应该为结构拓扑优化的设计变量正名和处理方法顺言

彭细荣， 隋允康

(1.湖南城市学院土木工程学院， 湖南 益阳 413000；2.北京工业大学工程数值模拟中心， 北京 100124)



应该为结构拓扑优化的设计变量正名和处理方法顺言

彭细荣1， 隋允康2

(1.湖南城市学院土木工程学院， 湖南 益阳 413000；2.北京工业大学工程数值模拟中心， 北京 100124)

为了澄清拓扑化概念及促进发展，从基本概念入手，阐述了为拓扑变量正名、为有关映射顺言的必要性和迫切性. 连续体结构拓扑优化方面的研究，以往学者们不注意厘清拓扑变量的概念，没有探讨其独立地位，而是依附于结构优化低层次，采用惩罚函数使变量趋于0/1，有研究者于2004年意识到应当引进Heaviside函数取代惩罚函数. 其实，笔者在1996年提出的独立连续映射(independent continuous mapping，ICM)方法中已经彻底解决了这些问题：定义独立层次的拓扑变量；采用阶跃函数及其逆函数的近似逼近. 本文阐述了ICM方法的概念，并以频率约束拓扑优化为例详述了建模及求解. 算例表明ICM方法因概念清晰显示出明显优势. 《论语·子路篇》曰：“名不正则言不顺，言不顺则事不成.”正名方可顺言，是时候该为结构拓扑优化的设计变量正名和处理方法顺言了.

连续体结构拓扑优化；拓扑设计变量的独立化；近似逼近函数；惩罚函数；阶跃函数；Heaviside函数；独立连续映射(independent continuous mapping，ICM)方法；变密度法

连续体结构拓扑优化是指通过子域的“有”或“无”的拓扑布局，在满足一定约束条件下，求得使某目标最优的结构构型[1]. 约束及目标可取为结构强度、刚度等性能指标或材料用量等经济指标.

目前使用的连续体结构拓扑优化大部分是构建在基结构(ground structure)之上的[2]，其拓扑优化模型在本质上属于大型离散规划问题. 对离散模型的求解目前没有高效算法，智能算法，如模拟退火算法(simulated annealing，SA)[3]、遗传算法(genetic algorithm，GA)[4]、粒子群优化算法(partical swarm optimization algorithm，PSOA)[5]等，其普遍特点是收敛速度都较慢. 启发式的进化结构优化(evolutionary structural optimization，ESO )[6]法按某种准则，对单元进行删除或增加，其收敛速度也较慢，且最优构型受准则参数影响大等严重困扰[2,7].

为了克服离散变量优化问题的求解困难，出现了用连续变量“代替”或“逼近”离散变量的做法. 连续变量“代替”离散变量的大部分做法是将拓扑层次优化问题降低为低层次尺寸或形状优化问题，用连续的材料性能变量、截面变量或形状变量取代离散的拓扑变量. 主要可分为两大类方法：一类方法是依据设计变量在设计区域内的分布场来确定，典型方法有均匀化方法[8]、变密度法[9]、变厚度法[10]等；另一类方法是在设计区域内通过孔洞的形成、合并及孔洞与边界的形状改变来确定，典型方法有水平集法[11]、相场法[12]及拓扑导数法[13-14]等.

由于不同方法间的参考与借鉴，不同方法间呈现交叉、融合的趋势. 如变密度法的密度过滤所采用的投影技术类似于水平集方法中的水平集函数[15]，可看作一种参数化的水平集方法[16]. 使用人工假想材料描述边界的水平集方法，“空”域内单元指定一个很小的人工密度，“实”域内单元指定人工密度为1，边界附近单元人工密度依据Heaviside 投影确定取适当的中间密度值，其实质是在用水平集函数控制人工密度场分布，而非真实的有限元网格边界[17]，可看作一种变密度法[16]. 基于敏度分析及过滤技术改进的双向进化结构优化(bi-directional evolutionary structural optimization，BESO)方法，已不完全是初始的基于生物进化启发而提出的完全离散的优化算法[6,18]，可看作一种采取离散更新策略[16]的固体各向同性材料惩罚(solid isotropic material with penalization，SIMP)[9]法.

