放飞思维——以《圆锥的侧面积和全面积》教学为例

●柯阳兵

放飞思维
——以《圆锥的侧面积和全面积》教学为例

●柯阳兵

笔者以人教版课标实验教材九年级上册《圆锥的侧面积和全面积》教学为例，谈谈“三自”模式在课堂教学中的实际运用。

一、定向导学

导学模块主要由导入新课和自主学习两部分构成。

教学时，教师采用了问题导入的方式：向学生展示圆锥形生日帽和一次性纸杯，并提出问题，“制作这些物品需要消耗多少材料？如何计算？”随后，教师用PPT呈现出学习目标——掌握圆锥母线的概念和圆锥侧面积、全面积的计算方法；运用圆锥侧面积和全面积的求解方法进行简单运算。这样的导入简单明了，既体现出数学在生活中的应用价值，又让学生明确了学习目标，还激发了学生的求知欲。

自主预习阶段，教师通过导学案向学生呈现出两个板块的内容。

板块一：概念认知

学生自学教材第112-113页，思考三个问题：①圆锥是由底面和一个侧面围成，其中底面为______形，侧面为_______面，若底面半径为r，则底面积为______；自研教材，我们知道圆锥的母线是______，它有______条。②拿出生日帽，我们如何知道这个圆锥的侧面积呢？（提示：立体图形往往可以通过剪开并展开处理成平面图形来探究。）③试着沿一条母线剪开生日帽并展开，它变成了_____形。有了这个图形，再结合原有的图形，你有了哪些发现？

板块二：例题导析

学生自学教材第114页例2，思考三个问题：①蒙古大草原是人间仙境，人们在这里做了许多蒙古包。做蒙古包时要考虑哪些因素？（结合教材图24.4-6思考。）②如果你是蒙古人，要做一个蒙古包，请你设计一张图纸。③解题中运用到哪些知识点？

板块一的三个问题层层深入，能让学生在阅读教材、动手操作、观察比较中，较容易地理解圆锥的相关概念、各元素之间的关系以及公式的推导方法。板块二以三个较为开放的问题引导学生研读例题，从中找到计算圆锥侧面积的关键要素；画出蒙古包设计图的设计看似无意，其实是解决问题的突破口。

实际教学中，学生在导学案的引导下通读教材，熟悉内容，并利用双色笔或标注出知识的重难点，或批注（标注）出不明白的问题，或自主完成能完成的任务，真正体验到了知识生成的过程。

二、展示提升

这一环节是师生、生生充分对话的过程，一般按照同质对学、异质帮学、全组群学、全班展示的流程进行。

为保证学生讨论时活而不乱，教师在导学案上预设了一些提纲挈领的问题：①生活中有哪些圆锥的应用；②结合图形明确圆锥母线和高的概念；③理解圆锥各要素与其侧面展开图之间的对应关系；④理解圆锥侧面积、全面积公式的生成过程。学生针对这几个问题，先同质对学；随后，进入异质帮学流程，即相邻层次的学生对照导学案，通过请教或帮辅的方式，解决对学中未能解决的问题；完成了对学和帮学后，各小组长带领组员进入全组群学环节。

群学环节，教师将导学案中预设的两个展示内容平均分配给六个小组，由组长进行题目分解和任务分工。

预设方案如下——

方案1：从图形操作到公式生成。请结合图形和生日帽把“操作→析图→生成公式”的过程完整地展示出来，供全班分享。（注意解读：①圆锥体中的相关概念；②圆锥体中各元素之间的关系；③公式的生成过程。）

方案2：例题解读。请按照“解读题意→思路分析→规范解答→注意事项→归纳总结”的过程展示研讨成果。

学生按照方案充分地讨论后，课堂进入展示分享阶段。“周鑫六组”对方案一进行展示。主讲学生呈现了一个事先准备好的圆锥体，对照实物对圆锥的相关概念（母线、侧面、底面、高和底面半径等）进行了解读；为了便于理解，他还在黑板上画出了比较规范的几何图形。这名学生展示完概念后，同组的第二名学生拿起一把剪刀，沿着母线将圆锥侧面剪开，直观地呈现了圆锥侧面展开图是一个扇形。他进一步引导同学们发现：剪开后，圆锥的母线成为展开扇形的半径，扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即圆锥侧面面积就是扇形面积。然后，他根据扇形面积计算公式（其中L表示扇形弧长，R表示扇形半径）及圆锥侧面展开图和圆锥各元素的关系，在黑板上演算、推导出圆锥侧面积计算公式，即S侧=S扇=(其中，r表示圆锥底面圆的半径，R表示扇形半径)。展示组展示后，其他学生开始发表看法。一名学生说：“我发现圆锥体的高、母线和底面半径能构成勾股定理。这样，在以后的运用中，我们只要知道了其中的两个量，就可以算出第三个量。”另一名学生说：“在计算圆锥侧面积的时候，我们不要死记公式，这样字母容易混淆。我们只要知道圆锥体和展开扇形之间各元素的转化关系，再利用熟知的扇形面积计算公式就能很容易地推导出圆锥侧面积公式。”

方案二是例题解析，由“圳楷一组”展示。因为教材中已知数据为蒙古包的底面积、蒙古包的高和外围的高，这个组在展示时，依据教材中的实物图，引导同学们画出了实物展开图；他们还重点讲解了如何利用底面积求出底面半径，如何利用底面半径和圆锥体的高求出母线。在讲清思路后，这个组完整地呈现了例题的解题过程。

在展示环节，教师主动退到了幕后，而把学生推到了前台。学生通过多种互动方式，把课堂推向了高潮。

三、自主测评

自主测评环节包括知识整理和达标测评两个板块。

“知识整理”的内容包括梳理知识要点、绘出知识（思维）导图、总结规律、提炼方法等。在《圆锥的侧面积和全面积》的知识整理过程中，教师引导学生绘出了圆锥体及侧面展开图（如下图）。

通过这幅图，学生清晰地看到了几个重点元素之间的关系，即圆锥侧面展开图是一个扇形，圆锥母线成为展开扇形的半径，扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，圆锥体侧面面积即为扇形面积。

“达标测评”的选题要有针对性和典型性，题型要多样，题量要适中。本节课的内容为探究圆锥侧面积和全面积的公式及应用，是圆的有关知识的延续和发展。另外，这一部分内容渗透了立体图形平面化的数学思维方法。

基于课时内容的作用与地位，教师设计了两道不同层次的当堂测评题：①根据下列条件求值（其中r、h、a、l、s分别是圆锥的底面半径、高线、母线长、侧面展开图弧长及面积）。当a=2，r=1时，则h=_____，l=_____，s=________。②已知：在RtΔABC中，∠C=900，AB= 13cm，BC=5cm，求以AC为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。

这两道题目既有利于学生进一步了解圆锥的有关概念，以及圆锥的侧面展开图及圆锥侧面展开图中各元素与圆锥中各元素之间的对应关系，又能检测出不同层次学生基础目标的达成情况，让每个学生体验到成功的喜悦。

（作者单位：黄梅县育才实验学校）