损评价提供不同的套管损伤类型。

(2) CIFLog-GeoMatrix软件的实例应用结果表明，该方法处理效率高，效果好，可满足生产需求。

(3) 该方法具有2个优点，一是圆弧边界具有圆滑性，与井眼井壁实际情况相吻合，特别是在不同分段插值区间之间弧线段首尾相连接处，避免了首尾连接处出现弧线不匹配的问题；二是在井眼变形较大处能够避免出现尖弧段，与实际井眼井壁弯曲的弧度不能小于钻头的弧度相符合，圆弧保形度较高。

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编辑 林树龙

20160504；改回日期：20160912

中国石油天然气集团公司科学研究与技术开发项目“重大工程关键技术装备研究与应用/随钻电磁波成像与测录井解释支持系统研发”(2013E-3809)

刘越(1973-)，男，高级工程师，1995年毕业于沈阳工业大学焊接工艺与设备专业，2005年毕业于加拿大多伦多大学机械工程专业，获博士学位，现从事测井方法研究和测井仪器研发工作。

10.3969/j.issn.1006-6535.2016.06.031

TE319

A

1006-6535(2016)06-0136-05

国家专利：一种基于超声成像测井的裂缝定量评价方法(中国，ZL201210125518.9)