一道全国大学生数学竞赛题的推广

苏灿荣, 禹春福, 周 玲

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)



一道全国大学生数学竞赛题的推广

苏灿荣, 禹春福, 周 玲

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

对一道大学生数学竞赛题分别从导数的阶数及变量的个数两方面做出推广.

数学竞赛； 多元函数； Taylor公式； Cauchy-Schwarz不等式

第七届(2015年)全国大学生数学竞赛(非数学系)预赛试题的第六题为

(1)

本文将分别从导数的阶数n(n≥2)及变量的个数m(m≥2)两个方面对该试题做出推广.

1 推广一

设f(x,y)在x2+y2≤1上有连续的n(n≥2)阶偏导数，且

若f(x,y)在(0,0)处的p阶(p=0,1,2,…,n-1)偏导数全为0，则有

(2)

证 由二元函数的Taylor公式[1]及题设知

其中0<θ1<1.

由Cauchy-Schwarz不等式知

而

所以

从而

故不等式(2)成立.

特别取n=2，则由(2)即可得到(1).

2 推广二

(3)

其中k=1,2,3,…为正整数.

证 由m元函数的Taylor公式[1]及题设知

其中 0<θ2<1.

由Cauchy-Schwarz不等式知

而

故

从而

利用球面坐标变换[1]

其中0≤r<+∞, 0≤φ1≤π, …, 0≤φm-2≤π, 0≤φm-1≤2π,则有

其中k=1,2,3,…为正整数.

因此

(3)

其中k=1,2,3,…为正整数.

特别取m=2,x1=x,x2=y,则由(3)即得(1)，又若取m=3,x1=x,x2=y,x3=z,则当

且f(0,0,0)=fx(0,0,0)=fy(0,0,0)=fz(0,0,0)时，由(3)可知

(4)

[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(下册)[M].2版.北京：高等教育出版社，2004：167-170,268-269.

The Promotion of a National College Student Mathematics Contest

SUCan-rong,YUChun-fu,ZHOULing

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

A college mathematic contest is promoted from two aspects-the order of derivative and variables number.

mathematical competition; multi function; formula; inequality

2016-06-20; [修改日期] 2016-07-15

苏灿荣(1963-)男，学士，副教授，从事应用数学研究.Email: chunfu_yu1964@163.com

禹春福(1964-)女，学士，讲师，从事应用数学研究.Email: chunfu_yu1964@163.com

O172

C

1672-1454(2016)05-0109-03