从连续体结构拓扑优化方法的发展来看，无论是基于投影技术的变密度法，还是基于人工材料描述边界的水平集方法，材料方式描述拓扑或形状方式描述拓扑已经开始融合，基于设计变量分布场来确定结构拓扑布局的概念已经形成. 然而，不幸的是，由于历史发展的原因，这个设计变量分布场却生硬地依附在人工材料密度或水平集函数所描述的边界形状等一些低层次材料或形状优化变量上，使得在问题描述及建模上出现了各种所谓的杂交方法. 既然各种方法开始融合，是时候应努力寻求各种方法归一的可能，即各类初始从不视角提出的方法，是否有可能在某种理论框架下进行统一.

突破口应回归到连续体结构拓扑优化问题的本源上来. 一是选取什么量作为设计变量？二是如何利用基于连续变量的优化算法来解决大规划离散优化的困难？

本质上，上述概念和处理方法相关的问题，早在1996年由隋允康提出的拓扑优化独立连续映射(independent contimous mapping，ICM)方法已经解决：一是ICM方法定义了独立层次的拓扑变量；二是通过阶跃函数及其逆函数的近似逼近，在连续拓扑变量的基础上建立及求解拓扑优化模型[19].

连续体结构拓扑优化发展之初，对于这2个问题，大多方法将设计变量依附于低层次的变量上，如板的厚度、微结构尺寸、人工材料密度、水平集函数描述的隐式边界形状等，通过这样处理，以达到将一个大规划离散优化问题转化为连续变量优化问题求解的目的. Sigmund等[16]提到基于密度的各类拓扑优化方法中，设计变量场为纯数学意义上的概念. 以人工密度来表征子域的“有”或“无”，采用惩罚函数的概念来实现大部分设计变量取0/1，其实，这种处理方式是算不上纯数学的拓扑优化变量. Heasivide投影法[15,20]用于变密度法中过滤处理以得到无棋盘格及网格依赖现象、拓扑清晰(即过渡单元很少)的最优拓扑，其用连续函数近似Heasivide函数(其为阶跃函数的别名)类似于ICM法中磨光函数逼近于阶跃函数，但其拓扑优化建模仍是变密度法，设计变量仍是人工密度. 到目前为止，综合国内外相关研究文献来看，除ICM方法外，还没有其他方法提出过独立层次的拓扑变量及相应的建模处理方法.

近年来，一些学者敏锐地意识到还原拓扑变量独立地位的重要意义，ICM方法得到他们的关注，并且做出了可喜的研究工作，如龙凯等[21-22]基于ICM方法提出了基于节点独立变量的方法和混合插值建模方法，后来定义物质点拓扑变量为[0 , 1]上用于表征物质点及其领域存在与否的实数[23]，以拓扑变量来表征一个“物质点”的“有”或“无”，从概念上来讲还是ICM方法所提出的独立连续拓扑变量. 邓果等[24]基于ICM方法，研究了位移线性近似式和应力约束转换表达式以及有效结构信息到结构最大设计域信息的映射转换方法.

连续体结构拓扑优化发展到今天，可谓方兴未艾，却在最基本概念上如此良莠纷繁而未能趋同. 然而，在建筑结构形态创构领域，研究者却自然应用了拓扑变量的概念来描述拓扑优化问题[25]，作为结构拓扑优化的一个延展应用的领域，却在基本概念的使用上更为自觉及合理，这不得不引起结构拓扑优化领域研究者的反思乃至自省：是时候该为结构拓扑优化设计变量正名了，同时也该为相应处理方法顺言了.

1 独立层次拓扑设计变量定义及拓扑优化模型

求解连续体结构拓扑优化问题，旨在确定设计区域内各子域的“有”或“无”，应该怎样定义拓扑设计变量呢？

ICM方法解决这一问题时，首先考察了低层次的截面及形状优化设计变量的取法：在截面优化中，需要设计的是杆件或板的截面，其设计变量通常取杆件的截面尺寸或面积、板的厚度等；在形状优化中，需要设计的是结构的形状，其设计变量通常取骨架类结构的连接节点坐标或连续体结构的边界或孔洞的有限元网格节点坐标或形状描述函数参数，亦即取“形状”作为设计变量. 到了拓扑优化层次，设计变量不再是具体的几何量或物理量，而是各子域的“有”或“无”，很自然，各子域“有”或“无”的拓扑状态就可以分别用0和1两个数来表征，即：

子域——一个几何点邻域内足够小的区域.

子域的拓扑变量是离散量0或1，分别代表此子域为“无”与“有”.

