费马大定理非常美妙的证明

耿志琦

费马大定理非常美妙的证明

耿志琦

自费马在书中某页的边沿写下断言：“我发现一个美妙的证明，这里空白太小写不下”[1]之后的350多年里，还没有人给出符合上述要求的简单证明。1994年，有学者发表了每条半稳定有理椭园曲线可模形式化的证明，证明过程应用了现代数论与代数几何中许多深刻的结果与方法，花费了100多页纸。本文追求费马表述的不大的篇幅，简单明了的逻辑推理，给出一个美妙的证明，以飨读者。

一、本文用到的记号以及通用规则说明如下

1、费马大定理是说，当n≥3时，an+bn≠cn，其中a、b、c、n都是自然数（即正整数），且a＜b＜c。

2、本文设an=Kn，bn=（K+L）n，cn=（K+L+m）n。其中K、L、m、n都是正整数。显然这里的K＜K+L＜K+L+m；由于K、L、m是任取的正整数，满足了Kn=an，（K+L）n=bn，（K+L+m）n=cn。就是说保证了费马定理可以写成Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n这种表达形式；其中K=1，2，3，……，K；L=1，2，3，……，L；m=1，2，3，……，m；

3、根据上述规则和规定，将正整数n次方的幂序列排列如下，其中的n≥3；

1n，2n，3n，……，Kn（序列1）

1n，2n，3n，……，Kn，（K+1）n，（K+2）n，……，（K+L）n，（序列2）

1n，2n，3n，……，Kn，（K+1）n，（K+2）n，……，（K+L）n，（K+L+1）n，（K+L+2）n，（K+L+3）n，……，（K+L+m）n，（序列3）

从上述列出的三个序列得出，用Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n是符合费马定理an+bn≠cn原意的。

4、本文用记号k-1▽k表示Kn-（K-1）n的差值，即k-1▽k=Kn-（K-1）n；例如，1▽2=2n-1n，

2▽3=3n-2n，3▽4=4n-3n，……，k-1▽k=Kn-（K-1）n；更进一步表示成1▽k=Kn-1n，

2▽k=Kn-2n，3▽k=Kn-3n，……，k-1▽k=Kn-（K-1）n；这种表示法的优越之处在于，任何一个正整数K的n次幂，即Kn都可用它之前的第一个正整数的n次幂加上之后顺序的正整数n次幂之间的差值之和表示出来，即是

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=1n+1▽k=1n+（2n-1n）+（3n-2n）+……+[Kn-（K-1）n]=1n+（Kn-1n）=Kn……（1）

2n+2▽3+3▽4+……k-1▽k=2n+2▽k=2n+（3n-2n）+（4n-3n）+……+[Kn-（K-1）n]=2n+（Kn-2n）=Kn……（2）

3n+3▽4+4▽5+……k-1▽k=3n+3▽k=3n+（4n-3n）+（5n-4n）+……+[Kn-（K-1）n]=3n+（Kn-3n）=Kn……（3）

……以此类推，可得出下式等式

（K-1）n+k-1▽k=（K-1）n+[Kn-（K-1）n]=Kn……（4）

还可以得出下列等式

1▽2+2▽3+3▽4+……k-1▽k=1▽2+2▽k=（2n-1n）+（Kn-2n）=Kn-1n……（5）

2▽3+3▽4+4▽5+……k-1▽k=2▽3+3▽k=（3n-2n）+（Kn-3n）=Kn-2n……（6）

3▽4+4▽5+5▽6+……k-1▽k=3▽4+4▽k=（4n-3n）+（Kn-4n）=Kn-3n……（7）

……以此类推，可得出下式等式

k-1▽k=Kn-（K-1）n……（8）

5、从上边的（1）式→（8）式，可以得出任何一段顺序的正整数n次方幂的差值之和都不能等于任意一个正整数的n次方幂，而只能等于这一段顺序的正整数n次方幂的末端的n次方幂与开端n次方幂之差。

以（5）式为例，（5）式中

1▽2+2▽3+……k-1▽k=1▽k=Kn-1n……（9）

（9）式中，正整数轴上的从1n→Kn之间只有2n，3n，4n，5n，……（K-1）n这K-2个正整数n次方幂的点，且这些点是唯一的，再不能有任何另一个正整数x的n次方幂的点，否则就会得出xn+x▽k=Kn；即是1n→Kn之间除2n，3n，……（K-1）n这K-2个正整数n次方幂的点之外，还有另一个xn的点存在，这显然是不可能的。换句话说，除2n，3n，……（K-1）n这K-2个正整数n次方幂的点之外，还有另一个xn的点存在，成为K-1个正整数n次方幂的点，这显然与事实不符。再进一步说，就是Kn-1n≠xn，当然x是任意正整数。同样可得出2▽k=Kn-2n≠xn，3▽k=Kn-3n≠xn，……k-1▽k=Kn-（K-1）n≠xn；

