“微元定迹法”图解运动性质案例探析

罗秋芳

摘 要：本文针对受线牵引物体的运动这类重要问题，概要阐述了运用“微元定迹”的方法。文中结合了详实的案例分析，对如何培养学生的思维能力在教学实践上进行了有益的探索。

关键词：微元定迹法；运动性质；案例探析

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）11-0045-3

在物理“必修1”运动学部分，有一个重要的教学内容，即受线牵引物体的运动问题。对于此类问题，往往需要我们先确定出物体的运动形式，再分析出其运动的性质。这类问题较为复杂，因此学生较难掌握。

本文拟运用“微元定迹”的方法，结合不同类型的具体案例逐一探讨，以供参考。所谓“微元定迹法”，是指根据运动分解的思想，将受线牵引物体的运动利用“过程微元”融合作图探究物体运动的方法。这种方法能将问题具象化，使得抽象的思维变得直观，从而降低学生的认知负荷，在教学实践中有良好的效果。

案例1 如图1所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）

A.大小和方向均不变

B.大小不变，方向改变

C.大小改变，方向不变

D.大小和方向均改变

解析 这是2010年江苏高考第1题，题目情景简洁，考察意图清晰，是一道能力立意的好题。由于细线的总长始终不变，橡皮在极小的一段时间Δt内，水平位移Δx与竖直位移Δy大小相等，如图2所示。根据分位移的关系 = 1可知橡皮做直线运动；再根据速度的定义式可得：vy=vx。由于题意vx不变，则vy也不变，两个正交方向上的分运动均为匀速运动。橡皮以 vx的速度倾斜45 °向上做匀速直线运动，故选项A正确。若铅笔从O点靠着细线左侧水平向右做变速运动时，仍有 = =1关系成立，橡皮仍按原轨迹做变速直线运动。

变式 如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30 °角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是（ ）

A.橡皮的速度大小为v

B.橡皮的速度大小为 v

C.橡皮的速度与水平方向成60 °角

D.橡皮的速度与水平方向成45 °角

解析 相比案例1，题中钉子的移动方向不同，但仍为匀速运动。研究橡皮在极小的一段时间Δt内的分位移情况，如图4所示。在水平和竖直这两个正交的方向上，由几何关系及速度定义式，得：

由两式得vx= v，vy= v。可见 = = ，橡皮以 v的速度沿与水平方向成60 °角做匀速直线运动，选项B、C正确。若钉子仍从O点靠着细线左侧沿斜面方向做变速运动，仍有 = = 关系成立，橡皮也按原轨迹做变速直线运动（笔者注：这是一定条件下的一个重要推论）。

案例2 如图5所示，某同学将一块橡皮用细线悬挂于O点，用一支铅笔贴着细线中点的左侧以速度v水平向右匀速移动，铅笔下侧悬线始终保持竖直，则在铅笔移动到图中虚线位置的过程中（ ）

A. 细线绕O点转动的角速度不变

B. 细线绕O点转动的角速度不断增大

C. 橡皮的运动轨迹为直线

D. 橡皮处于超重状态

解析 与前两题不同的是，铅笔贴着细线的中点带着橡皮运动，其运动形式更为复杂，以下通过微元过程结合画图来确定。由于铅笔匀速向右移动，取其水平方向上极小的三段相同位移Δx，对应的三段时间Δt相同。由图6可得细线绕O点转动的角速度不断减小。由于细线总长不变，橡皮每段时间Δt内上升的位移大小与细线收缩的长度相同，即图中ΔL1=Δy1，ΔL2=Δy2，ΔL3=Δy3；且ΔL1<ΔL2<ΔL3，故Δy1<Δy2<Δy3，则 < < ，橡皮的运动轨迹为向上弯曲的曲线。再由速度定义可得vy1

点评 后面两变式题为模拟试题，显然难度有所上升。为简化问题，在设置条件时，三题的其中一个分运动都是匀速运动，而合运动的轨迹及运动性质都要作出判断。

案例3 如图7所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：

（1）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；

（2）A滑动的位移为x时的速度大小vA。

解析 这是2016年江苏高考物理第14题的最后两问。（1）从A的初位置开始，选取A向右运动的一段极小位移Δx，由于与B相连的细线的总长始终不变，根据几何关系，可确定出两者之间不同时刻相应的位置关系，可确定出B物体做直线运动，如图8所示，图中Δs是B物体的位移。当A滑动的位移为x时，设B的位移为s，如图9所示。根据几何关系sx=x·（1-cosα），

点评 ①本题是一道梯度设计合理，区分度好，以能力立意的试题。它在空间数量关系的基础上对受力分析、关联速度和能量关系进行了综合考察。②根据“微元定迹”的方法结合几何关系，可以确定出A、B两物体均做直线运动，所以题目可以不给出“A、B均做直线运动”这个条件。但是，如果不给出将会增加试题的难度，从而影响区分度。③从考察物理思想的角度看，主要是微元思想、极限思想及分解思想。本题的标准答案没有从分解的角度来解，笔者认为这样处理是合适的。首先，本题利用微元极限的思想，考察了瞬时速度的定义及运用数学处理物理问题的能力。其次，若采取分解的思想，将要引入B相对A的分运动，如图10所示，而这显然超出了考纲的要求。

图10 位移分解图

④从试题拓展的角度看，根据结果vA= 可以发现：A向左做匀加速运动，其加速度为aA= ；B也做匀加速运动，其加速度为aB= · ，本题与案例1及其变式的推论比较可知，两者如出一辙。

结束语 对于受线牵引物体的运动问题，在线总长不变的前提下，且沿线方向上两端速度大小相等，由几何关系根据微元过程的方法确定出物体的运动形式；通过画出不同位置的状态图，从正交的两方向来分解合运动，更能彻底理解运动的性质。

参考文献：

[1]汪德强.2016年江苏物理高考卷第14题的别样处理[J].物理教师，2016（08）：83—84.

[2]wxzx_whl@sina.com

（栏目编辑 陈 洁）