不难看出，上述定义的拓扑设计变量是一个纯粹的数学量. 对连续体结构拓扑优化问题，作为子域“有”或“无”的表征，也可以称为子域拓扑分布场的平均值. 可称为离散拓扑设计变量或拓扑分布场的离散平均值. 这里强调离散，是为了区分ICM方法定义的连续拓扑变量.

可以看到，由于定义了表征子域“有”或“无”的拓扑状态量，结构拓扑的描述就变得非常清晰及自然. 选取其他物理量作为拓扑优化模型的设计变量，如变厚度法中的板厚度、均匀化方法中的微结构尺寸、变密度法中的人工密度等均没有直接反映拓扑优化的本质，应是拓扑优化发展初期，为解决大规模离散优化模型的“组合爆炸”困难，将问题转化为基于连续变量的规划模型而采取的不得已的一些物理转化方式.

ICM方法则不依赖物理转化，而是把离散的0/1变量延拓到[0,1]，0与1之间的中间实数值类似于模糊集合论中的隶属度，表示对于0或1的靠近程度. 这就是连续的拓扑变量.

另一方面，发展到现在，变密度法由于其广泛的研究及应用，“密度”一词一直沿用，但其所表达的意义已由初始的人工密度的起始概念悄悄发生了变化，其意义已非常接近于ICM方法中的连续拓扑变量. 对比一下变密度法中用“密度”这个词汇来表征子域“有”或“无”的拓扑状态，其值取值在[0,1]，利用此人工密度变量，建立单元体积及单元弹性模量的函数关系. 很明显，变密度法在此处使用密度这一词汇是极易与真正的材料密度概念产生混乱的. 为什么要用“密度”来说一个子域的“有”或“无”，让人感觉非常奇怪，难道真正的材料密度必须用人造的、人工的、假的或伪的“密度”表达吗？

更重要的是，伴随着纯数学的拓扑设计变量由1变成0，单元所具备的所有的几何量、物理量到从有变成无，不仅仅是密度从有变成无，因此，单独关注密度，并不是公正的. 可见，最合理的做法是采用纯数学的拓扑设计变量，ICM方法称之为独立连续的拓扑变量.

选定了设计变量为离散拓扑变量，连续体结构拓扑优化的提法可表达为

(1)

式中：ti为子域i对应的离散拓扑设计变量，取值0或1，t为由tj组成的设计变量向量；c(t)为目标函数；Aj(t)及Bk(t)为等式及不等式约束条件；J及K分别为等式及不等式约束数目；N为设计变量数目.

这是个离散数学规划问题，在基于有限单元法的结构拓扑优化中，通常取一个单元对应于一个子域，即对应于一个拓扑设计变量，由于有限元单元数量通常成千上万，因此，此离散数学规划的设计变量数通常很大，而求解大规模离散数学规划问题遭遇极为棘手的“组合爆炸”困难. 如引言中所述，为了克服离散变量优化问题的求解困难，通常用连续变量“代替”或“逼近”离散变量的做法，均匀化方法、变厚度法、变密度法及水平集法等采用“代替”的做法，唯有ICM法从函数逼近的视角采用“逼近”的做法.

2 离散及连续拓扑变量转化——阶跃函数及其逆函数近似逼近

2.1 离散拓扑变量与阶跃函数

考察变厚度法、均匀化方法或变密度法等中的设计变量如板厚度、微结构尺寸或人工材料密度等，这些在结构拓扑优化过程中变化的物理量，无论其如何小，对应的拓扑变量为1，而当其等于0时，拓扑变量突变为0；物理量是连续变化的，但拓扑变量却是在零点跳跃的. ICM法引入阶跃函数描述上述关系，函数图形如图1所示.

阶跃函数为

(2)

2.2 连续拓扑变量与磨光函数

(3)

磨光函数逼近阶跃函数，使拓扑变量由取值0/1的离散变量扩展为到取值在[0, 1]的连续变量. 此函数逼近过程称为磨光近似映射. 连续拓扑变量取(0,1)值时反映了对应子域“有”与“无”的程度.

函数图形如图2所示.

2.3 基于连续拓扑变量的拓扑化建模与求解

取连续拓扑变量作为设计变量，连续体结构拓扑优化的提法可表达为

(4)

式中ti为子域i对应的连续拓扑设计变量，取值[0, 1]. 这是个连续变量数学规划问题，可应用基于连续函数的高效求解算法求解，如对偶序列二次规划法、移动渐近线法(method of moving asymptotes,MMA)等.