6、以n=3，K=10为例说明如下

先列表13、23、33、43、53、63、73、83、93、103，

具体计算13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，103=1000，

先计算1▽2=23-13=7，2▽3=33-23=19，3▽4=43-33=37，4▽5=53-43=61，5▽6=63-53=91，6▽7=73-63=127，7▽8=83-73=169，8▽9=93-83=217，9▽10=103-93=271，

我们取1▽2+2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+ 8▽9+9▽10=1▽10=7+19+37+61+91+127+169+217+271=999= 1000-1≠x3……（10）

取2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9 +9▽10

=2▽10=19+37+61+91+127+169+217+271=992=1000-8≠x3……（11）

取3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9+9▽10

=3▽10=37+61+91+127+169+217+271=973=1000-27≠x3……（12）

取4▽10=1000-64=936≠x3……（13）

取5▽10=1000-125=875≠x3……（14）

取6▽10=1000-216=784≠x3……（15）

取7▽10=1000-343=657≠x3……（16）

取8▽10=1000-512=488≠x3……（17）

取9▽10=1000-729=271≠x3……（18）

从（10）式→（18）式完全验证了5中的结论：任何一段顺序的正整数n次方幂的差值之和都不能等于任意一个正整数的n次方幂，而只能等于这一段顺序的正整数n次方幂的末端的n次方幂与开端n次方幂之差。

7、基于上述同样道理可以得出下列式子

k▽k+1+k+1▽k+2+k+2▽k+3+……+k+L-1▽k+L =（K+L）n-Kn≠xn（x为任意的正整数）……（19）

k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+k+L+2▽k+L+3+……+ k+L+m-1▽k+L+m=（K+L+m）n-（K+L）n≠xn……（20）

二、证明过程

按照（一）1中的论述，只要证明了Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n这一不等式，就等价于证明了an+bn≠cn这一费马定理。

我们已经知道

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=Kn……（21）

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2 +……+k+L-1▽k+L=（K+L）n……（22）

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽ k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1

+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m=（K+L+m）n……（23）

那么费马定理就是要证明下述不等式成立，即

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L≠1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+ k+L+m-1▽k+L+m……（24）

用反证法证明不等式（24）成立

假设（24）式相等，即

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L=1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……（25）

整理（25）式可得

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……（26）

（26）式可写成为Kn=（K+L+m）n-（K+L）n……（27）

根据（一）7中的（20）式可知（K+L+m）n-（K+L）n≠xn，当然可知（K+L+m）n-（K+L）n≠Kn……（28）

这与（25）式矛盾，所以（24）式成立，也保证了an+bn≠cn成立，到此，费马定理得到证明。

三、讨论

1、用符号k-1▽k表示Kn-（K-1）n，就是表示任意两个相邻正整数n次方幂的差值。显然它们之间差值不能等于任意一个正整数的n次方幂。即

k-1▽k=Kn-（K-1）n≠xn，x为任一正整数。这是显而易见的，因为（K-1）n与Kn之间不存在另一正整数的n次方幂。

2、因为1n+1▽k=Kn、2n+2▽k=Kn、3n+3▽k=Kn、……（K-1）n+k-1▽k=Kn表明1n→Kn之间，只有2n，3n，4n，……（K-1）n这K-2个正整数n次方幂的点，且是唯一的。进而表明（K+L）n→（K+L+m）n之间，只有（K+L+1）n、（K+L+2）n、（K+L+3）n、……（K+L+m-1）n这m-1个正整数n次方幂的点，除此之外不可能再有另一个正整数n次方幂xn的点存在。

3、我们只讨论n≥3的情形，至于n=2，已有很多研究，这里不做讨论。本文只用几页纸就证明了an+bn≠cn，这显然符合费马提出的“美妙证明”的说法。

[1]（美）Joseph H.Silverman.孙智伟等译[M].数论概论.机械工业出版社，2008.5.

A Very Wonderful Proof to Fermat's Last Theorem

Geng Zhiqi