2.4 离散连续拓扑变量间的映射与求解

求解基于连续拓扑设计变量建立的结构拓扑优化模型(如式(4)所示)，得到最优的设计变量分布场t*，称之为连续拓扑分布场. 最后取连续值的拓扑变量需要回归到取0/1离散值的拓扑变量，在阶跃函数的逆函数(为引用方便，以下均称之为跨栏函数)中，拓扑变量只取离散值0/1，如图3所示，因此，要使得拓扑变量取中间值，需要一个连续可导函数(称为过滤函数，如图4所示)逼近跨栏函数

(5)

过滤函数实现将连续拓扑变量离散化，同时在建模时，起到了对相应的子域物理量进行识别的作用：

(6)

过滤函数为磨光函数的逆函数，跨栏函数为阶跃函数的逆函数，过滤函数近似逼近跨栏函数，而磨光函数近似逼近阶跃函数，4种函数的关系如图5所示.

过滤函数或磨光函数可以为多样函数形式，到目前为止，ICM法研究过的过滤函数大致有3类：幂函数、修正的Sigmoid函数和指数函数[7].

综上所述，ICM法定义了独立拓扑变量，应用函数逼近理论，对阶跃函数及其逆函数进行连续可导化的函数逼近近似，从而实现用基于连续变量的优化模型求解原本离散的大规划优化问题.

(7)

所示Heaviside函数表示这种关系，然后，用一个连续光滑的函数近似逼近此函数，如

(8)

所示.

β取不同值时的近似程度如图6所示，可以看到，此与ICM法中磨光函数对阶跃函数的近似是类似的(见图2)，然而其应用却是完全不同的. 两者之间的共同点是均用了阶跃函数来表征单元的“有”或“无”，均用了连续光滑函数对阶跃函数逼近. 但ICM法是用阶跃函数的近似逼近来将离散拓扑变量连续化，将不可导函数变换为连续光滑的可导函数，从而用连续变量规划模型来求解原离散规划模型，而Heaviside投影法是应用在拓扑边界的尖锐化处理上，迫使过渡单元的人工密度尽量取值为0或1.

从上述对Heaviside投影法及ICM法的对比分析可以看到，发展到现在，人们逐渐意识到阶跃函数与单元“有”或“元”表达间的关系及应用光滑连续函数进行建模处理的好处，但还处于朦胧阶段，在此发展阶段，深入阐述ICM法的独立层次拓扑变量及其基于阶跃函数及其逆函数近似的建模处理方法，对加深对拓扑优化问题本质的认识及促进其发展是有非常重要的意义.

3 ICM法合理化建模及求解

选取连续拓扑变量作为设计变量，可以建立如式(4)形式的连续体结构拓扑优化模型. 这里还有2个问题：

问题1 式(4)所示模型中目标函数c(x)，等式及不等式约束条件Aj(x)及Bk(x)的选取问题.

问题2 如何将目标函数及约束条件表达为连续拓扑设计变量的近似显式函数的问题.

对问题1，将结构优化问题涉及的物理量划分为两大类指标：经济指标，如结构总重量(或总体积)、总造价等；性能指标，如结构应力、位移、频率等. 则结构优化模型可分为两大类：1) 在满足性能指标下结构经济指标最小化问题；2) 在结构经济指标限制下的结构性能最优化问题.

连续体结构拓扑优化中研究得最多的模型是以结构总体积(即对应于结构总重量)约束下结构柔顺度极小化问题. Sigmund[16]指出：应实际工程问题的需要，可以加入其他性能约束条件，但体积约束即使不重要，也作为一个基本约束条件加入在优化模型中以提高求解过程收敛的稳定性.

考察低层次的截面及形状优化问题，可以发现通常建立的优化模型是第1类以经济指标最小化为目标的模型，而发展到拓扑优化层次，模型的主流却发生了变化，转变成了第2类模型. 拓扑优化以体积约束作为一个基本约束，建立第2类模型， 存在如下不足：

1) 体积约束值的确定是没有依据的、先验的，指定不同的体积约束值会得到不同的最优拓扑构型.

2) 取性能为目标，在很多优化问题中不得不建立多目标优化模型，而多目标间的权重系数也是先验的.

3) 与低层次的截面及形状优化的模型不一致，不便于建立截面、形状及拓扑集成优化模型.

隋允康等[26-27]研究表明：第1种模型比第2种模型更加合理. 在ICM法中，均是建立第1类优化模型.

对问题2，在过滤函数逼近跨栏函数的过程中，建立了连续拓扑设计变量与各物理量的显式函数关系，如式(6)所示，在此基础上，通过敏度分析求得各物理量对拓扑设计变量的偏导数，通过一阶Taylor展式，可以建立目标函数或约束与连续拓扑设计变量间的近似显式函数.

以重量极小受结构频率约束的拓扑优化问题为例，其优化模型为

(9)

上述3个过滤函数取为幂函数形式，分别为

fw(ti)=tαw,fk(ti)=tαk,fm(ti)=tαm

(10)

为避免当拓扑变量ti→0时，质量刚度比趋于无穷大，取αw=a,αk=αm=b.

各单元重量、单元刚度矩阵及单元质量矩阵与拓扑设计变量间的关系分别用对应的过滤函数进行识别：

(11)

式中上标k指第k次迭代的值.

记

令

则所有类型频率约束可统一表述为

由此得到频率约束下、重量最轻为目标的连续体结构拓扑优化模型为

(12)

式(12)可分离变量的非线性规划问题，可采用对偶系列二次规划法求解.

迭代求解的收敛准则为

ΔW=|(W(k+1)-W(k))/W(k+1)|≤ε

(13)

式中：W(k)及W(k+1)为前轮与本轮迭代的结构总重量；ε为收敛精度，本文取ε=0.001.

其他类型性能约束的拓扑优化问题建模及求解的过程类似[8].

4 数值算例

算例1 多点位移约束拓扑优化

如图7所示，基本结构为16 mm×10 mm的平面，初始厚度为1 mm，材料弹性模量为200 GPa，泊松比为0.3. 划分为64×40个矩形单元，载荷F=1 000 N. 左、右下脚点采用固定约束.A点处竖直向下位移约束为0.25 mm，B、C点处竖直向下位移约束为0.2 mm.

结构初始总体积为160 mm3，A、B及C三点竖向的位移分别为-0.100 6、-0.940 2及-0.940 2 mm. 经39次迭代后得到的拓扑图形，如图8所示，目标及约束的历史迭代曲线如图9及10所示. 最优点总体积35.852 1 mm3，A、B及C三点最优点位移分别为-0.249 7、-0.199 9及-0.199 9 mm.

算例2 多个频率约束拓扑优化

如图11所示，60 mm×20 mm×2 mm的矩形板，2个角点固定，在下边界布置3个集中质量块，1/2跨处的集中质量块为8 g，1/4及3/4跨处的集中质量块为4 g，集中质量块只有Y方向的惯性，弹性模量E=1×106MPa，泊松比为0.3， 材料密度ρ=1 mg/mm3. 用矩形单元，划分为120×40=4 800个单元.

为比较动态加入频率约束的方式解决模态交换的效果，计算2种情况：

1) 只考虑指定的频率约束.

2) 除考虑指定的频率约束外，动态加入防止模态交换的频率约束.

计算情况1)不收敛，得到的部分迭代过程目标及约束的历史曲线如图12、13所示，计算情况2)经过51次迭代后收敛，得到的最优拓扑图形如图14，目标及约束的迭代历史曲线如图15、16所示，最优点处体积为512.12 mm3， 前三阶频率为15 007.78、15 770.05、30 058.07 Hz.

从迭代历史曲线中可以看出：在没有加入防止模态交换的频率约束的情况下，在迭代进行到一定程度后，第一阶频率值与第二阶频率值非常接近，从而发生模态交换，使得敏度计算得到错误的信息，从而引起迭代过程中出现振荡，最终不收敛；加入防止模态交换的频率约束后，迭代过程非常平稳. 由此可见，动态加入频率约束的方式确实可以有效地防止迭代过程中模态交换现象的发生，从而达到稳定收敛过程的目的.

算例3 多点频率响应位移幅值约束拓扑优化

如图17所示，基结构尺寸为520 mm×260 mm×6 mm, 材料弹性模量为68.890 GPa，泊松比为0.3，密度为7.8×103kg/m3. 集中载荷F=7 000×sin (2πft)N分别作用于下边界A、B及C三点，激励频率为500 Hz. 底部2个角点固定. 位移约束A点许用Y方向位移为0.5 mm，B及C点许用Y方向位移为0.45 mm. 计算无阻尼及结构阻尼为0.3两种情况.

在无阻尼情况下，41次迭代后计算得到的最优拓扑图形如图18所示，有阻尼情况下，43次迭代后计算得到的最优拓扑图形如图19所示. 初始基结构的位移及最优结构的位移比较如表1所示，位移约束迭代历史迭代曲线及目标迭代历史曲线如图20～22所示. 从最优拓扑图形中可以看出：在相同约束条件下，无阻尼结构及有阻尼结构得到的最优拓扑图形不同.

结构A点B点C点基结构(无阻尼)0.488260.444540.44454最优结构(无阻尼)0.499860.449150.44915基结构(有阻尼)0.418480.381090.38108最优结构(有阻尼)0.499010.449570.44957

5 结论

1) 以往连续体结构拓扑优化没有能够厘清拓扑变量基本概念，而是用依附于低层次结构优化上，而ICM方法定义拓扑变量表征子域“有”或“无”的拓扑状态，自然而清晰，不再需要将拓扑优化问题降格为材料优化、尺寸优化或形状优化问题. 可惜，连续体结构拓扑优化研究领域内还没有对此引起足够重视，例如变密度方法中“密度”一词极易与真实的材料密度概念混淆.

2) 不同于采用惩罚函数进行“有”或“无”拓扑状态的变密度方法处理，ICM方法通过对阶跃函数及其逆函数的逼近，定义了磨光函数及过滤函数，识别出各物理量与连续拓扑变量间的函数关系，解决了目标函数与约束条件按拓扑设计变量近似显式化的建模问题. 而Heaviside投影法尽管有了用阶跃函数表征子域的“有”或“无”的意识，也应用到了用连续光滑函数逼近阶跃函数，但其应用却不是用于建立连续变量规划模型以解决大规模离散规划模型的求解困难，而是用在人工密度的过滤处理方面，仅起到对存在过渡单元的拓扑边界进行锐化的作用.

3) ICM方法以经济指标为目标函数、性能指标为约束函数建立的拓扑优化模型可以避免通常的以体积为约束的拓扑优化模型的不足，与低层次的截面及形状优化在目标取法上保持了一致，更有利于各层次优化间的集成.

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(责任编辑 杨开英)

Name Correction for Design Variable of Structural Topology Optimization and Presentation of Its Corresponding Treatment Method

PENG Xirong1, SUI Yunkang2

(1.School of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, Hunan, China;2.Numerical Simulation Center for Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

To clarify the concepts and promote developments of the structural topology optimization by analyzing the basic concepts, the necessity and urgency of name correction of the design variable of structural topology optimization and presenting its corresponding mapping method are discussed. For the topology optimization of continuum structures, the concept of topology variable was not clarified. The independent level of the topology variable was not discussed and the topology variable was attached to the variables of the structural optimization in lower levels. A penalty function method was adopted to assure the design variables of lower levels to approach to 0/1. In 2004, the Heaviside function was introduced to replace the penalty function by some researchers. Actually, the above problems and their treatments were solved completely in the independent continuous mapping (ICM) method, which was put forward in 1996. The one was the definition of the topology variable with independent level. The other was the approximations of the step function and its inverse function. In this paper, the basic concepts in the ICM method were first introduced. The process of modeling and solution was described by taking the topology optimization problem with frequency constraints as an example. Some examples show that the ICM method has obvious advantages in the aspects of modeling and solution because of its clear concepts. The Zi lu article in the Analects said that a speech will not be in right order if a name is not correct, and nothing will be successful if a speech is not in right order. It is time to correct the name of design variable of structural topology optimization and present its corresponding treatment method.

topology optimization of continuum structures; Independent topology variable; approximation functions; penalty function; step function; heaviside function; independent continuous mapping (ICM) method; variable density method

2016- 07- 24

国家自然科学基金资助项目(11672103)；湖南省自然科学基金资助项目(2016JJ6016)

彭细荣(1972—)， 男， 副教授， 主要从事结构优化方面的研究， E-mail：pxr568@163.com

隋允康(1943—)，男，教授，博士生导师，主要从事结构优化方面的研究，E-mail：ysui@bjut.edu.cn

O 343.1

A

0254-0037(2016)12-1787-11

10.11936/bjutxb2016070072